Contoh soal dan jawaban persamaan nilai mutlak – Nilai mutlak, sebuah konsep matematika yang mungkin terdengar asing, ternyata memiliki peran penting dalam berbagai bidang. Bayangkan, bagaimana kita bisa menentukan jarak antara dua titik tanpa melibatkan konsep nilai mutlak? Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi dunia nilai mutlak, khususnya dalam bentuk persamaan. Dengan memahami konsep dasar dan langkah-langkah penyelesaiannya, kita dapat dengan mudah menaklukkan soal-soal yang melibatkan persamaan nilai mutlak.
Persamaan nilai mutlak, seperti namanya, melibatkan persamaan yang mengandung tanda nilai mutlak (| |). Konsep ini mungkin terlihat sederhana, namun menyimpan tantangan tersendiri dalam menyelesaikannya. Artikel ini akan membimbing Anda melalui berbagai jenis persamaan nilai mutlak, langkah-langkah penyelesaiannya, dan contoh-contoh soal yang akan mengasah kemampuan Anda dalam memecahkan masalah matematika yang melibatkan nilai mutlak.
Persamaan Nilai Mutlak: Contoh Soal Dan Jawaban Persamaan Nilai Mutlak
Persamaan nilai mutlak adalah persamaan yang melibatkan nilai mutlak dari suatu variabel. Nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol, tanpa memperhatikan tanda positif atau negatifnya. Misalnya, nilai mutlak dari 5 adalah 5, dan nilai mutlak dari -5 juga adalah 5.
Definisi Persamaan Nilai Mutlak, Contoh soal dan jawaban persamaan nilai mutlak
Persamaan nilai mutlak adalah persamaan yang mengandung nilai mutlak dari variabel. Nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan. Nilai mutlak dari suatu bilangan selalu positif atau nol. Secara matematis, nilai mutlak dari suatu bilangan x dapat ditulis sebagai |x|.
Ngerjain soal persamaan nilai mutlak memang agak ribet ya, butuh ketelitian ekstra biar gak salah hitung. Nah, kalau kamu lagi belajar tentang diagram lingkaran, bisa nih cari referensi di contoh soal diagram lingkaran. Soal-soal diagram lingkaran ini bisa membantu kamu memahami konsep persentase dan proporsi, yang juga penting dalam menyelesaikan persamaan nilai mutlak.
Jadi, jangan lupa untuk belajar kedua topik ini dengan baik, ya!
Contoh Persamaan Nilai Mutlak Sederhana
Berikut adalah contoh persamaan nilai mutlak sederhana:
|x| = 3
Persamaan ini menyatakan bahwa jarak x dari nol adalah 3. Oleh karena itu, solusi dari persamaan ini adalah x = 3 atau x = -3.
Langkah-Langkah Umum dalam Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak
Berikut adalah langkah-langkah umum dalam menyelesaikan persamaan nilai mutlak:
- Isolasi nilai mutlak di satu sisi persamaan.
- Tentukan dua kemungkinan kasus:
- Kasus 1: Ekspresi di dalam nilai mutlak positif atau nol.
- Kasus 2: Ekspresi di dalam nilai mutlak negatif.
- Selesaikan persamaan untuk setiap kasus.
- Verifikasi solusi dengan mensubstitusikan kembali ke dalam persamaan asli.
Soal Latihan Persamaan Nilai Mutlak
Persamaan nilai mutlak merupakan salah satu konsep penting dalam matematika. Untuk menguasai konsep ini, latihan soal sangat diperlukan. Berikut ini beberapa contoh soal latihan persamaan nilai mutlak dengan tingkat kesulitan yang berbeda, lengkap dengan solusinya.
Contoh Soal Latihan Persamaan Nilai Mutlak
Berikut beberapa contoh soal latihan persamaan nilai mutlak dengan tingkat kesulitan yang berbeda.
-
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |x – 2| = 5.
-
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |2x + 1| = |x – 3|.
-
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |x^2 – 4| = 3.
-
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |x – 1| + |x + 2| = 5.
-
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |x^2 – 2x – 3| = |x + 1|.
Solusi Contoh Soal Latihan Persamaan Nilai Mutlak
Berikut solusi lengkap untuk setiap contoh soal latihan yang diberikan di atas.
-
Persamaan |x – 2| = 5 dapat dipecahkan dengan dua cara:
-
Jika x – 2 ≥ 0, maka |x – 2| = x – 2. Persamaan menjadi x – 2 = 5, sehingga x = 7.
-
Jika x – 2 < 0, maka |x – 2| = -(x – 2). Persamaan menjadi -(x – 2) = 5, sehingga x = -3.
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan |x – 2| = 5 adalah 7, -3.
-
-
Persamaan |2x + 1| = |x – 3| dapat dipecahkan dengan dua cara:
-
Jika 2x + 1 ≥ 0 dan x – 3 ≥ 0, maka |2x + 1| = 2x + 1 dan |x – 3| = x – 3. Persamaan menjadi 2x + 1 = x – 3, sehingga x = -4. Karena x = -4 tidak memenuhi syarat 2x + 1 ≥ 0 dan x – 3 ≥ 0, maka x = -4 bukan solusi.
-
Jika 2x + 1 ≥ 0 dan x – 3 < 0, maka |2x + 1| = 2x + 1 dan |x – 3| = -(x – 3). Persamaan menjadi 2x + 1 = -(x – 3), sehingga x = 2/3. Karena x = 2/3 memenuhi syarat 2x + 1 ≥ 0 dan x – 3 < 0, maka x = 2/3 adalah solusi.
-
Jika 2x + 1 < 0 dan x – 3 ≥ 0, maka |2x + 1| = -(2x + 1) dan |x – 3| = x – 3. Persamaan menjadi -(2x + 1) = x – 3, sehingga x = 2/3. Karena x = 2/3 tidak memenuhi syarat 2x + 1 < 0 dan x – 3 ≥ 0, maka x = 2/3 bukan solusi.
-
Jika 2x + 1 < 0 dan x – 3 < 0, maka |2x + 1| = -(2x + 1) dan |x – 3| = -(x – 3). Persamaan menjadi -(2x + 1) = -(x – 3), sehingga x = 4. Karena x = 4 tidak memenuhi syarat 2x + 1 < 0 dan x – 3 < 0, maka x = 4 bukan solusi.
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan |2x + 1| = |x – 3| adalah 2/3.
-
-
Persamaan |x^2 – 4| = 3 dapat dipecahkan dengan dua cara:
-
Jika x^2 – 4 ≥ 0, maka |x^2 – 4| = x^2 – 4. Persamaan menjadi x^2 – 4 = 3, sehingga x^2 = 7. Maka x = √7 atau x = -√7. Karena x = √7 dan x = -√7 memenuhi syarat x^2 – 4 ≥ 0, maka x = √7 dan x = -√7 adalah solusi.
-
Jika x^2 – 4 < 0, maka |x^2 – 4| = -(x^2 – 4). Persamaan menjadi -(x^2 – 4) = 3, sehingga x^2 = 1. Maka x = 1 atau x = -1. Karena x = 1 dan x = -1 tidak memenuhi syarat x^2 – 4 < 0, maka x = 1 dan x = -1 bukan solusi.
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan |x^2 – 4| = 3 adalah √7, -√7.
-
-
Persamaan |x – 1| + |x + 2| = 5 dapat dipecahkan dengan menggunakan sifat nilai mutlak. Persamaan ini dapat dipecahkan dengan melihat tiga kemungkinan kasus:
-
Jika x ≤ -2, maka |x – 1| = -(x – 1) dan |x + 2| = -(x + 2). Persamaan menjadi -(x – 1) – (x + 2) = 5, sehingga x = -3. Karena x = -3 memenuhi syarat x ≤ -2, maka x = -3 adalah solusi.
-
Jika -2 < x ≤ 1, maka |x – 1| = -(x – 1) dan |x + 2| = x + 2. Persamaan menjadi -(x – 1) + (x + 2) = 5, sehingga persamaan ini tidak memiliki solusi.
-
Jika x > 1, maka |x – 1| = x – 1 dan |x + 2| = x + 2. Persamaan menjadi (x – 1) + (x + 2) = 5, sehingga x = 2. Karena x = 2 memenuhi syarat x > 1, maka x = 2 adalah solusi.
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan |x – 1| + |x + 2| = 5 adalah -3, 2.
-
-
Persamaan |x^2 – 2x – 3| = |x + 1| dapat dipecahkan dengan dua cara:
-
Jika x^2 – 2x – 3 ≥ 0 dan x + 1 ≥ 0, maka |x^2 – 2x – 3| = x^2 – 2x – 3 dan |x + 1| = x + 1. Persamaan menjadi x^2 – 2x – 3 = x + 1, sehingga x^2 – 3x – 4 = 0. Persamaan ini dapat difaktorkan menjadi (x – 4)(x + 1) = 0. Maka x = 4 atau x = -1. Karena x = 4 memenuhi syarat x^2 – 2x – 3 ≥ 0 dan x + 1 ≥ 0, maka x = 4 adalah solusi. Karena x = -1 tidak memenuhi syarat x^2 – 2x – 3 ≥ 0 dan x + 1 ≥ 0, maka x = -1 bukan solusi.
-
Jika x^2 – 2x – 3 ≥ 0 dan x + 1 < 0, maka |x^2 – 2x – 3| = x^2 – 2x – 3 dan |x + 1| = -(x + 1). Persamaan menjadi x^2 – 2x – 3 = -(x + 1), sehingga x^2 – x – 2 = 0. Persamaan ini dapat difaktorkan menjadi (x – 2)(x + 1) = 0. Maka x = 2 atau x = -1. Karena x = 2 memenuhi syarat x^2 – 2x – 3 ≥ 0 dan x + 1 < 0, maka x = 2 adalah solusi. Karena x = -1 tidak memenuhi syarat x^2 – 2x – 3 ≥ 0 dan x + 1 < 0, maka x = -1 bukan solusi.
-
Jika x^2 – 2x – 3 < 0 dan x + 1 ≥ 0, maka |x^2 – 2x – 3| = -(x^2 – 2x – 3) dan |x + 1| = x + 1. Persamaan menjadi -(x^2 – 2x – 3) = x + 1, sehingga x^2 – x – 2 = 0. Persamaan ini dapat difaktorkan menjadi (x – 2)(x + 1) = 0. Maka x = 2 atau x = -1. Karena x = 2 tidak memenuhi syarat x^2 – 2x – 3 < 0 dan x + 1 ≥ 0, maka x = 2 bukan solusi. Karena x = -1 memenuhi syarat x^2 – 2x – 3 < 0 dan x + 1 ≥ 0, maka x = -1 adalah solusi.
-
Jika x^2 – 2x – 3 < 0 dan x + 1 < 0, maka |x^2 – 2x – 3| = -(x^2 – 2x – 3) dan |x + 1| = -(x + 1). Persamaan menjadi -(x^2 – 2x – 3) = -(x + 1), sehingga x^2 – 3x – 4 = 0. Persamaan ini dapat difaktorkan menjadi (x – 4)(x + 1) = 0. Maka x = 4 atau x = -1. Karena x = 4 tidak memenuhi syarat x^2 – 2x – 3 < 0 dan x + 1 < 0, maka x = 4 bukan solusi. Karena x = -1 memenuhi syarat x^2 – 2x – 3 < 0 dan x + 1 < 0, maka x = -1 adalah solusi.
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan |x^2 – 2x – 3| = |x + 1| adalah -1, 2, 4.
-
Contoh Soal Latihan yang Melibatkan Operasi Aljabar dan Persamaan Linear
Contoh soal latihan yang melibatkan operasi aljabar dan persamaan linear adalah:
-
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |2x + 3| – 4 = x + 1.
-
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3|x – 2| + 2x = 7.
Solusi Contoh Soal Latihan yang Melibatkan Operasi Aljabar dan Persamaan Linear
Berikut solusi lengkap untuk setiap contoh soal latihan yang diberikan di atas.
-
Persamaan |2x + 3| – 4 = x + 1 dapat dipecahkan dengan dua cara:
-
Jika 2x + 3 ≥ 0, maka |2x + 3| = 2x + 3. Persamaan menjadi 2x + 3 – 4 = x + 1, sehingga x = 2. Karena x = 2 memenuhi syarat 2x + 3 ≥ 0, maka x = 2 adalah solusi.
-
Jika 2x + 3 < 0, maka |2x + 3| = -(2x + 3). Persamaan menjadi -(2x + 3) – 4 = x + 1, sehingga x = -8/3. Karena x = -8/3 memenuhi syarat 2x + 3 < 0, maka x = -8/3 adalah solusi.
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan |2x + 3| – 4 = x + 1 adalah 2, -8/3.
-
-
Persamaan 3|x – 2| + 2x = 7 dapat dipecahkan dengan dua cara:
-
Jika x – 2 ≥ 0, maka |x – 2| = x – 2. Persamaan menjadi 3(x – 2) + 2x = 7, sehingga x = 13/5. Karena x = 13/5 memenuhi syarat x – 2 ≥ 0, maka x = 13/5 adalah solusi.
-
Jika x – 2 < 0, maka |x – 2| = -(x – 2). Persamaan menjadi 3(-(x – 2)) + 2x = 7, sehingga x = 1. Karena x = 1 tidak memenuhi syarat x – 2 < 0, maka x = 1 bukan solusi.
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 3|x – 2| + 2x = 7 adalah 13/5.
-
Terakhir
Dengan memahami konsep nilai mutlak, kita dapat menyelesaikan berbagai masalah matematika, baik dalam dunia akademis maupun dalam kehidupan sehari-hari. Artikel ini telah memberikan panduan lengkap mengenai persamaan nilai mutlak, mulai dari pengertian dasar hingga langkah-langkah penyelesaiannya. Dengan latihan yang cukup, Anda akan mampu menguasai konsep ini dan memecahkan berbagai masalah yang melibatkan nilai mutlak dengan mudah dan percaya diri.
