Rangkuman Rumus Matematika Kelas 8 Semester 2: Panduan Lengkap Materi

Rangkuman rumus matematika kelas 8 semester 2 – Masih ingat dengan pelajaran matematika kelas 8 semester 2? Semester ini dipenuhi dengan konsep-konsep menarik yang mungkin terasa menantang, seperti persamaan linear, sistem persamaan, dan fungsi kuadrat. Jangan khawatir! Artikel ini hadir untuk membantu kamu memahami rumus-rumus penting dan menguasai materi dengan lebih mudah.

Dari persamaan linear dua variabel hingga fungsi kuadrat, kita akan menjelajahi setiap topik dengan penjelasan yang jelas dan contoh soal yang mudah dipahami. Siap-siap untuk mengasah kemampuan matematika kamu dan meraih nilai terbaik di semester ini!

Rumus Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel merupakan persamaan yang memiliki dua variabel dengan pangkat tertinggi 1. Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah ax + by = c, di mana a, b, dan c adalah konstanta, sedangkan x dan y adalah variabel.

Contohnya, 2x + 3y = 6 merupakan persamaan linear dua variabel dengan a = 2, b = 3, dan c = 6.

Metode Substitusi

Metode substitusi adalah salah satu metode untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel dengan cara mengganti salah satu variabel dalam persamaan dengan ekspresi yang setara.

Berikut langkah-langkah penyelesaian persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi:

• Ubah salah satu persamaan menjadi bentuk y = mx + c atau x = my + c.
• Substitusikan nilai y atau x yang telah diperoleh ke persamaan yang lain.
• Selesaikan persamaan yang telah disubstitusi untuk mencari nilai variabel yang tersisa.
• Substitusikan nilai variabel yang telah ditemukan ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai variabel yang lain.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode substitusi:

2x + 3y = 6
x – y = 1

Langkah 1: Ubah persamaan kedua menjadi bentuk x = y + 1.
Langkah 2: Substitusikan nilai x = y + 1 ke persamaan pertama: 2(y + 1) + 3y = 6.
Langkah 3: Selesaikan persamaan untuk mencari nilai y: 2y + 2 + 3y = 6, 5y = 4, y = 4/5.
Langkah 4: Substitusikan nilai y = 4/5 ke persamaan x = y + 1: x = 4/5 + 1, x = 9/5.

Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah x = 9/5 dan y = 4/5.

Metode Eliminasi, Rangkuman rumus matematika kelas 8 semester 2

Metode eliminasi adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel dengan cara menghilangkan salah satu variabel dari sistem persamaan.

Berikut langkah-langkah penyelesaian persamaan linear dua variabel dengan metode eliminasi:

• Kalikan kedua persamaan dengan konstanta tertentu sehingga koefisien dari salah satu variabel menjadi sama tetapi dengan tanda yang berlawanan.
• Jumlahkan kedua persamaan untuk menghilangkan variabel yang memiliki koefisien sama tetapi dengan tanda berlawanan.
• Selesaikan persamaan yang telah disederhanakan untuk mencari nilai variabel yang tersisa.
• Substitusikan nilai variabel yang telah ditemukan ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai variabel yang lain.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode eliminasi:

3x + 2y = 11
2x – 3y = -4

Langkah 1: Kalikan persamaan pertama dengan 3 dan persamaan kedua dengan 2 sehingga koefisien y menjadi sama tetapi dengan tanda yang berlawanan: 9x + 6y = 33 dan 4x – 6y = -8.
Langkah 2: Jumlahkan kedua persamaan untuk menghilangkan variabel y: 13x = 25.
Langkah 3: Selesaikan persamaan untuk mencari nilai x: x = 25/13.
Langkah 4: Substitusikan nilai x = 25/13 ke persamaan pertama: 3(25/13) + 2y = 11.
Langkah 5: Selesaikan persamaan untuk mencari nilai y: 75/13 + 2y = 11, 2y = 11 – 75/13, 2y = 68/13, y = 34/13.

Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah x = 25/13 dan y = 34/13.

Metode Grafik

Metode grafik adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel dengan cara menggambar grafik dari kedua persamaan dan mencari titik potongnya.

Berikut langkah-langkah penyelesaian persamaan linear dua variabel dengan metode grafik:

• Ubah kedua persamaan menjadi bentuk y = mx + c.
• Tentukan dua titik yang terletak pada garis yang dibentuk oleh masing-masing persamaan.
• Gambar garis yang melalui kedua titik tersebut.
• Titik potong kedua garis tersebut merupakan solusi dari sistem persamaan linear dua variabel.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode grafik:

x + y = 4
x – y = 2

Langkah 1: Ubah kedua persamaan menjadi bentuk y = mx + c: y = -x + 4 dan y = x – 2.
Langkah 2: Tentukan dua titik yang terletak pada garis yang dibentuk oleh masing-masing persamaan: Untuk persamaan y = -x + 4, jika x = 0 maka y = 4 dan jika x = 4 maka y = 0. Untuk persamaan y = x – 2, jika x = 0 maka y = -2 dan jika x = 2 maka y = 0.
Langkah 3: Gambar garis yang melalui kedua titik tersebut.
Langkah 4: Titik potong kedua garis tersebut adalah (3,1).

Jadi, solusi dari sistem persamaan tersebut adalah x = 3 dan y = 1.

Tabel Langkah Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel

Berikut tabel yang berisi langkah-langkah penyelesaian persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, eliminasi, dan grafik:

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel merupakan kumpulan dari dua persamaan linear yang memiliki dua variabel yang sama. Variabel-variabel ini biasanya dilambangkan dengan huruf x dan y. Setiap persamaan dalam sistem ini menyatakan hubungan linear antara x dan y, dan solusi dari sistem ini adalah pasangan nilai (x, y) yang memenuhi kedua persamaan tersebut secara bersamaan.

Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan linear yang memiliki dua variabel yang sama. Setiap persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk ax + by = c, di mana a, b, dan c adalah konstanta, dan x dan y adalah variabel. Contoh sistem persamaan linear dua variabel:

x + 2y = 5
2x – y = 1

Sistem persamaan ini memiliki dua persamaan linear, yaitu x + 2y = 5 dan 2x – y = 1. Kedua persamaan ini memiliki dua variabel yang sama, yaitu x dan y. Solusi dari sistem persamaan ini adalah pasangan nilai (x, y) yang memenuhi kedua persamaan tersebut secara bersamaan. Dalam contoh ini, solusi dari sistem persamaan adalah (x, y) = (1, 2).

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, yaitu:

• Metode Substitusi
• Metode Eliminasi
• Metode Grafik

Metode Substitusi

Metode substitusi merupakan salah satu metode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan cara mengganti salah satu variabel dalam persamaan dengan nilai variabel tersebut yang diperoleh dari persamaan lainnya.

1. Pilih salah satu persamaan dan nyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lainnya.
2. Substitusikan nilai variabel yang telah dinyatakan dalam persamaan lainnya.
3. Selesaikan persamaan yang telah disubstitusi untuk mencari nilai variabel yang tersisa.
4. Substitusikan nilai variabel yang telah ditemukan ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai variabel lainnya.

Contoh Soal

Tentukan solusi dari sistem persamaan linear berikut:

x + 2y = 5
2x – y = 1

Penyelesaian

1. Dari persamaan pertama, x + 2y = 5, kita dapat menyatakan x dalam bentuk y, yaitu x = 5 – 2y.
2. Substitusikan nilai x = 5 – 2y ke persamaan kedua, 2x – y = 1, sehingga diperoleh 2(5 – 2y) – y = 1.
3. Selesaikan persamaan tersebut untuk mencari nilai y: 10 – 4y – y = 1, -5y = -9, y = 9/5.
4. Substitusikan nilai y = 9/5 ke persamaan x = 5 – 2y, sehingga diperoleh x = 5 – 2(9/5), x = 1/5.

Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tersebut adalah (x, y) = (1/5, 9/5).

Metode Eliminasi, Rangkuman rumus matematika kelas 8 semester 2

Metode eliminasi merupakan metode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan cara menghilangkan salah satu variabel dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan.

1. Kalikan kedua persamaan dengan konstanta sehingga koefisien salah satu variabel menjadi sama.
2. Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan untuk menghilangkan variabel yang koefisiennya sama.
3. Selesaikan persamaan yang telah dieliminasi untuk mencari nilai variabel yang tersisa.
4. Substitusikan nilai variabel yang telah ditemukan ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai variabel lainnya.

Contoh Soal

Tentukan solusi dari sistem persamaan linear berikut:

3x + 2y = 7
2x – 3y = 1

Penyelesaian

1. Kalikan persamaan pertama dengan 3 dan persamaan kedua dengan 2 sehingga koefisien y menjadi sama, yaitu 6: 9x + 6y = 21 dan 4x – 6y = 2.
2. Jumlahkan kedua persamaan untuk menghilangkan variabel y: 9x + 6y + 4x – 6y = 21 + 2, 13x = 23.
3. Selesaikan persamaan tersebut untuk mencari nilai x: x = 23/13.
4. Substitusikan nilai x = 23/13 ke persamaan pertama, 3x + 2y = 7, sehingga diperoleh 3(23/13) + 2y = 7, 2y = 7 – 69/13, y = 1/13.

Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tersebut adalah (x, y) = (23/13, 1/13).

Metode Grafik

Metode grafik merupakan metode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan cara menggambar grafik kedua persamaan tersebut pada bidang kartesius. Titik potong kedua grafik tersebut merupakan solusi dari sistem persamaan.

1. Ubah kedua persamaan ke dalam bentuk y = mx + c, di mana m adalah gradien dan c adalah konstanta.
2. Gambar grafik kedua persamaan pada bidang kartesius.
3. Tentukan titik potong kedua grafik tersebut. Titik potong tersebut merupakan solusi dari sistem persamaan.

Contoh Soal

Tentukan solusi dari sistem persamaan linear berikut:

x + y = 3
2x – y = 1

Penyelesaian

1. Ubah kedua persamaan ke dalam bentuk y = mx + c: y = -x + 3 dan y = 2x – 1.
2. Gambar grafik kedua persamaan pada bidang kartesius.
3. Titik potong kedua grafik tersebut adalah (x, y) = (1, 2).

Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tersebut adalah (x, y) = (1, 2).

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Pertidaksamaan linear dua variabel merupakan persamaan yang memuat dua variabel dengan pangkat tertinggi satu dan tanda pertidaksamaan, seperti <, >, ≤, atau ≥. Pertidaksamaan ini menggambarkan suatu daerah di bidang Cartesius yang memenuhi syarat tertentu. Pemahaman tentang pertidaksamaan linear dua variabel penting dalam berbagai bidang, seperti ekonomi, ilmu komputer, dan analisis data.

Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu pernyataan matematika yang menyatakan hubungan tidak sama antara dua variabel, dengan pangkat tertinggi masing-masing variabel adalah satu. Pertidaksamaan ini menggunakan tanda pertidaksamaan seperti <, >, ≤, atau ≥.

Contohnya:

2x + 3y < 6

Pertidaksamaan di atas menyatakan bahwa nilai 2x + 3y lebih kecil dari 6. Pertidaksamaan ini memiliki dua variabel, yaitu x dan y, dengan pangkat tertinggi masing-masing satu.

Jenis-jenis Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Terdapat empat jenis pertidaksamaan linear dua variabel berdasarkan tanda pertidaksamaannya:

• Pertidaksamaan kurang dari (<): Pertidaksamaan ini menyatakan bahwa nilai ruas kiri lebih kecil dari nilai ruas kanan.
• Pertidaksamaan lebih dari (>): Pertidaksamaan ini menyatakan bahwa nilai ruas kiri lebih besar dari nilai ruas kanan.
• Pertidaksamaan kurang dari atau sama dengan (≤): Pertidaksamaan ini menyatakan bahwa nilai ruas kiri lebih kecil dari atau sama dengan nilai ruas kanan.
• Pertidaksamaan lebih dari atau sama dengan (≥): Pertidaksamaan ini menyatakan bahwa nilai ruas kiri lebih besar dari atau sama dengan nilai ruas kanan.

Langkah-langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel dengan Metode Grafik

Berikut langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan linear dua variabel dengan metode grafik:

1. Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan: Ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan (=).
2. Tentukan titik potong sumbu x dan sumbu y: Substitusikan x = 0 untuk mencari titik potong sumbu y dan substitusikan y = 0 untuk mencari titik potong sumbu x.
3. Gambar garis: Hubungkan titik potong sumbu x dan sumbu y dengan garis lurus. Garis ini akan membagi bidang Cartesius menjadi dua bagian.
4. Tentukan daerah penyelesaian: Pilih titik uji yang tidak terletak pada garis. Substitusikan koordinat titik uji ke dalam pertidaksamaan awal. Jika pertidaksamaan terpenuhi, maka daerah yang memuat titik uji merupakan daerah penyelesaian. Jika tidak terpenuhi, maka daerah lainnya merupakan daerah penyelesaian.
5. Arsir daerah penyelesaian: Arsir daerah penyelesaian dengan warna yang berbeda untuk menandakan daerah yang memenuhi syarat pertidaksamaan.

Contoh Soal dan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Misalkan kita ingin menyelesaikan pertidaksamaan linear dua variabel berikut:

x + 2y ≤ 4

Berikut langkah-langkah penyelesaiannya:

1. Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan: x + 2y = 4.
2. Tentukan titik potong sumbu x dan sumbu y:
   • Untuk x = 0, maka 2y = 4, sehingga y = 2. Titik potong sumbu y adalah (0, 2).
   • Untuk y = 0, maka x = 4. Titik potong sumbu x adalah (4, 0).
3. Gambar garis: Hubungkan titik (0, 2) dan (4, 0) dengan garis lurus.
4. Tentukan daerah penyelesaian: Pilih titik uji (0, 0). Substitusikan koordinat titik uji ke dalam pertidaksamaan awal: 0 + 2(0) ≤ 4. Pertidaksamaan terpenuhi, sehingga daerah yang memuat titik (0, 0) merupakan daerah penyelesaian.
5. Arsir daerah penyelesaian: Arsir daerah yang memuat titik (0, 0) untuk menandakan daerah penyelesaian.

Daerah yang diarsir pada grafik menunjukkan semua titik (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan x + 2y ≤ 4.

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel merupakan kumpulan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear yang memiliki dua variabel. Pertidaksamaan linear sendiri merupakan bentuk aljabar yang menyatakan hubungan tidak sama antara dua ekspresi aljabar, yang masing-masing melibatkan dua variabel. Variabel-variabel tersebut biasanya diwakili oleh huruf x dan y.

Contohnya, perhatikan sistem pertidaksamaan berikut:

x + y > 5
2x – y ≤ 3

Sistem pertidaksamaan ini terdiri dari dua pertidaksamaan linear, yaitu x + y > 5 dan 2x – y ≤ 3. Kedua pertidaksamaan tersebut melibatkan dua variabel, yaitu x dan y.

Metode Grafik

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel dapat diselesaikan dengan metode grafik. Metode ini melibatkan penggambaran grafik dari setiap pertidaksamaan dalam sistem dan kemudian menentukan daerah penyelesaian yang memenuhi semua pertidaksamaan.

Langkah-langkah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel dengan Metode Grafik

1. Ubah setiap pertidaksamaan menjadi persamaan linear. Caranya, ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan (=).
2. Gambar grafik setiap persamaan linear. Untuk menentukan garis yang tepat, Anda dapat menggunakan dua titik atau mencari titik potong sumbu x dan sumbu y.
3. Tentukan daerah penyelesaian untuk setiap pertidaksamaan. Untuk menentukan daerah penyelesaian, pilih satu titik di luar garis dan substitusikan nilai x dan y titik tersebut ke dalam pertidaksamaan awal. Jika pertidaksamaan terpenuhi, maka daerah penyelesaian adalah daerah yang memuat titik tersebut. Jika tidak, maka daerah penyelesaian adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut.
4. Arsir daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah daerah yang diarsit oleh semua pertidaksamaan.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Misalkan kita ingin menyelesaikan sistem pertidaksamaan berikut:

x + y ≤ 4
x – y > 1

1. Ubah setiap pertidaksamaan menjadi persamaan linear:
   – x + y = 4
   – x – y = 1
2. Gambar grafik setiap persamaan linear.
   – Untuk persamaan x + y = 4, titik potong sumbu x adalah (4, 0) dan titik potong sumbu y adalah (0, 4).
   – Untuk persamaan x – y = 1, titik potong sumbu x adalah (1, 0) dan titik potong sumbu y adalah (0, -1).
3. Tentukan daerah penyelesaian untuk setiap pertidaksamaan.
   – Untuk pertidaksamaan x + y ≤ 4, pilih titik (0, 0) di luar garis. Substitusikan nilai x dan y ke dalam pertidaksamaan: 0 + 0 ≤ 4. Pertidaksamaan terpenuhi, sehingga daerah penyelesaian adalah daerah yang memuat titik (0, 0).
   – Untuk pertidaksamaan x – y > 1, pilih titik (0, 0) di luar garis. Substitusikan nilai x dan y ke dalam pertidaksamaan: 0 – 0 > 1. Pertidaksamaan tidak terpenuhi, sehingga daerah penyelesaian adalah daerah yang tidak memuat titik (0, 0).
4. Arsir daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah daerah yang diarsit oleh kedua pertidaksamaan.



Gambar di atas menunjukkan grafik penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Daerah yang diarsit dengan warna biru adalah daerah penyelesaian yang memenuhi kedua pertidaksamaan.

Fungsi Linear: Rangkuman Rumus Matematika Kelas 8 Semester 2

Fungsi linear merupakan salah satu jenis fungsi yang memiliki bentuk persamaan garis lurus. Fungsi ini memiliki sifat khusus yang memungkinkan kita untuk menganalisis dan memprediksi hubungan antara dua variabel yang saling terkait.

Konsep Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi yang grafiknya berupa garis lurus. Fungsi ini memiliki hubungan linear antara variabel input (x) dan variabel output (y). Artinya, perubahan pada variabel input akan menghasilkan perubahan yang konstan pada variabel output.

Contoh fungsi linear:
– y = 2x + 1
– y = -3x + 5
– y = x

Bentuk Umum Fungsi Linear

Bentuk umum fungsi linear adalah:

y = mx + c

di mana:
– y adalah variabel output
– x adalah variabel input
– m adalah gradien garis
– c adalah konstanta yang menunjukkan titik potong garis dengan sumbu y.

Contoh:
– y = 2x + 1 (m = 2, c = 1)
– y = -3x + 5 (m = -3, c = 5)

Menentukan Persamaan Garis Lurus

Ada dua cara untuk menentukan persamaan garis lurus:

Persamaan Gradien-Titik

Persamaan gradien-titik digunakan untuk menentukan persamaan garis lurus jika diketahui gradien (m) dan satu titik yang dilalui garis (x₁, y₁). Rumusnya adalah:

y – y₁ = m(x – x₁)

Persamaan Titik-Titik

Persamaan titik-titik digunakan untuk menentukan persamaan garis lurus jika diketahui dua titik yang dilalui garis (x₁, y₁) dan (x₂, y₂). Rumusnya adalah:

(y – y₁) / (x – x₁) = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal:
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2, 3) dan (4, 7).

Penyelesaian:
1. Gunakan persamaan titik-titik:
(y – 3) / (x – 2) = (7 – 3) / (4 – 2)

2. Sederhanakan persamaan:
(y – 3) / (x – 2) = 2

3. Kalikan silang:
y – 3 = 2(x – 2)

4. Uraikan persamaan:
y – 3 = 2x – 4

5. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:
y = 2x – 1

Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik (2, 3) dan (4, 7) adalah y = 2x – 1.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel merupakan kumpulan dari tiga persamaan linear yang memiliki tiga variabel yang berbeda. Variabel-variabel ini biasanya dilambangkan dengan huruf x, y, dan z.

Pengertian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah kumpulan dari tiga persamaan linear yang memiliki tiga variabel yang berbeda. Variabel-variabel ini biasanya dilambangkan dengan huruf x, y, dan z.

Contohnya:


• 2x + 3y – z = 5
• x – 2y + 3z = 1
• 3x + y – 2z = 4

Sistem persamaan linear tiga variabel ini terdiri dari tiga persamaan dengan tiga variabel yang berbeda, yaitu x, y, dan z. Setiap persamaan mewakili garis dalam ruang tiga dimensi. Solusi dari sistem persamaan ini adalah titik potong dari ketiga garis tersebut.

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan matematika yang memuat variabel berpangkat dua, yang sering disebut dengan istilah “persamaan pangkat dua”. Persamaan ini memiliki bentuk umum tertentu dan dapat diselesaikan dengan berbagai metode untuk menemukan nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut. Persamaan kuadrat banyak dijumpai dalam berbagai bidang, seperti fisika, teknik, dan ekonomi, dan memainkan peran penting dalam memecahkan berbagai masalah.

Konsep Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan matematika yang memuat variabel berpangkat dua. Bentuk umumnya adalah:

ax² + bx + c = 0

di mana:

• a, b, dan c adalah konstanta, dengan a ≠ 0.
• x adalah variabel.

Contoh persamaan kuadrat:

• x² + 2x – 3 = 0
• 2x² – 5x + 1 = 0
• 3x² + 4 = 0

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

ax² + bx + c = 0

di mana:

• a, b, dan c adalah konstanta, dengan a ≠ 0.
• x adalah variabel.

Contoh bentuk umum persamaan kuadrat:

• x² + 5x – 6 = 0
• 2x² – 3x + 1 = 0
• -4x² + 7x = 0

Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Ada beberapa metode untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:

Rumus ABC

Rumus ABC adalah rumus umum untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Rumus ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan bentuk umum ax² + bx + c = 0. Rumus ABC adalah:

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

di mana:

• a, b, dan c adalah konstanta dalam persamaan kuadrat.
• ± menunjukkan bahwa ada dua kemungkinan nilai untuk x, yaitu x1 dan x2.

Contoh soal:

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x² + 5x – 6 = 0 menggunakan rumus ABC.

Penyelesaian:

• a = 1, b = 5, dan c = -6.
• x = (-5 ± √(5² – 4 * 1 * -6)) / (2 * 1)
• x = (-5 ± √(49)) / 2
• x1 = (-5 + 7) / 2 = 1
• x2 = (-5 – 7) / 2 = -6

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat x² + 5x – 6 = 0 adalah x1 = 1 dan x2 = -6.

Pemfaktoran

Metode pemfaktoran digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan mengubah persamaan tersebut menjadi bentuk perkalian dua faktor. Pemfaktoran hanya dapat dilakukan jika persamaan kuadrat dapat difaktorkan.

Contoh soal:

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x² – 4x + 3 = 0 dengan menggunakan metode pemfaktoran.

Penyelesaian:

• Persamaan x² – 4x + 3 = 0 dapat difaktorkan menjadi (x – 1)(x – 3) = 0.
• Agar hasil perkalian dua faktor tersebut sama dengan nol, maka salah satu atau kedua faktor tersebut harus sama dengan nol.
• x – 1 = 0 atau x – 3 = 0.
• x1 = 1 atau x2 = 3.

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat x² – 4x + 3 = 0 adalah x1 = 1 dan x2 = 3.

Melengkapkan Kuadrat

Metode melengkapkan kuadrat digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan mengubah persamaan tersebut menjadi bentuk kuadrat sempurna. Metode ini melibatkan beberapa langkah manipulasi aljabar.

Contoh soal:

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x² + 6x + 5 = 0 dengan menggunakan metode melengkapkan kuadrat.

Penyelesaian:

• Pindahkan konstanta ke ruas kanan: x² + 6x = -5.
• Lengkapkan kuadrat di ruas kiri dengan menambahkan (6/2)² = 9 ke kedua ruas: x² + 6x + 9 = -5 + 9.
• Sederhanakan ruas kiri dan ruas kanan: (x + 3)² = 4.
• Akar kuadratkan kedua ruas: x + 3 = ±2.
• Pindahkan konstanta ke ruas kanan: x = -3 ± 2.
• x1 = -3 + 2 = -1.
• x2 = -3 – 2 = -5.

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat x² + 6x + 5 = 0 adalah x1 = -1 dan x2 = -5.

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang memiliki bentuk umum f(x) = ax² + bx + c, dengan a, b, dan c adalah konstanta dan a ≠ 0. Fungsi ini dikenal sebagai fungsi polinomial derajat dua karena pangkat tertinggi dari variabel x adalah dua. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola, yang merupakan kurva berbentuk U.

Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax² + bx + c, dengan a, b, dan c adalah konstanta dan a ≠ 0. Koefisien a menentukan arah parabola (ke atas jika a > 0 dan ke bawah jika a < 0), koefisien b menentukan kemiringan parabola, dan koefisien c menentukan titik potong parabola dengan sumbu y.

• Contoh: f(x) = 2x² + 3x – 1 adalah fungsi kuadrat dengan a = 2, b = 3, dan c = -1. Parabola yang merupakan grafik fungsi ini akan mengarah ke atas karena a > 0. Titik potong parabola dengan sumbu y adalah (0, -1).

Titik Puncak dan Sumbu Simetri

Titik puncak adalah titik tertinggi atau terendah pada parabola, dan sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Untuk menentukan titik puncak dan sumbu simetri fungsi kuadrat, kita dapat menggunakan rumus berikut:

• Titik puncak: (-b/2a, f(-b/2a))
• Sumbu simetri: x = -b/2a

Rumus ini didapatkan dengan menggunakan metode melengkapi kuadrat pada bentuk umum fungsi kuadrat. Metode ini mengubah bentuk umum fungsi kuadrat menjadi bentuk standar f(x) = a(x – h)² + k, di mana (h, k) adalah titik puncak parabola.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Tentukan titik puncak dan sumbu simetri fungsi kuadrat f(x) = x² – 4x + 3.

Penyelesaian:

1. Identifikasi koefisien a, b, dan c: a = 1, b = -4, dan c = 3.
2. Hitung koordinat x titik puncak: x = -b/2a = -(-4)/(2 * 1) = 2.
3. Hitung koordinat y titik puncak: f(2) = 2² – 4 * 2 + 3 = -1. Jadi, titik puncaknya adalah (2, -1).
4. Tentukan sumbu simetri: x = -b/2a = 2.

Jadi, titik puncak fungsi kuadrat f(x) = x² – 4x + 3 adalah (2, -1) dan sumbu simetrinya adalah x = 2.

Kesimpulan Akhir

Memahami rumus-rumus matematika kelas 8 semester 2 bukan hanya tentang menghafal, tetapi juga tentang memahami konsep di baliknya. Dengan latihan yang konsisten dan pemahaman yang mendalam, kamu akan dapat menyelesaikan soal-soal dengan lebih mudah dan percaya diri. Selamat belajar dan semoga sukses!

Sebarkan ini:

Posting terkait:

• 

  Contoh Soal Akar Pangkat: Kuasai Konsep dan Selesaikan Soal dengan Mudah

• 

  Contoh Soal Adjoin Matriks: Memahami Konsep dan Penerapannya

• Contoh Soal Aljabar Boolean: Memahami Logika di Balik Komputer