Contoh soal barisan geometri beserta jawabannya – Barisan geometri, dengan pola pengalian yang konsisten, sering muncul dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari pertumbuhan bakteri hingga bunga bank. Memahami konsep ini penting untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika dan sains. Yuk, kita pelajari lebih lanjut tentang barisan geometri melalui contoh soal dan jawabannya!
Dalam artikel ini, kita akan membahas pengertian, ciri-ciri, dan rumus barisan geometri. Selain itu, akan disajikan contoh soal yang disertai jawaban dan pembahasan lengkap untuk membantu Anda memahami konsep ini dengan lebih baik. Dengan latihan soal yang terstruktur, Anda akan lebih percaya diri dalam mengaplikasikan barisan geometri dalam berbagai situasi.
Ciri-ciri Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki pola tertentu, yaitu setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Ciri-ciri khusus ini membedakan barisan geometri dengan barisan lainnya seperti barisan aritmetika. Untuk memahami lebih lanjut tentang ciri-ciri barisan geometri, mari kita bahas beberapa poin penting berikut.
Ciri-ciri Barisan Geometri
Berikut adalah beberapa ciri-ciri yang membedakan barisan geometri dengan barisan lainnya:
- Rasio antar suku selalu konstan: Ini adalah ciri utama barisan geometri. Setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio yang sama. Misalnya, pada barisan 2, 4, 8, 16, rasio antar suku adalah 2. Setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2.
- Pola pertambahan atau pengurangan tidak linear: Berbeda dengan barisan aritmetika, barisan geometri tidak memiliki pola pertambahan atau pengurangan yang konstan. Sebagai contoh, pada barisan 3, 6, 12, 24, selisih antar suku tidak sama. Selisih antara suku pertama dan kedua adalah 3, selisih antara suku kedua dan ketiga adalah 6, dan seterusnya. Namun, rasio antar suku selalu tetap yaitu 2.
- Suku-suku dapat berupa bilangan positif, negatif, atau pecahan: Tidak ada batasan khusus untuk jenis bilangan yang dapat menjadi suku dalam barisan geometri. Misalnya, barisan -1, 1, -1, 1 merupakan barisan geometri dengan rasio -1.
Contoh Soal Ciri-ciri Barisan Geometri
Untuk memahami lebih jelas tentang ciri-ciri barisan geometri, perhatikan contoh soal berikut:
Tentukan apakah barisan 1, 3, 9, 27 merupakan barisan geometri.
Untuk menentukan apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri, kita perlu memeriksa apakah rasio antar suku selalu konstan. Hitung rasio antara suku kedua dan pertama: 3/1 = 3. Hitung rasio antara suku ketiga dan kedua: 9/3 = 3. Hitung rasio antara suku keempat dan ketiga: 27/9 = 3. Karena rasio antar suku selalu sama yaitu 3, maka barisan 1, 3, 9, 27 merupakan barisan geometri.
Cara Menentukan Apakah Suatu Barisan Merupakan Barisan Geometri
Untuk menentukan apakah suatu barisan merupakan barisan geometri, Anda dapat menggunakan langkah-langkah berikut:
- Hitung rasio antar suku: Hitung rasio antara suku kedua dan pertama, suku ketiga dan kedua, dan seterusnya.
- Periksa apakah rasio selalu sama: Jika rasio antar suku selalu sama, maka barisan tersebut merupakan barisan geometri. Jika tidak, maka barisan tersebut bukan barisan geometri.
Rumus Barisan Geometri: Contoh Soal Barisan Geometri Beserta Jawabannya
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio tetap antara dua suku yang berdekatan. Rasio ini disebut dengan rasio umum (r). Untuk memahami lebih dalam tentang barisan geometri, kita perlu mengenal rumus-rumusnya.
Menentukan Suku Pertama (a) dan Rasio (r), Contoh soal barisan geometri beserta jawabannya
Untuk menentukan suku pertama (a) dan rasio (r) dari barisan geometri, kita dapat menggunakan dua suku pertama dari barisan tersebut. Misalkan suku pertama adalah a dan suku kedua adalah b, maka:
- Suku pertama (a) = a
- Rasio (r) = b/a
Contoh soal:
Tentukan suku pertama (a) dan rasio (r) dari barisan geometri 2, 6, 18, 54, …
Langkah-langkah:
- Suku pertama (a) = 2
- Suku kedua (b) = 6
- Rasio (r) = b/a = 6/2 = 3
Jadi, suku pertama (a) adalah 2 dan rasio (r) adalah 3.
Menentukan Suku ke-n (Un) dari Barisan Geometri
Suku ke-n (Un) dari barisan geometri dapat ditentukan dengan rumus:
Un = a * r^(n-1)
Keterangan:
- Un = Suku ke-n
- a = Suku pertama
- r = Rasio
- n = Nomor suku
Contoh soal:
Tentukan suku ke-5 (U5) dari barisan geometri 2, 6, 18, 54, …
Mencari contoh soal barisan geometri beserta jawabannya? Kamu bisa menemukan berbagai contoh soal dan pembahasannya di internet. Setelah memahami konsep barisan geometri, kamu bisa melatih kemampuanmu dengan soal-soal yang lebih menantang. Misalnya, soal-soal integral yang melibatkan konsep barisan geometri. Ingin mencoba soal integral yang mudah?
Kunjungi contoh soal integral mudah untuk menemukan contoh soal dan pembahasannya. Setelah itu, kamu bisa kembali berlatih soal barisan geometri dengan lebih percaya diri.
Langkah-langkah:
- Suku pertama (a) = 2
- Rasio (r) = 3
- Nomor suku (n) = 5
- U5 = a * r^(n-1) = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162
Jadi, suku ke-5 (U5) dari barisan geometri tersebut adalah 162.
Contoh Soal Barisan Geometri
Barisan geometri merupakan barisan bilangan yang memiliki pola tertentu, yaitu setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan konstan yang disebut rasio. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal barisan geometri beserta jawaban dan pembahasannya.
Contoh Soal Barisan Geometri
Berikut ini adalah beberapa contoh soal barisan geometri beserta jawaban dan pembahasannya:
| Nomor Soal | Soal | Jawaban | Pembahasan |
|---|---|---|---|
| 1 | Tentukan suku ke-5 dari barisan geometri 2, 6, 18, …! | 162 | Suku pertama (a) = 2 dan rasio (r) = 6/2 = 3. Suku ke-5 (a5) = a * r^(5-1) = 2 * 3^4 = 162. |
| 2 | Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan geometri 1, 3, 9, …! | 121 | Suku pertama (a) = 1 dan rasio (r) = 3/1 = 3. Jumlah 5 suku pertama (S5) = a(1-r^5)/(1-r) = 1(1-3^5)/(1-3) = 121. |
| 3 | Suatu barisan geometri memiliki suku pertama 4 dan suku ke-3 adalah 36. Tentukan rasio barisan tersebut! | 3 | Suku pertama (a) = 4 dan suku ke-3 (a3) = 36. Suku ke-3 = a * r^2. Maka, 36 = 4 * r^2. Sehingga, r^2 = 9 dan r = 3. |
| 4 | Tentukan suku ke-7 dari barisan geometri 1/2, 1/4, 1/8, …! | 1/128 | Suku pertama (a) = 1/2 dan rasio (r) = (1/4)/(1/2) = 1/2. Suku ke-7 (a7) = a * r^(7-1) = (1/2) * (1/2)^6 = 1/128. |
| 5 | Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Setiap kali memantul, bola tersebut mencapai ketinggian 2/3 dari ketinggian sebelumnya. Tentukan tinggi pantulan bola pada pantulan ke-4! | 16/27 meter | Tinggi pantulan bola membentuk barisan geometri dengan suku pertama (a) = 10 meter dan rasio (r) = 2/3. Tinggi pantulan bola pada pantulan ke-4 (a4) = a * r^3 = 10 * (2/3)^3 = 16/27 meter. |
Penerapan Barisan Geometri
Barisan geometri merupakan barisan bilangan yang memiliki pola pertambahan dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Pola ini ditemukan dalam berbagai aspek kehidupan sehari-hari, mulai dari pertumbuhan populasi hingga pembiayaan.
Contoh Penerapan Barisan Geometri dalam Kehidupan Sehari-hari
Penerapan barisan geometri dapat dijumpai dalam berbagai situasi, seperti:
- Pertumbuhan Bakteri: Bakteri berkembang biak dengan membelah diri. Jika satu bakteri membelah diri menjadi dua setiap jam, maka jumlah bakteri akan membentuk barisan geometri dengan rasio 2.
- Bunga Majemuk: Bunga majemuk dihitung dengan mengalikan saldo awal dengan suku bunga dan menambahkannya ke saldo awal. Proses ini berulang setiap periode, sehingga saldo akhir akan membentuk barisan geometri dengan rasio 1 + suku bunga.
- Penurunan Harga: Saat barang dijual dengan diskon yang sama setiap kali, harganya akan membentuk barisan geometri dengan rasio yang lebih kecil dari 1.
Penerapan Barisan Geometri dalam Bidang Keuangan
Barisan geometri memiliki peran penting dalam bidang keuangan, khususnya dalam menghitung:
- Nilai Waktu Uang: Konsep ini menggunakan barisan geometri untuk menentukan nilai sekarang dari sejumlah uang di masa depan, mempertimbangkan faktor suku bunga.
- Anuitas: Anuitas adalah serangkaian pembayaran tetap yang dilakukan pada periode tertentu. Barisan geometri digunakan untuk menghitung nilai sekarang atau nilai akhir dari anuitas.
- Investasi: Barisan geometri digunakan untuk menghitung pertumbuhan investasi jangka panjang, mempertimbangkan suku bunga dan periode investasi.
Penerapan Barisan Geometri dalam Bidang Fisika
Barisan geometri juga diterapkan dalam bidang fisika, contohnya:
- Gerak Harmonik Sederhana: Gerak harmonik sederhana, seperti ayunan bandul, melibatkan pola pergerakan yang dapat dimodelkan dengan barisan geometri.
- Reduksi Intensitas Cahaya: Intensitas cahaya yang melewati medium tertentu akan berkurang secara eksponensial, membentuk barisan geometri dengan rasio yang lebih kecil dari 1.
- Radioaktivitas: Peluruhan radioaktif mengikuti pola eksponensial, membentuk barisan geometri dengan rasio yang lebih kecil dari 1.
Ilustrasi Penerapan Barisan Geometri dalam Suatu Situasi
Misalkan seorang pengusaha ingin menabung untuk membeli mobil baru seharga Rp 200.000.000. Ia memutuskan untuk menabung Rp 10.000.000 setiap bulan dengan suku bunga 1% per bulan. Tabungannya akan membentuk barisan geometri dengan suku pertama Rp 10.000.000 dan rasio 1,01. Untuk mengetahui berapa lama ia perlu menabung, kita dapat menggunakan rumus barisan geometri.
Rumus barisan geometri:
Sn = a(1 – r^n) / (1 – r)
Keterangan:
Sn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
r = rasio
n = banyak suku
Dalam kasus ini, kita ingin mencari n (banyak bulan) yang dibutuhkan untuk mencapai Sn = Rp 200.000.000. Dengan memasukkan nilai a = Rp 10.000.000, r = 1,01, dan Sn = Rp 200.000.000, kita dapat menghitung nilai n.
Berdasarkan perhitungan, pengusaha tersebut perlu menabung selama kurang lebih 19 bulan untuk mencapai targetnya.
Soal Latihan Barisan Geometri
Barisan geometri merupakan barisan bilangan yang memiliki pola tertentu, yaitu setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Untuk lebih memahami konsep barisan geometri, berikut ini diberikan contoh soal latihan barisan geometri dengan tingkat kesulitan yang bervariasi.
Soal Latihan 1
Suatu barisan geometri memiliki suku pertama 2 dan rasio 3. Tentukan suku ke-5 dari barisan tersebut.
- Petunjuk: Gunakan rumus suku ke-n barisan geometri, yaitu Un = a * r^(n-1), dengan a adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah nomor suku.
- Langkah-langkah:
- Tentukan nilai a, r, dan n.
- Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus Un = a * r^(n-1).
- Hitung nilai Un.
- Kunci Jawaban:
- a = 2, r = 3, n = 5.
- U5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162.
- Jadi, suku ke-5 dari barisan geometri tersebut adalah 162.
Soal Latihan 2
Tentukan rasio dari barisan geometri 2, 6, 18, 54, …
- Petunjuk: Rasio barisan geometri dapat diperoleh dengan membagi setiap suku dengan suku sebelumnya.
- Langkah-langkah:
- Bagi suku kedua dengan suku pertama (6/2 = 3).
- Bagi suku ketiga dengan suku kedua (18/6 = 3).
- Bagi suku keempat dengan suku ketiga (54/18 = 3).
- Perhatikan bahwa hasil bagi dari setiap pembagian selalu sama, yaitu 3.
- Kunci Jawaban: Rasio dari barisan geometri tersebut adalah 3.
Soal Latihan 3
Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan geometri 1, 2, 4, 8, …
- Petunjuk: Gunakan rumus jumlah n suku pertama barisan geometri, yaitu Sn = a(1-r^n)/(1-r), dengan a adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah banyaknya suku.
- Langkah-langkah:
- Tentukan nilai a, r, dan n.
- Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus Sn = a(1-r^n)/(1-r).
- Hitung nilai Sn.
- Kunci Jawaban:
- a = 1, r = 2, n = 5.
- S5 = 1(1-2^5)/(1-2) = 1(-31)/(-1) = 31.
- Jadi, jumlah 5 suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah 31.
Soal Latihan 4
Suatu barisan geometri memiliki suku ketiga 12 dan suku keenam 96. Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan tersebut.
- Petunjuk: Gunakan rumus suku ke-n barisan geometri dan bentuk persamaan untuk mencari nilai a dan r.
- Langkah-langkah:
- Tentukan nilai U3 dan U6.
- Buat persamaan berdasarkan rumus Un = a * r^(n-1) untuk U3 dan U6.
- Selesaikan sistem persamaan tersebut untuk mencari nilai a dan r.
- Kunci Jawaban:
- U3 = 12 dan U6 = 96.
- U3 = a * r^(3-1) = 12 => a * r^2 = 12.
- U6 = a * r^(6-1) = 96 => a * r^5 = 96.
- Bagi persamaan kedua dengan persamaan pertama: (a * r^5) / (a * r^2) = 96 / 12 => r^3 = 8 => r = 2.
- Substitusikan nilai r = 2 ke dalam persamaan a * r^2 = 12 => a * 2^2 = 12 => a = 3.
- Jadi, suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah 3 dan rasionya adalah 2.
Soal Latihan 5
Suatu barisan geometri memiliki suku pertama 5 dan suku kelima 80. Tentukan jumlah 7 suku pertama dari barisan tersebut.
- Petunjuk: Gunakan rumus suku ke-n barisan geometri dan rumus jumlah n suku pertama barisan geometri.
- Langkah-langkah:
- Tentukan nilai a, U5, dan n.
- Gunakan rumus Un = a * r^(n-1) untuk mencari nilai r.
- Gunakan rumus Sn = a(1-r^n)/(1-r) untuk mencari nilai S7.
- Kunci Jawaban:
- a = 5, U5 = 80, n = 7.
- U5 = a * r^(5-1) = 80 => 5 * r^4 = 80 => r^4 = 16 => r = 2.
- S7 = 5(1-2^7)/(1-2) = 5(-127)/(-1) = 635.
- Jadi, jumlah 7 suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah 635.
Pembahasan Soal Barisan Geometri
Setelah mempelajari konsep barisan geometri, saatnya untuk menguji pemahamanmu dengan latihan soal. Pada pembahasan kali ini, kita akan memilih dua soal latihan barisan geometri yang cukup menantang dan memberikan pembahasan lengkap dan rinci untuk masing-masing soal. Dengan memahami contoh-contoh soal ini, diharapkan kamu dapat lebih mahir dalam menyelesaikan soal barisan geometri lainnya.
Soal 1: Mencari Suku ke-n
Soal pertama ini akan menguji pemahamanmu tentang rumus suku ke-n dalam barisan geometri. Perhatikan soal berikut:
Diketahui barisan geometri dengan suku pertama 3 dan rasio 2. Tentukan suku ke-5 dari barisan tersebut.
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus suku ke-n barisan geometri:
Un = a * r^(n-1)
Dimana:
- Un adalah suku ke-n
- a adalah suku pertama
- r adalah rasio
- n adalah nomor suku
Dalam soal ini, kita memiliki:
- a = 3
- r = 2
- n = 5
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus, kita mendapatkan:
U5 = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48
Jadi, suku ke-5 dari barisan geometri tersebut adalah 48.
Soal 2: Mencari Jumlah Suku ke-n
Soal kedua ini akan menguji pemahamanmu tentang rumus jumlah suku ke-n dalam barisan geometri. Perhatikan soal berikut:
Hitunglah jumlah 6 suku pertama dari barisan geometri 2, 6, 18, …
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan rumus jumlah n suku pertama barisan geometri:
Sn = a(1-r^n) / (1-r)
Dimana:
- Sn adalah jumlah n suku pertama
- a adalah suku pertama
- r adalah rasio
- n adalah nomor suku
Dalam soal ini, kita memiliki:
- a = 2
- r = 3
- n = 6
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus, kita mendapatkan:
S6 = 2(1-3^6) / (1-3) = 2(-728) / (-2) = 728
Jadi, jumlah 6 suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah 728.
Akhir Kata
Melalui contoh soal dan pembahasan yang diberikan, diharapkan Anda dapat memahami konsep barisan geometri dengan lebih baik. Dengan pemahaman yang kuat, Anda dapat dengan mudah menyelesaikan berbagai soal terkait barisan geometri dan mengaplikasikannya dalam berbagai bidang, seperti keuangan, fisika, dan ilmu komputer. Selamat belajar!
