Contoh Soal Pertidaksamaan: Kuasai Konsep dan Selesaikan Masalah

Contoh soal pertidaksamaan – Pertidaksamaan adalah konsep matematika yang penting dalam kehidupan sehari-hari. Mulai dari menentukan batasan kecepatan hingga menentukan keuntungan maksimal dalam bisnis, pertidaksamaan selalu hadir untuk membantu kita menyelesaikan berbagai masalah.

Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi dunia pertidaksamaan, mulai dari definisi hingga aplikasi praktisnya. Siapkan diri Anda untuk mempelajari berbagai jenis pertidaksamaan, cara menyelesaikannya, dan bagaimana menggambar grafiknya. Dengan contoh soal yang menarik, kita akan menjelajahi dunia pertidaksamaan dengan lebih mudah dan menyenangkan.

Pengertian Pertidaksamaan

Pertidaksamaan dalam matematika adalah suatu pernyataan yang menyatakan hubungan tidak sama antara dua ekspresi matematika. Pertidaksamaan digunakan untuk membandingkan nilai dua ekspresi, di mana satu ekspresi lebih besar, lebih kecil, lebih besar sama dengan, atau lebih kecil sama dengan ekspresi lainnya. Pertidaksamaan memiliki peran penting dalam berbagai bidang matematika, seperti aljabar, kalkulus, dan geometri.

Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang melibatkan variabel dengan pangkat tertinggi satu. Bentuk umum pertidaksamaan linear adalah:

ax + b > c, ax + b < c, ax + b ≥ c, atau ax + b ≤ c

di mana a, b, dan c adalah konstanta, dan x adalah variabel.

Contoh pertidaksamaan linear:

• 2x + 3 > 7
• -5x – 1 ≤ 4

Pertidaksamaan Kuadrat, Contoh soal pertidaksamaan

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang melibatkan variabel dengan pangkat tertinggi dua. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah:

ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≥ 0, atau ax² + bx + c ≤ 0

di mana a, b, dan c adalah konstanta, dan x adalah variabel.

Contoh pertidaksamaan kuadrat:

• x² – 4x + 3 > 0
• 2x² + 5x – 3 ≤ 0

Perbedaan Persamaan dan Pertidaksamaan

Persamaan dan pertidaksamaan memiliki perbedaan mendasar dalam cara mereka menyatakan hubungan antara dua ekspresi matematika.

• Persamaan: Persamaan menyatakan bahwa dua ekspresi memiliki nilai yang sama. Persamaan biasanya ditandai dengan tanda sama dengan (=). Contoh: 2x + 3 = 7
• Pertidaksamaan: Pertidaksamaan menyatakan bahwa dua ekspresi memiliki nilai yang tidak sama. Pertidaksamaan biasanya ditandai dengan tanda pertidaksamaan (, ≤, ≥). Contoh: 2x + 3 > 7

Jenis-Jenis Pertidaksamaan

Pertidaksamaan merupakan pernyataan matematika yang membandingkan dua ekspresi aljabar dengan menggunakan tanda “”, “≤”, atau “≥”. Pertidaksamaan ini dapat diklasifikasikan berdasarkan derajatnya, yaitu pangkat tertinggi dari variabel dalam pertidaksamaan tersebut. Berikut ini adalah pembahasan mengenai jenis-jenis pertidaksamaan berdasarkan derajatnya.

Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang derajatnya satu. Bentuk umum pertidaksamaan linear adalah ax + b 0, ax + b ≤ 0, atau ax + b ≥ 0, dengan a dan b adalah konstanta dan x adalah variabel.

• Contoh soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3 < 7.
• Cara menyelesaikan:
  1. Kurangi kedua ruas dengan 3: 2x < 4
  2. Bagi kedua ruas dengan 2: x < 2
  3. Himpunan penyelesaiannya adalah x < 2.

Pertidaksamaan Kuadrat, Contoh soal pertidaksamaan

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang derajatnya dua. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c ≤ 0, atau ax² + bx + c ≥ 0, dengan a, b, dan c adalah konstanta dan x adalah variabel.

• Contoh soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x² – 4x + 3 > 0.
• Cara menyelesaikan:
  1. Faktorkan ruas kiri: (x – 1)(x – 3) > 0
  2. Tentukan titik-titik kritis, yaitu x = 1 dan x = 3.
  3. Buat garis bilangan dan uji tanda pada setiap interval:
  4. Interval x < 1: (x – 1) < 0 dan (x – 3) 0
  5. Interval 1 < x 0 dan (x – 3) < 0, maka (x – 1)(x – 3) < 0
  6. Interval x > 3: (x – 1) > 0 dan (x – 3) > 0, maka (x – 1)(x – 3) > 0
  7. Himpunan penyelesaiannya adalah x 3.

Pertidaksamaan Eksponensial

Pertidaksamaan eksponensial adalah pertidaksamaan yang melibatkan variabel pada pangkat eksponen. Bentuk umum pertidaksamaan eksponensial adalah a^x < b, a^x > b, a^x ≤ b, atau a^x ≥ b, dengan a dan b adalah konstanta dan x adalah variabel.

• Contoh soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2^x < 8.
• Cara menyelesaikan:
  1. Ubah 8 menjadi 2³: 2^x < 2³
  2. Karena basisnya sama, maka pertidaksamaan dapat diubah menjadi x < 3.
  3. Himpunan penyelesaiannya adalah x < 3.

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang melibatkan variabel pada argumen logaritma. Bentuk umum pertidaksamaan logaritma adalah log_a x < b, log_a x > b, log_a x ≤ b, atau log_a x ≥ b, dengan a dan b adalah konstanta dan x adalah variabel.

• Contoh soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan log₂ (x + 1) > 3.
• Cara menyelesaikan:
  1. Ubah pertidaksamaan ke bentuk eksponensial: x + 1 > 2³
  2. Selesaikan persamaan: x + 1 > 8
  3. Himpunan penyelesaiannya adalah x > 7.

Pertidaksamaan Trigonometri

Pertidaksamaan trigonometri adalah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi trigonometri, seperti sin, cos, tan, cot, sec, dan csc. Bentuk umum pertidaksamaan trigonometri adalah sin x a, sin x ≤ a, atau sin x ≥ a, dengan a adalah konstanta dan x adalah variabel.

• Contoh soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan sin x < 1/2 pada interval 0 ≤ x ≤ 2π.
• Cara menyelesaikan:
  1. Tentukan nilai x yang memenuhi sin x = 1/2, yaitu x = π/6 dan x = 5π/6.
  2. Buat garis bilangan dan uji tanda pada setiap interval:
  3. Interval 0 ≤ x < π/6: sin x < 1/2
  4. Interval π/6 < x 1/2
  5. Interval 5π/6 < x ≤ 2π: sin x < 1/2
  6. Himpunan penyelesaiannya adalah 0 ≤ x < π/6 atau 5π/6 < x ≤ 2π.

Perbandingan Sifat Pertidaksamaan

Sifat	Pertidaksamaan Linear	Pertidaksamaan Kuadrat
Derajat	Satu	Dua
Bentuk Umum	ax + b 0, ax + b ≤ 0, atau ax + b ≥ 0	ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≤ 0, atau ax2 + bx + c ≥ 0
Himpunan Penyelesaian	Interval tunggal	Interval ganda atau interval tunggal
Metode Penyelesaian	Manipulasi aljabar	Faktorkan, uji tanda, atau rumus kuadrat

Menyelesaikan Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat matematika yang menyatakan hubungan tidak sama antara dua ekspresi. Pertidaksamaan digunakan untuk membandingkan nilai-nilai dan mengidentifikasi rentang nilai yang memenuhi kondisi tertentu. Ada berbagai jenis pertidaksamaan, seperti pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, dan pertidaksamaan eksponensial. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, kita perlu mencari nilai-nilai variabel yang membuat pertidaksamaan tersebut benar.

Langkah-Langkah Umum dalam Menyelesaikan Pertidaksamaan

Berikut adalah langkah-langkah umum dalam menyelesaikan pertidaksamaan:

• Sederhanakan kedua sisi pertidaksamaan dengan menggabungkan suku-suku sejenis.
• Tentukan operasi yang perlu dilakukan untuk mengisolasi variabel di satu sisi pertidaksamaan. Pastikan operasi yang dilakukan pada kedua sisi pertidaksamaan sama.
• Jika dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan harus dibalik.
• Tuliskan solusi dalam bentuk interval atau notasi himpunan.

Contoh Soal Pertidaksamaan Linear

Sebagai contoh, mari kita selesaikan pertidaksamaan linear berikut:

2x + 3 < 7

Berikut langkah-langkah penyelesaiannya:

1. Kurangi 3 dari kedua sisi pertidaksamaan:

2x + 3 – 3 < 7 – 3

2x < 4

2. Bagi kedua sisi pertidaksamaan dengan 2:

2x / 2 < 4 / 2

x < 2

Jadi, solusi pertidaksamaan 2x + 3 < 7 adalah x < 2. Ini berarti bahwa semua nilai x yang kurang dari 2 akan memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang melibatkan variabel berpangkat dua. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, kita dapat menggunakan metode faktorisasi atau rumus kuadrat.

Metode Faktorisasi

Metode faktorisasi melibatkan mencari dua faktor yang jika dikalikan akan menghasilkan ekspresi kuadrat dan jika dijumlahkan akan menghasilkan koefisien suku tengah. Setelah difaktorkan, kita dapat menentukan nilai-nilai x yang membuat ekspresi kuadrat sama dengan nol. Kemudian, kita dapat membuat garis bilangan untuk menentukan interval nilai x yang memenuhi pertidaksamaan.

Rumus Kuadrat

Rumus kuadrat digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Rumus kuadrat dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cara mencari nilai-nilai x yang membuat ekspresi kuadrat sama dengan nol. Setelah itu, kita dapat membuat garis bilangan untuk menentukan interval nilai x yang memenuhi pertidaksamaan.

Menggambar Grafik Pertidaksamaan

Setelah memahami cara menyelesaikan pertidaksamaan, langkah selanjutnya adalah menggambarkannya dalam bentuk grafik. Grafik pertidaksamaan dapat membantu kita memvisualisasikan solusi dari pertidaksamaan dan melihat bagaimana solusi tersebut memengaruhi variabel-variabel dalam pertidaksamaan.

Menggambar Grafik Pertidaksamaan Linear

Untuk menggambar grafik pertidaksamaan linear, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan linear. Contohnya, jika pertidaksamaan adalah y > 2x + 1, ubah menjadi y = 2x + 1.
2. Gambar garis yang mewakili persamaan linear. Untuk menggambar garis, kita dapat menggunakan dua titik yang terletak pada garis tersebut. Misalnya, kita dapat memilih x = 0 dan x = 1, kemudian substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai y. Dengan dua titik yang diperoleh, kita dapat menggambar garis.
3. Tentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan. Untuk menentukan daerah penyelesaian, kita dapat memilih titik uji yang tidak terletak pada garis. Jika titik uji memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang memuat titik uji merupakan daerah penyelesaian. Jika tidak, maka daerah yang tidak memuat titik uji merupakan daerah penyelesaian.

Menggambar Grafik Pertidaksamaan Kuadrat

Langkah-langkah menggambar grafik pertidaksamaan kuadrat mirip dengan langkah-langkah menggambar grafik pertidaksamaan linear, hanya saja kita perlu memperhatikan bentuk kurva parabola yang dihasilkan. Berikut langkah-langkahnya:

1. Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan kuadrat. Contohnya, jika pertidaksamaan adalah y > x^2 + 2x – 3, ubah menjadi y = x^2 + 2x – 3.
2. Gambar kurva parabola yang mewakili persamaan kuadrat. Untuk menggambar parabola, kita dapat mencari titik puncaknya (vertex) dan beberapa titik lain yang terletak pada kurva. Titik puncak dapat dicari dengan menggunakan rumus x = -b/2a, dengan a dan b adalah koefisien dari persamaan kuadrat. Setelah menemukan titik puncak, kita dapat memilih beberapa nilai x dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai y. Dengan titik-titik yang diperoleh, kita dapat menggambar kurva parabola.
3. Tentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan. Sama seperti pertidaksamaan linear, kita dapat memilih titik uji yang tidak terletak pada kurva parabola. Jika titik uji memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang memuat titik uji merupakan daerah penyelesaian. Jika tidak, maka daerah yang tidak memuat titik uji merupakan daerah penyelesaian.

Contoh Soal dan Cara Menggambar Grafik Pertidaksamaan

Misalkan kita ingin menggambar grafik pertidaksamaan y < 2x + 3. Berikut langkah-langkahnya:

1. Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan linear: y = 2x + 3.
2. Gambar garis yang mewakili persamaan linear. Untuk menggambar garis, kita dapat memilih x = 0 dan x = 1, kemudian substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai y.
   • Jika x = 0, maka y = 2(0) + 3 = 3. Jadi, titik (0, 3) terletak pada garis.
   • Jika x = 1, maka y = 2(1) + 3 = 5. Jadi, titik (1, 5) terletak pada garis.

   Gambar garis yang melewati titik (0, 3) dan (1, 5).

3. Tentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan. Pilih titik uji yang tidak terletak pada garis. Misalnya, kita dapat memilih titik (0, 0). Substitusikan nilai x = 0 dan y = 0 ke dalam pertidaksamaan y < 2x + 3:
   • 0 < 2(0) + 3
   • 0 < 3

   Pertidaksamaan tersebut benar, sehingga titik (0, 0) berada di daerah penyelesaian. Karena titik (0, 0) berada di bawah garis, maka daerah penyelesaian adalah daerah di bawah garis y = 2x + 3.

Gambar grafik pertidaksamaan y < 2x + 3 adalah sebagai berikut:

[Ilustrasi Gambar]

Contoh soal pertidaksamaan biasanya membahas tentang nilai variabel yang memenuhi suatu persamaan, misalnya seperti mencari nilai x yang membuat 2x + 3 lebih besar dari 5. Nah, kalau kamu penasaran dengan contoh soal lain yang lebih menantang, coba deh cek contoh soal dinamika rotasi dan jawabannya.

Di sana kamu akan menemukan soal-soal yang membahas tentang gerakan rotasi benda, seperti menghitung momen inersia atau torsi. Setelah mempelajari soal dinamika rotasi, kamu pasti akan lebih memahami konsep pertidaksamaan dan bisa menyelesaikannya dengan lebih mudah!

Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan y < 2x + 3.

Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan pada Grafik

Untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan pada grafik, kita dapat menggunakan beberapa cara:

• Metode Titik Uji: Pilih titik uji yang tidak terletak pada garis atau kurva. Substitusikan titik uji ke dalam pertidaksamaan. Jika titik uji memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang memuat titik uji merupakan daerah penyelesaian. Jika tidak, maka daerah yang tidak memuat titik uji merupakan daerah penyelesaian.
• Metode Garis Batas: Garis batas yang membagi bidang koordinat menjadi dua bagian. Jika pertidaksamaan menggunakan tanda > atau <, maka daerah penyelesaian terletak di sisi yang berlawanan dengan garis batas. Jika pertidaksamaan menggunakan tanda ≥ atau ≤, maka daerah penyelesaian terletak di sisi yang sama dengan garis batas.
• Metode Arsiran: Arsir daerah yang memenuhi pertidaksamaan. Arsiran dapat dilakukan dengan menggunakan pensil atau spidol. Arsiran yang dilakukan pada daerah penyelesaian menunjukkan bahwa semua titik di dalam daerah tersebut memenuhi pertidaksamaan.

Aplikasi Pertidaksamaan dalam Kehidupan Sehari-hari: Contoh Soal Pertidaksamaan

Pertidaksamaan, meskipun tampak rumit, ternyata memiliki peran penting dalam kehidupan sehari-hari. Kita seringkali menggunakan konsep pertidaksamaan tanpa menyadarinya, baik dalam pengambilan keputusan, perencanaan, maupun dalam berbagai bidang kehidupan lainnya.

Penerapan Pertidaksamaan dalam Bidang Ekonomi

Pertidaksamaan sangat berguna dalam analisis ekonomi, terutama dalam menentukan keuntungan maksimal atau biaya minimum. Pertidaksamaan membantu kita memahami batasan dan hubungan antara variabel ekonomi, seperti biaya produksi, harga jual, dan keuntungan.

• Misalnya, seorang pengusaha ingin menentukan harga jual produk agar keuntungannya maksimal. Ia dapat menggunakan pertidaksamaan untuk memodelkan hubungan antara harga jual, biaya produksi, dan keuntungan. Dengan menyelesaikan pertidaksamaan tersebut, pengusaha dapat menentukan harga jual optimal yang menghasilkan keuntungan maksimal.
• Contoh lainnya, perusahaan ingin menentukan jumlah produksi yang optimal untuk meminimalkan biaya produksi. Pertidaksamaan dapat digunakan untuk memodelkan hubungan antara jumlah produksi, biaya bahan baku, biaya tenaga kerja, dan biaya overhead. Dengan menyelesaikan pertidaksamaan, perusahaan dapat menentukan jumlah produksi optimal yang meminimalkan biaya produksi.

Penerapan Pertidaksamaan dalam Bidang Sosial

Pertidaksamaan juga berperan penting dalam bidang sosial, seperti menentukan batas usia minimal untuk melakukan suatu aktivitas.

• Misalnya, di Indonesia, batas usia minimal untuk mendapatkan SIM adalah 17 tahun. Hal ini didasarkan pada pertimbangan bahwa seseorang yang berusia di bawah 17 tahun belum cukup matang secara fisik dan mental untuk mengemudikan kendaraan bermotor. Pertidaksamaan dalam hal ini membantu mengatur batasan usia untuk melindungi keselamatan dan keamanan masyarakat.
• Contoh lainnya, dalam dunia kerja, banyak perusahaan menetapkan batas usia minimal untuk melamar pekerjaan tertentu. Hal ini didasarkan pada pertimbangan bahwa pengalaman dan kemampuan seseorang yang berusia lebih muda mungkin belum cukup untuk menjalankan tugas tertentu.

Penerapan Pertidaksamaan dalam Bidang Teknologi

Pertidaksamaan juga memiliki peran penting dalam bidang teknologi, terutama dalam menentukan batasan penggunaan data internet.

• Misalnya, provider internet menetapkan batas kuota data yang dapat digunakan oleh pelanggan. Jika pelanggan melebihi batas kuota, mereka akan dikenakan biaya tambahan. Pertidaksamaan dalam hal ini membantu mengatur penggunaan data internet dan memastikan kelancaran layanan.
• Contoh lainnya, dalam aplikasi smartphone, pertidaksamaan dapat digunakan untuk menentukan batasan penggunaan aplikasi tertentu. Misalnya, aplikasi game dapat membatasi waktu bermain untuk menghindari kecanduan. Pertidaksamaan dalam hal ini membantu mengatur penggunaan aplikasi dan menjaga keseimbangan dalam penggunaan teknologi.

Contoh Soal Pertidaksamaan Linear



Pertidaksamaan linear merupakan salah satu topik penting dalam matematika yang membahas tentang relasi ketidaksetaraan antara dua ekspresi aljabar yang melibatkan variabel dengan pangkat tertinggi satu. Dalam pertidaksamaan linear, kita akan mencari nilai variabel yang memenuhi kondisi ketidaksetaraan tersebut.

Contoh Soal Pertidaksamaan Linear

Berikut adalah lima contoh soal pertidaksamaan linear dengan tingkat kesulitan yang bervariasi, beserta langkah-langkah penyelesaiannya:

Soal	Jawaban	Langkah Penyelesaian
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3 < 7.	x < 2	Kurangi kedua ruas dengan 3: 2x + 3 – 3 < 7 – 3. Sederhanakan: 2x < 4. Bagi kedua ruas dengan 2: 2x / 2 < 4 / 2. Sederhanakan: x < 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 5 ≥ 10.	x ≥ 5	Tambahkan 5 ke kedua ruas: 3x – 5 + 5 ≥ 10 + 5. Sederhanakan: 3x ≥ 15. Bagi kedua ruas dengan 3: 3x / 3 ≥ 15 / 3. Sederhanakan: x ≥ 5.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan -4x + 2 > 6.	x < -1	Kurangi kedua ruas dengan 2: -4x + 2 – 2 > 6 – 2. Sederhanakan: -4x > 4. Bagi kedua ruas dengan -4 (ingat, membagi dengan bilangan negatif akan membalik tanda pertidaksamaan): -4x / -4 < 4 / -4. Sederhanakan: x < -1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5x + 1 ≤ 2x – 3.	x ≤ -4/3	Kurangi kedua ruas dengan 2x: 5x + 1 – 2x ≤ 2x – 3 – 2x. Sederhanakan: 3x + 1 ≤ -3. Kurangi kedua ruas dengan 1: 3x + 1 – 1 ≤ -3 – 1. Sederhanakan: 3x ≤ -4. Bagi kedua ruas dengan 3: 3x / 3 ≤ -4 / 3. Sederhanakan: x ≤ -4/3.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan -2(x + 3) > 4x – 1.	x < -1/2	Sederhanakan ruas kiri: -2x – 6 > 4x – 1. Tambahkan 2x ke kedua ruas: -2x – 6 + 2x > 4x – 1 + 2x. Sederhanakan: -6 > 6x – 1. Tambahkan 1 ke kedua ruas: -6 + 1 > 6x – 1 + 1. Sederhanakan: -5 > 6x. Bagi kedua ruas dengan 6: -5 / 6 > 6x / 6. Sederhanakan: -5/6 > x atau x < -5/6.

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memuat variabel berpangkat dua. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c ≤ 0, atau ax² + bx + c ≥ 0, dengan a, b, dan c adalah konstanta dan a ≠ 0.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, kita perlu menentukan nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat meliputi:

Langkah-langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

1. Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c ≤ 0, atau ax² + bx + c ≥ 0.
2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.
3. Buat garis bilangan dan tandai akar-akar persamaan kuadrat pada garis bilangan tersebut.
4. Tentukan tanda nilai ax² + bx + c pada setiap interval yang terbentuk oleh akar-akar persamaan kuadrat.
5. Pilih interval yang memenuhi pertidaksamaan.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal	Jawaban	Langkah Penyelesaian
x² – 5x + 6 < 0	1 < x < 6	Persamaan kuadrat x² – 5x + 6 = 0 memiliki akar-akar x = 2 dan x = 3. Buat garis bilangan dan tandai x = 2 dan x = 3 pada garis bilangan tersebut. Tentukan tanda nilai x² – 5x + 6 pada setiap interval: x < 2: x² – 5x + 6 > 0 2 < x < 3: x² – 5x + 6 < 0 x > 3: x² – 5x + 6 > 0 Interval yang memenuhi pertidaksamaan x² – 5x + 6 < 0 adalah 2 < x < 3.
2x² + 3x – 2 ≥ 0	x ≤ -2 atau x ≥ 1/2	Persamaan kuadrat 2x² + 3x – 2 = 0 memiliki akar-akar x = -2 dan x = 1/2. Buat garis bilangan dan tandai x = -2 dan x = 1/2 pada garis bilangan tersebut. Tentukan tanda nilai 2x² + 3x – 2 pada setiap interval: x ≤ -2: 2x² + 3x – 2 ≥ 0 -2 ≤ x ≤ 1/2: 2x² + 3x – 2 ≤ 0 x ≥ 1/2: 2x² + 3x – 2 ≥ 0 Interval yang memenuhi pertidaksamaan 2x² + 3x – 2 ≥ 0 adalah x ≤ -2 atau x ≥ 1/2.
-x² + 4x – 3 > 0	1 < x < 3	Persamaan kuadrat -x² + 4x – 3 = 0 memiliki akar-akar x = 1 dan x = 3. Buat garis bilangan dan tandai x = 1 dan x = 3 pada garis bilangan tersebut. Tentukan tanda nilai -x² + 4x – 3 pada setiap interval: x < 1: -x² + 4x – 3 < 0 1 < x < 3: -x² + 4x – 3 > 0 x > 3: -x² + 4x – 3 < 0 Interval yang memenuhi pertidaksamaan -x² + 4x – 3 > 0 adalah 1 < x < 3.
3x² – 10x + 8 ≤ 0	2/3 ≤ x ≤ 4	Persamaan kuadrat 3x² – 10x + 8 = 0 memiliki akar-akar x = 2/3 dan x = 4. Buat garis bilangan dan tandai x = 2/3 dan x = 4 pada garis bilangan tersebut. Tentukan tanda nilai 3x² – 10x + 8 pada setiap interval: x ≤ 2/3: 3x² – 10x + 8 ≥ 0 2/3 ≤ x ≤ 4: 3x² – 10x + 8 ≤ 0 x ≥ 4: 3x² – 10x + 8 ≥ 0 Interval yang memenuhi pertidaksamaan 3x² – 10x + 8 ≤ 0 adalah 2/3 ≤ x ≤ 4.
-2x² + 7x – 3 > 0	1/2 < x < 3	Persamaan kuadrat -2x² + 7x – 3 = 0 memiliki akar-akar x = 1/2 dan x = 3. Buat garis bilangan dan tandai x = 1/2 dan x = 3 pada garis bilangan tersebut. Tentukan tanda nilai -2x² + 7x – 3 pada setiap interval: x < 1/2: -2x² + 7x – 3 < 0 1/2 < x < 3: -2x² + 7x – 3 > 0 x > 3: -2x² + 7x – 3 < 0 Interval yang memenuhi pertidaksamaan -2x² + 7x – 3 > 0 adalah 1/2 < x < 3.

Soal Pertidaksamaan Pecahan

Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang memuat variabel pada penyebut pecahan. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pecahan, langkah-langkah yang perlu diperhatikan adalah:

1. Tentukan nilai-nilai yang membuat penyebut pecahan bernilai nol.
2. Tentukan nilai-nilai yang membuat pertidaksamaan bernilai nol.
3. Buat garis bilangan yang menunjukkan nilai-nilai yang diperoleh pada langkah 1 dan 2.
4. Tentukan tanda pertidaksamaan pada setiap interval pada garis bilangan.
5. Tuliskan solusi pertidaksamaan dalam bentuk notasi interval.

Contoh Soal Pertidaksamaan Pecahan

Berikut adalah 5 contoh soal pertidaksamaan pecahan dengan tingkat kesulitan yang bervariasi:

Soal	Jawaban	Langkah Penyelesaian
1. $\fracx-2x+1 > 0$	$x 2$	Penyebut bernilai nol ketika $x = -1$. Pertidaksamaan bernilai nol ketika $x = 2$. Buat garis bilangan yang menunjukkan nilai-nilai $x = -1$ dan $x = 2$. Tentukan tanda pertidaksamaan pada setiap interval pada garis bilangan. Untuk $x < -1$, pertidaksamaan bernilai positif. Untuk $-1 < x 2$, pertidaksamaan bernilai positif. Solusi pertidaksamaan adalah $x 2$.
2. $\frac2x+1x-3 \leq 1$	$x \leq 3$ atau $x \geq -2$	Penyebut bernilai nol ketika $x = 3$. Kurangi kedua ruas pertidaksamaan dengan 1, sehingga diperoleh $\frac2x+1x-3 – 1 \leq 0$. Sederhanakan pertidaksamaan menjadi $\fracx+4x-3 \leq 0$. Pertidaksamaan bernilai nol ketika $x = -4$. Buat garis bilangan yang menunjukkan nilai-nilai $x = -4$ dan $x = 3$. Tentukan tanda pertidaksamaan pada setiap interval pada garis bilangan. Untuk $x < -4$, pertidaksamaan bernilai positif. Untuk $-4 < x 3$, pertidaksamaan bernilai positif. Solusi pertidaksamaan adalah $x \leq 3$ atau $x \geq -2$.
3. $\fracx^2-4x+1 < 0$	$-2 < x 2$	Penyebut bernilai nol ketika $x = -1$. Faktorkan pembilang menjadi $(x+2)(x-2)$. Pertidaksamaan bernilai nol ketika $x = -2$ atau $x = 2$. Buat garis bilangan yang menunjukkan nilai-nilai $x = -2$, $x = -1$, dan $x = 2$. Tentukan tanda pertidaksamaan pada setiap interval pada garis bilangan. Untuk $x < -2$, pertidaksamaan bernilai positif. Untuk $-2 < x < -1$, pertidaksamaan bernilai negatif. Untuk $-1 < x 2$, pertidaksamaan bernilai positif. Solusi pertidaksamaan adalah $-2 < x 2$.
4. $\frac1x-2 + \frac1x+1 > 0$	$x < -1$ atau $-1 < x < 2$	Sederhanakan pertidaksamaan menjadi $\frac2x-1(x-2)(x+1) > 0$. Penyebut bernilai nol ketika $x = 2$ atau $x = -1$. Pertidaksamaan bernilai nol ketika $x = \frac12$. Buat garis bilangan yang menunjukkan nilai-nilai $x = -1$, $x = \frac12$, dan $x = 2$. Tentukan tanda pertidaksamaan pada setiap interval pada garis bilangan. Untuk $x < -1$, pertidaksamaan bernilai positif. Untuk $-1 < x < \frac12$, pertidaksamaan bernilai negatif. Untuk $\frac12 < x 2$, pertidaksamaan bernilai positif. Solusi pertidaksamaan adalah $x < -1$ atau $-1 < x < 2$.
5. $\fracx^2-3x+2x^2-5x+6 \geq 1$	$x \leq 1$ atau $2 \leq x < 3$	Kurangi kedua ruas pertidaksamaan dengan 1, sehingga diperoleh $\fracx^2-3x+2x^2-5x+6 – 1 \geq 0$. Sederhanakan pertidaksamaan menjadi $\frac-2x+4(x-2)(x-3) \geq 0$. Faktorkan pembilang menjadi $-2(x-2)$. Pertidaksamaan bernilai nol ketika $x = 2$. Penyebut bernilai nol ketika $x = 2$ atau $x = 3$. Buat garis bilangan yang menunjukkan nilai-nilai $x = 2$ dan $x = 3$. Tentukan tanda pertidaksamaan pada setiap interval pada garis bilangan. Untuk $x < 2$, pertidaksamaan bernilai positif. Untuk $2 \leq x 3$, pertidaksamaan bernilai positif. Solusi pertidaksamaan adalah $x \leq 1$ atau $2 \leq x < 3$.

Terakhir

Dengan pemahaman yang kuat tentang pertidaksamaan, Anda akan mampu menyelesaikan berbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari menentukan batas usia minimal untuk melakukan suatu aktivitas hingga menentukan batas penggunaan data internet.

Sebarkan ini:

Posting terkait:

• 

  Contoh Soal Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan: Kuasai Teknik Mencari Solusi

• 

  Contoh Soal Himpunan: Menguji Pemahamanmu tentang Konsep Himpunan

• 

  Contoh Soal Himpunan Fuzzy dan Penyelesaiannya: Panduan Praktis