Contoh soal deret aritmatika dan geometri – Deret aritmatika dan geometri merupakan konsep penting dalam matematika yang memiliki aplikasi luas dalam kehidupan sehari-hari. Dari menghitung jumlah uang yang kita tabung setiap bulan hingga memprediksi pertumbuhan populasi, deret ini membantu kita memahami pola dan pertumbuhan secara sistematis.
Untuk memahami dan menguasai konsep deret aritmatika dan geometri, latihan soal sangatlah penting. Melalui contoh soal yang beragam, kita dapat melatih kemampuan kita dalam menghitung suku ke-n, jumlah n suku pertama, dan memecahkan masalah cerita yang melibatkan deret ini.
Pengertian Deret Aritmatika dan Geometri
Dalam matematika, deret merupakan suatu barisan bilangan yang disusun dengan pola tertentu. Dua jenis deret yang umum dipelajari adalah deret aritmatika dan deret geometri. Kedua deret ini memiliki karakteristik dan pola tersendiri yang membedakannya.
Deret Aritmetika
Deret aritmetika adalah deret bilangan yang selisih antara dua suku berurutan selalu tetap. Selisih tetap ini disebut beda (b). Dengan kata lain, untuk mendapatkan suku berikutnya dalam deret aritmetika, kita cukup menambahkan beda ke suku sebelumnya.
Contoh sederhana dari deret aritmetika adalah: 2, 5, 8, 11, 14, …
Pada deret ini, bedanya adalah 3. Setiap suku diperoleh dengan menambahkan 3 ke suku sebelumnya.
Deret Geometri, Contoh soal deret aritmatika dan geometri
Berbeda dengan deret aritmetika, deret geometri memiliki pola yang berbeda. Dalam deret geometri, perbandingan antara dua suku berurutan selalu tetap. Perbandingan tetap ini disebut rasio (r). Untuk mendapatkan suku berikutnya dalam deret geometri, kita kalikan suku sebelumnya dengan rasio.
Contoh sederhana dari deret geometri adalah: 1, 2, 4, 8, 16, …
Pada deret ini, rasionya adalah 2. Setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2.
Contoh soal deret aritmatika dan geometri memang sering muncul dalam ujian, baik itu ujian sekolah maupun ujian masuk perguruan tinggi. Nah, buat kamu yang sedang mempersiapkan diri untuk IELTS, kamu bisa melatih kemampuanmu dengan contoh soal IELTS pdf. Soal-soal dalam IELTS biasanya dirancang untuk menguji kemampuan bahasa Inggris secara komprehensif, termasuk pemahaman bacaan, penulisan, dan berbicara.
Setelah kamu berlatih dengan contoh soal IELTS, kamu bisa mencoba mengerjakan soal-soal deret aritmatika dan geometri untuk menguji kemampuanmu dalam menyelesaikan masalah matematika.
Soal Latihan Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah deret bilangan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku yang berurutan. Selisih ini disebut dengan beda (b). Untuk memahami lebih dalam mengenai deret aritmatika, mari kita berlatih dengan contoh soal berikut.
Mencari Suku ke-n (Un)
Mencari suku ke-n (Un) dalam deret aritmatika adalah menentukan nilai suku pada urutan tertentu dalam deret tersebut. Berikut adalah beberapa contoh soal yang melibatkan pencarian Un:
-
Suatu deret aritmatika memiliki suku pertama (a) = 5 dan beda (b) = 3. Tentukan suku ke-10 (U10) dari deret tersebut.
-
Suku ke-3 (U3) dari suatu deret aritmatika adalah 12 dan suku ke-7 (U7) adalah 28. Tentukan suku pertama (a) dan beda (b) dari deret tersebut.
-
Suku ke-5 (U5) dari suatu deret aritmatika adalah 20 dan beda (b) = 4. Tentukan suku ke-15 (U15) dari deret tersebut.
Mencari Jumlah n Suku Pertama (Sn)
Mencari jumlah n suku pertama (Sn) dalam deret aritmatika adalah menentukan jumlah semua suku dari suku pertama hingga suku ke-n. Berikut adalah beberapa contoh soal yang melibatkan pencarian Sn:
-
Suatu deret aritmatika memiliki suku pertama (a) = 2 dan beda (b) = 4. Tentukan jumlah 10 suku pertama (S10) dari deret tersebut.
-
Suku pertama (a) dari suatu deret aritmatika adalah 7 dan beda (b) = 3. Tentukan jumlah 15 suku pertama (S15) dari deret tersebut.
-
Suku ke-3 (U3) dari suatu deret aritmatika adalah 11 dan beda (b) = 2. Tentukan jumlah 8 suku pertama (S8) dari deret tersebut.
Kombinasi Pencarian Un dan Sn
Beberapa soal deret aritmatika mungkin melibatkan kombinasi pencarian Un dan Sn. Berikut adalah beberapa contoh soal yang menggabungkan kedua konsep tersebut:
-
Suatu deret aritmatika memiliki suku pertama (a) = 3 dan beda (b) = 5. Tentukan suku ke-8 (U8) dan jumlah 8 suku pertama (S8) dari deret tersebut.
-
Suku ke-5 (U5) dari suatu deret aritmatika adalah 17 dan beda (b) = 3. Tentukan suku pertama (a) dan jumlah 10 suku pertama (S10) dari deret tersebut.
-
Jumlah 7 suku pertama (S7) dari suatu deret aritmatika adalah 77 dan suku ke-7 (U7) adalah 21. Tentukan suku pertama (a) dan beda (b) dari deret tersebut.
Tabel Contoh Soal Deret Aritmatika
| No. | Soal | Penyelesaian | Jawaban |
|---|---|---|---|
| 1 | Suatu deret aritmatika memiliki suku pertama (a) = 5 dan beda (b) = 3. Tentukan suku ke-10 (U10) dari deret tersebut. | U10 = a + (n-1)b = 5 + (10-1)3 = 5 + 27 = 32 | U10 = 32 |
| 2 | Suku pertama (a) dari suatu deret aritmatika adalah 7 dan beda (b) = 3. Tentukan jumlah 15 suku pertama (S15) dari deret tersebut. | S15 = (n/2) (2a + (n-1)b) = (15/2) (2(7) + (15-1)3) = (15/2) (14 + 42) = (15/2) (56) = 420 | S15 = 420 |
| 3 | Suku ke-3 (U3) dari suatu deret aritmatika adalah 11 dan beda (b) = 2. Tentukan jumlah 8 suku pertama (S8) dari deret tersebut. | U3 = a + 2b = 11, maka a = 11 – 2b = 11 – 2(2) = 7 S8 = (n/2) (2a + (n-1)b) = (8/2) (2(7) + (8-1)2) = 4 (14 + 14) = 112 |
S8 = 112 |
Soal Latihan Deret Geometri
Deret geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio antar suku yang tetap. Rasio ini didefinisikan sebagai hasil bagi antara dua suku yang berurutan. Contohnya, barisan 2, 4, 8, 16, 32 adalah deret geometri dengan rasio 2. Dalam soal deret geometri, kamu akan diminta untuk menemukan suku ke-n (Un), jumlah n suku pertama (Sn), atau kombinasi keduanya.
Contoh Soal Deret Geometri: Pencarian Suku ke-n (Un)
Berikut adalah tiga contoh soal deret geometri yang melibatkan pencarian suku ke-n (Un):
-
Soal 1: Diketahui deret geometri dengan suku pertama a = 3 dan rasio r = 2. Tentukan suku ke-5 (U5) dari deret tersebut.
Penyelesaian:
Rumus umum suku ke-n (Un) dari deret geometri adalah Un = a * r^(n-1)
Dalam kasus ini, a = 3, r = 2, dan n = 5. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
U5 = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48
Jawaban: U5 = 48
-
Soal 2: Diketahui deret geometri dengan suku kedua U2 = 12 dan suku kelima U5 = 96. Tentukan suku pertama (a) dan rasio (r) dari deret tersebut.
Penyelesaian:
U2 = a * r = 12
U5 = a * r^4 = 96
Bagi persamaan kedua dengan persamaan pertama:
r^3 = 8
Maka, r = 2. Substitusikan r = 2 ke dalam persamaan U2 = a * r = 12:
a * 2 = 12
Maka, a = 6.
Jawaban: a = 6 dan r = 2
-
Soal 3: Diketahui deret geometri dengan suku pertama a = 1 dan rasio r = 1/2. Tentukan suku ke-7 (U7) dari deret tersebut.
Penyelesaian:
U7 = a * r^(7-1) = 1 * (1/2)^6 = 1/64
Jawaban: U7 = 1/64
Contoh Soal Deret Geometri: Pencarian Jumlah n Suku Pertama (Sn)
Berikut adalah tiga contoh soal deret geometri yang melibatkan pencarian jumlah n suku pertama (Sn):
-
Soal 1: Diketahui deret geometri dengan suku pertama a = 2 dan rasio r = 3. Tentukan jumlah 5 suku pertama (S5) dari deret tersebut.
Penyelesaian:
Rumus umum jumlah n suku pertama (Sn) dari deret geometri adalah Sn = a * (1 – r^n) / (1 – r)
Dalam kasus ini, a = 2, r = 3, dan n = 5. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
S5 = 2 * (1 – 3^5) / (1 – 3) = 2 * (1 – 243) / (-2) = 2 * (-242) / (-2) = 242
Jawaban: S5 = 242
-
Soal 2: Diketahui deret geometri dengan suku pertama a = 5 dan rasio r = 1/2. Tentukan jumlah 6 suku pertama (S6) dari deret tersebut.
Penyelesaian:
S6 = 5 * (1 – (1/2)^6) / (1 – 1/2) = 5 * (1 – 1/64) / (1/2) = 5 * (63/64) / (1/2) = 9,84375
Jawaban: S6 = 9,84375
-
Soal 3: Diketahui deret geometri dengan suku pertama a = 1 dan rasio r = -2. Tentukan jumlah 4 suku pertama (S4) dari deret tersebut.
Penyelesaian:
S4 = 1 * (1 – (-2)^4) / (1 – (-2)) = 1 * (1 – 16) / (3) = 1 * (-15) / (3) = -5
Jawaban: S4 = -5
Contoh Soal Deret Geometri: Kombinasi Pencarian Un dan Sn
Berikut adalah tiga contoh soal deret geometri yang melibatkan kombinasi pencarian Un dan Sn:
-
Soal 1: Diketahui deret geometri dengan suku pertama a = 4 dan rasio r = 1/3. Tentukan suku ke-4 (U4) dan jumlah 4 suku pertama (S4) dari deret tersebut.
Penyelesaian:
U4 = a * r^(4-1) = 4 * (1/3)^3 = 4/27
S4 = a * (1 – r^4) / (1 – r) = 4 * (1 – (1/3)^4) / (1 – 1/3) = 4 * (80/81) / (2/3) = 160/27
Jawaban: U4 = 4/27 dan S4 = 160/27
-
Soal 2: Diketahui deret geometri dengan suku kedua U2 = 10 dan suku kelima U5 = 80. Tentukan suku pertama (a), rasio (r), dan jumlah 5 suku pertama (S5) dari deret tersebut.
Penyelesaian:
U2 = a * r = 10
U5 = a * r^4 = 80
Bagi persamaan kedua dengan persamaan pertama:
r^3 = 8
Maka, r = 2. Substitusikan r = 2 ke dalam persamaan U2 = a * r = 10:
a * 2 = 10
Maka, a = 5. Selanjutnya, hitung S5:
S5 = 5 * (1 – 2^5) / (1 – 2) = 5 * (1 – 32) / (-1) = 5 * (-31) / (-1) = 155
Jawaban: a = 5, r = 2, dan S5 = 155
-
Soal 3: Diketahui deret geometri dengan suku pertama a = 2 dan rasio r = -1/2. Tentukan suku ke-6 (U6) dan jumlah 6 suku pertama (S6) dari deret tersebut.
Penyelesaian:
U6 = a * r^(6-1) = 2 * (-1/2)^5 = -1/16
S6 = a * (1 – r^6) / (1 – r) = 2 * (1 – (-1/2)^6) / (1 – (-1/2)) = 2 * (1 – 1/64) / (3/2) = 126/96 = 21/16
Jawaban: U6 = -1/16 dan S6 = 21/16
Tabel Contoh Soal Deret Geometri
| No. | Soal | Penyelesaian | Jawaban |
|---|---|---|---|
| 1 | Diketahui deret geometri dengan suku pertama a = 3 dan rasio r = 2. Tentukan suku ke-5 (U5) dari deret tersebut. | U5 = a * r^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48 | U5 = 48 |
| 2 | Diketahui deret geometri dengan suku kedua U2 = 12 dan suku kelima U5 = 96. Tentukan suku pertama (a) dan rasio (r) dari deret tersebut. | U2 = a * r = 12, U5 = a * r^4 = 96, r^3 = 8, r = 2, a * 2 = 12, a = 6 | a = 6 dan r = 2 |
| 3 | Diketahui deret geometri dengan suku pertama a = 1 dan rasio r = 1/2. Tentukan suku ke-7 (U7) dari deret tersebut. | U7 = a * r^(7-1) = 1 * (1/2)^6 = 1/64 | U7 = 1/64 |
| 4 | Diketahui deret geometri dengan suku pertama a = 2 dan rasio r = 3. Tentukan jumlah 5 suku pertama (S5) dari deret tersebut. | S5 = a * (1 – r^5) / (1 – r) = 2 * (1 – 3^5) / (-2) = 2 * (-242) / (-2) = 242 | S5 = 242 |
| 5 | Diketahui deret geometri dengan suku pertama a = 5 dan rasio r = 1/2. Tentukan jumlah 6 suku pertama (S6) dari deret tersebut. | S6 = 5 * (1 – (1/2)^6) / (1 – 1/2) = 5 * (1 – 1/64) / (1/2) = 5 * (63/64) / (1/2) = 9,84375 | S6 = 9,84375 |
| 6 | Diketahui deret geometri dengan suku pertama a = 1 dan rasio r = -2. Tentukan jumlah 4 suku pertama (S4) dari deret tersebut. | S4 = 1 * (1 – (-2)^4) / (1 – (-2)) = 1 * (1 – 16) / (3) = 1 * (-15) / (3) = -5 | S4 = -5 |
| 7 | Diketahui deret geometri dengan suku pertama a = 4 dan rasio r = 1/3. Tentukan suku ke-4 (U4) dan jumlah 4 suku pertama (S4) dari deret tersebut. | U4 = a * r^(4-1) = 4 * (1/3)^3 = 4/27, S4 = a * (1 – r^4) / (1 – r) = 4 * (1 – (1/3)^4) / (1 – 1/3) = 4 * (80/81) / (2/3) = 160/27 | U4 = 4/27 dan S4 = 160/27 |
| 8 | Diketahui deret geometri dengan suku kedua U2 = 10 dan suku kelima U5 = 80. Tentukan suku pertama (a), rasio (r), dan jumlah 5 suku pertama (S5) dari deret tersebut. | U2 = a * r = 10, U5 = a * r^4 = 80, r^3 = 8, r = 2, a * 2 = 10, a = 5, S5 = 5 * (1 – 2^5) / (-1) = 155 | a = 5, r = 2, dan S5 = 155 |
| 9 | Diketahui deret geometri dengan suku pertama a = 2 dan rasio r = -1/2. Tentukan suku ke-6 (U6) dan jumlah 6 suku pertama (S6) dari deret tersebut. | U6 = a * r^(6-1) = 2 * (-1/2)^5 = -1/16, S6 = 2 * (1 – (-1/2)^6) / (1 – (-1/2)) = 2 * (1 – 1/64) / (3/2) = 126/96 = 21/16 | U6 = -1/16 dan S6 = 21/16 |
Akhir Kata: Contoh Soal Deret Aritmatika Dan Geometri
Dengan memahami konsep deret aritmatika dan geometri serta berlatih menyelesaikan contoh soal, kita dapat mengasah kemampuan berpikir kritis dan analitis kita. Selain itu, kita juga dapat menerapkan pengetahuan ini untuk menyelesaikan masalah praktis dalam berbagai bidang kehidupan.
