Contoh soal turunan pertama – Pernahkah Anda bertanya-tanya bagaimana kecepatan mobil berubah saat Anda menginjak pedal gas? Atau bagaimana menentukan titik terendah dari sebuah parabola? Turunan pertama dalam matematika memegang kunci untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut! Turunan pertama merupakan alat yang ampuh untuk menganalisis perubahan suatu fungsi, dan aplikasinya sangat luas, mulai dari dunia fisika hingga ekonomi.
Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi dunia turunan pertama dengan contoh-contoh soal yang menarik. Anda akan belajar bagaimana menentukan titik stasioner, interval fungsi naik dan turun, nilai maksimum dan minimum, serta memahami penerapannya dalam berbagai konteks nyata. Mari kita mulai petualangan kita dalam memahami konsep turunan pertama!
Pengertian Turunan Pertama
Turunan pertama dalam matematika adalah konsep fundamental yang menggambarkan laju perubahan suatu fungsi terhadap variabel independennya. Dengan kata lain, turunan pertama menunjukkan bagaimana nilai fungsi berubah ketika variabel independennya mengalami perubahan kecil.
Ilustrasi Turunan Pertama dalam Kehidupan Sehari-hari
Bayangkan sebuah mobil yang melaju di jalan raya. Kecepatan mobil tersebut merupakan turunan pertama dari posisi mobil terhadap waktu. Semakin cepat mobil melaju, semakin besar laju perubahan posisi mobil terhadap waktu. Demikian pula, jika mobil melambat, laju perubahan posisi mobil terhadap waktu menjadi lebih kecil.
Perbandingan Turunan Pertama dengan Konsep Turunan Lainnya
| Konsep Turunan | Definisi | Contoh |
|---|---|---|
| Turunan Pertama | Laju perubahan fungsi terhadap variabel independen | Kecepatan mobil (turunan pertama dari posisi terhadap waktu) |
| Turunan Kedua | Laju perubahan turunan pertama terhadap variabel independen | Percepatan mobil (turunan kedua dari posisi terhadap waktu) |
| Turunan Ketiga | Laju perubahan turunan kedua terhadap variabel independen | Jerk (turunan ketiga dari posisi terhadap waktu) |
Turunan pertama merupakan konsep dasar dalam kalkulus yang memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, dan teknik. Pemahaman tentang turunan pertama sangat penting untuk menganalisis dan memahami perubahan dalam berbagai fenomena.
Rumus Turunan Pertama
Turunan pertama merupakan konsep penting dalam kalkulus yang menggambarkan laju perubahan suatu fungsi terhadap perubahan variabel bebasnya. Dalam bahasa sederhana, turunan pertama menunjukkan seberapa cepat nilai fungsi berubah saat nilai variabel bebasnya berubah. Rumus turunan pertama membantu kita memahami bagaimana suatu fungsi berubah dan menemukan titik-titik penting seperti titik maksimum, minimum, dan titik belok.
Rumus Umum Turunan Pertama
Rumus umum untuk mencari turunan pertama suatu fungsi f(x) adalah:
f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) – f(x)] / h
Rumus ini menyatakan bahwa turunan pertama f'(x) adalah limit dari selisih hasil bagi fungsi f(x) terhadap h ketika h mendekati nol. Selisih hasil bagi ini menunjukkan laju perubahan rata-rata fungsi f(x) di sekitar titik x. Dengan mengambil limit ketika h mendekati nol, kita mendapatkan laju perubahan sesaat, yaitu turunan pertama.
Contoh Penerapan Rumus Turunan Pertama
Mari kita lihat beberapa contoh penerapan rumus turunan pertama pada berbagai jenis fungsi:
Fungsi Linear
Fungsi linear memiliki bentuk f(x) = mx + c, di mana m adalah kemiringan dan c adalah konstanta. Turunan pertama fungsi linear adalah:
f'(x) = m
Turunan pertama fungsi linear selalu konstan dan sama dengan kemiringan garis. Ini menunjukkan bahwa laju perubahan fungsi linear selalu konstan, tidak peduli nilai x-nya.
Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat memiliki bentuk f(x) = ax^2 + bx + c, di mana a, b, dan c adalah konstanta. Turunan pertama fungsi kuadrat adalah:
f'(x) = 2ax + b
Turunan pertama fungsi kuadrat adalah fungsi linear. Ini menunjukkan bahwa laju perubahan fungsi kuadrat berubah secara linear. Turunan pertama ini membantu kita menemukan titik maksimum atau minimum fungsi kuadrat, di mana turunan pertama sama dengan nol.
Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial memiliki bentuk f(x) = a^x, di mana a adalah konstanta. Turunan pertama fungsi eksponensial adalah:
f'(x) = a^x * ln(a)
Turunan pertama fungsi eksponensial tetap merupakan fungsi eksponensial. Turunan pertama ini menunjukkan bahwa laju perubahan fungsi eksponensial meningkat secara eksponensial.
Tabel Rumus Turunan Pertama
| Jenis Fungsi | Rumus Turunan Pertama |
|---|---|
| Fungsi Linear (f(x) = mx + c) | f'(x) = m |
| Fungsi Kuadrat (f(x) = ax^2 + bx + c) | f'(x) = 2ax + b |
| Fungsi Eksponensial (f(x) = a^x) | f'(x) = a^x * ln(a) |
| Fungsi Trigonometri (f(x) = sin(x)) | f'(x) = cos(x) |
| Fungsi Trigonometri (f(x) = cos(x)) | f'(x) = -sin(x) |
Aplikasi Turunan Pertama
Turunan pertama merupakan konsep penting dalam kalkulus yang memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, dan teknik. Salah satu aplikasi utama turunan pertama adalah untuk menganalisis perilaku fungsi, khususnya dalam menentukan titik stasioner, interval fungsi naik dan turun, serta nilai maksimum dan minimum suatu fungsi.
Menentukan Titik Stasioner
Titik stasioner suatu fungsi adalah titik di mana turunan pertama fungsi tersebut sama dengan nol atau tidak terdefinisi. Titik stasioner dapat berupa titik maksimum, titik minimum, atau titik pelana.
- Titik maksimum adalah titik di mana fungsi mencapai nilai maksimum lokal. Di titik ini, turunan pertama fungsi bernilai nol dan turunan kedua fungsi bernilai negatif.
- Titik minimum adalah titik di mana fungsi mencapai nilai minimum lokal. Di titik ini, turunan pertama fungsi bernilai nol dan turunan kedua fungsi bernilai positif.
- Titik pelana adalah titik di mana turunan pertama fungsi bernilai nol, tetapi turunan kedua fungsi bernilai nol atau tidak terdefinisi.
Menentukan Interval Fungsi Naik dan Turun
Turunan pertama fungsi dapat digunakan untuk menentukan interval di mana fungsi naik dan turun. Jika turunan pertama fungsi bernilai positif pada suatu interval, maka fungsi tersebut naik pada interval tersebut. Sebaliknya, jika turunan pertama fungsi bernilai negatif pada suatu interval, maka fungsi tersebut turun pada interval tersebut.
Contoh Soal Penerapan Turunan Pertama dalam Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi
Misalkan kita ingin menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 2.
- Langkah pertama adalah menentukan turunan pertama fungsi f(x), yaitu f'(x) = 3x^2 – 6x.
- Selanjutnya, kita cari titik stasioner dengan menyelesaikan persamaan f'(x) = 0. Kita dapatkan x = 0 dan x = 2.
- Kemudian, kita uji tanda turunan pertama pada interval x < 0, 0 < x < 2, dan x > 2.
- Pada interval x < 0, f'(x) bernilai positif, sehingga fungsi f(x) naik pada interval tersebut.
- Pada interval 0 < x < 2, f'(x) bernilai negatif, sehingga fungsi f(x) turun pada interval tersebut.
- Pada interval x > 2, f'(x) bernilai positif, sehingga fungsi f(x) naik pada interval tersebut.
- Dari hasil uji tanda turunan pertama, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi f(x) memiliki titik maksimum di x = 0 dan titik minimum di x = 2.
Soal Turunan Pertama – Penentuan Titik Stasioner
Salah satu aplikasi penting turunan dalam kalkulus adalah untuk menentukan titik stasioner dari suatu fungsi. Titik stasioner adalah titik pada kurva fungsi di mana turunannya bernilai nol atau tidak terdefinisi. Titik-titik ini penting karena mereka menunjukkan titik-titik di mana kurva fungsi berubah arah, baik dari naik ke turun atau dari turun ke naik.
Menentukan Titik Stasioner
Untuk menentukan titik stasioner dari suatu fungsi, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:
- Tentukan turunan pertama dari fungsi tersebut.
- Selesaikan persamaan turunan pertama sama dengan nol, yaitu f'(x) = 0.
- Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.
- Tentukan nilai fungsi di titik-titik yang diperoleh pada langkah sebelumnya.
- Klasifikasikan titik stasioner sebagai titik maksimum, titik minimum, atau titik belok dengan menggunakan uji turunan kedua atau uji turunan pertama.
Contoh Soal
Misalkan kita diberikan fungsi f(x) = x3 – 3x2 + 2. Tentukan titik stasioner dari fungsi tersebut dan klasifikasikan jenisnya.
Penyelesaian
- Turunan pertama dari f(x) adalah f'(x) = 3x2 – 6x.
- Selesaikan persamaan f'(x) = 0, yaitu 3x2 – 6x = 0. Kita dapat memfaktorkan persamaan ini menjadi 3x(x – 2) = 0. Sehingga, kita memperoleh x = 0 atau x = 2.
- Tentukan nilai fungsi f(x) di titik x = 0 dan x = 2. f(0) = 2 dan f(2) = -2.
- Untuk mengklasifikasikan titik stasioner, kita dapat menggunakan uji turunan kedua. Turunan kedua dari f(x) adalah f”(x) = 6x – 6. f”(0) = -6 < 0, sehingga titik (0, 2) adalah titik maksimum. f''(2) = 6 > 0, sehingga titik (2, -2) adalah titik minimum.
Tabel Titik Stasioner
| Titik Stasioner | Jenis | Nilai Fungsi |
|---|---|---|
| (0, 2) | Titik Maksimum | 2 |
| (2, -2) | Titik Minimum | -2 |
Soal Turunan Pertama – Interval Fungsi Naik dan Turun
Salah satu aplikasi penting dari turunan pertama adalah untuk menentukan interval di mana fungsi naik dan turun. Turunan pertama memberikan informasi tentang kemiringan garis singgung pada kurva fungsi. Jika turunan pertama positif, maka fungsi naik, dan jika turunan pertama negatif, maka fungsi turun.
Menentukan Interval Fungsi Naik dan Turun
Untuk menentukan interval fungsi naik dan turun, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:
- Tentukan turunan pertama fungsi.
- Tentukan titik-titik kritis, yaitu titik-titik di mana turunan pertama sama dengan nol atau tidak terdefinisi.
- Buat garis bilangan dan tempatkan titik-titik kritis pada garis bilangan tersebut.
- Tentukan tanda turunan pertama pada setiap interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis.
- Jika turunan pertama positif pada suatu interval, maka fungsi naik pada interval tersebut. Jika turunan pertama negatif pada suatu interval, maka fungsi turun pada interval tersebut.
Contoh Soal
Misalnya, kita ingin menentukan interval fungsi naik dan turun dari fungsi f(x) = x3 – 3x2 + 2.
- Turunan pertama dari fungsi f(x) adalah f'(x) = 3x2 – 6x.
- Titik-titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f'(x) = 0. Kita peroleh 3x2 – 6x = 0, yang dapat difaktorkan menjadi 3x(x – 2) = 0. Oleh karena itu, titik-titik kritis adalah x = 0 dan x = 2.
- Buat garis bilangan dan tempatkan titik-titik kritis x = 0 dan x = 2 pada garis bilangan tersebut.
- Tentukan tanda turunan pertama f'(x) = 3x2 – 6x pada setiap interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis. Kita dapat memilih nilai x pada setiap interval dan mengevaluasi f'(x). Misalnya, pada interval x < 0, kita dapat memilih x = -1. Maka, f'(-1) = 3(-1)2 – 6(-1) = 9 > 0. Oleh karena itu, f'(x) positif pada interval x < 0. Dengan cara yang sama, kita dapat menentukan tanda f'(x) pada interval lainnya. Hasilnya ditunjukkan pada tabel berikut:
- Berdasarkan tabel di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi f(x) = x3 – 3x2 + 2 naik pada interval x < 0 dan x > 2, dan turun pada interval 0 < x < 2.
| Interval | Tanda f'(x) | Fungsi |
|---|---|---|
| x < 0 | + | Naik |
| 0 < x < 2 | – | Turun |
| x > 2 | + | Naik |
Ilustrasi Grafik
Ilustrasi grafik fungsi f(x) = x3 – 3x2 + 2 menunjukkan bahwa fungsi naik pada interval x < 0 dan x > 2, dan turun pada interval 0 < x < 2.
Berikut adalah ilustrasi grafik yang menunjukkan interval fungsi naik dan turun berdasarkan hasil perhitungan.
Gambarlah grafik fungsi f(x) = x3 – 3x2 + 2. Titik-titik kritis x = 0 dan x = 2 akan menjadi titik-titik di mana garis singgung pada kurva fungsi horizontal. Pada interval x < 0, garis singgung akan memiliki kemiringan positif, menunjukkan bahwa fungsi naik. Pada interval 0 < x < 2, garis singgung akan memiliki kemiringan negatif, menunjukkan bahwa fungsi turun. Pada interval x > 2, garis singgung akan memiliki kemiringan positif, menunjukkan bahwa fungsi naik.
Soal Turunan Pertama – Penentuan Nilai Maksimum dan Minimum
Turunan pertama memiliki peran penting dalam menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Dengan menggunakan turunan pertama, kita dapat menemukan titik-titik kritis yang merupakan kandidat untuk nilai maksimum dan minimum.
Konsep ini sangat berguna dalam berbagai bidang seperti ekonomi, fisika, dan teknik. Misalnya, dalam ekonomi, turunan pertama dapat digunakan untuk menentukan titik produksi optimal yang memaksimalkan keuntungan.
Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dengan menggunakan turunan pertama, kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:
- Tentukan turunan pertama dari fungsi tersebut.
- Tentukan titik-titik kritis dengan menyelesaikan persamaan turunan pertama sama dengan nol atau di mana turunan pertama tidak terdefinisi.
- Tentukan tanda turunan pertama di sekitar titik-titik kritis. Jika tanda turunan pertama berubah dari positif ke negatif, maka titik kritis tersebut merupakan titik maksimum. Sebaliknya, jika tanda turunan pertama berubah dari negatif ke positif, maka titik kritis tersebut merupakan titik minimum.
- Evaluasi nilai fungsi pada titik-titik kritis dan pada ujung domain (jika ada) untuk menentukan nilai maksimum dan minimum absolut.
Contoh Soal
Misalnya, kita ingin menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 pada interval [0, 3].
- Turunan pertama dari fungsi f(x) adalah f'(x) = 3x^2 – 6x.
- Titik-titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f'(x) = 0, yaitu 3x^2 – 6x = 0. Kita peroleh x = 0 dan x = 2.
- Tanda turunan pertama di sekitar titik-titik kritis adalah:
- Untuk x < 0, f'(x) > 0.
- Untuk 0 < x < 2, f'(x) < 0.
- Untuk x > 2, f'(x) > 0.
- Nilai fungsi pada titik-titik kritis dan ujung domain adalah:
- f(0) = 2
- f(2) = -2
- f(3) = 2
Oleh karena itu, x = 0 merupakan titik maksimum dan x = 2 merupakan titik minimum.
Jadi, nilai maksimum absolut adalah 2 dan nilai minimum absolut adalah -2.
Soal Turunan Pertama – Penerapan dalam Konteks Nyata
Turunan pertama merupakan konsep penting dalam kalkulus yang memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, dan teknik. Turunan pertama dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan optimasi, laju perubahan, dan kecepatan.
Penerapan Turunan Pertama dalam Optimasi
Konsep turunan pertama dapat digunakan untuk menemukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Misalnya, dalam konteks bisnis, kita dapat menggunakan turunan pertama untuk menentukan jumlah produksi yang memaksimalkan keuntungan.
Contoh Soal Optimasi
Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya total C(x) = 2x² + 5x + 10 dan menjualnya dengan harga p(x) = 10 – x per unit. Tentukan jumlah produksi yang memaksimalkan keuntungan perusahaan.
Langkah-langkah Penyelesaian
- Tentukan fungsi keuntungan P(x) = p(x) * x – C(x).
- Hitung turunan pertama fungsi keuntungan, yaitu P'(x).
- Tentukan nilai x yang membuat P'(x) = 0.
- Tentukan nilai x yang memaksimalkan keuntungan dengan menggunakan uji turunan kedua atau uji titik kritis.
Hasil
Berdasarkan perhitungan, jumlah produksi yang memaksimalkan keuntungan adalah 2 unit.
Penerapan Turunan Pertama dalam Laju Perubahan
Turunan pertama dapat digunakan untuk menentukan laju perubahan suatu besaran terhadap besaran lainnya. Misalnya, dalam konteks fisika, kita dapat menggunakan turunan pertama untuk menentukan kecepatan suatu benda yang bergerak.
Contoh Soal Laju Perubahan
Posisi suatu benda yang bergerak diberikan oleh fungsi s(t) = t³ – 3t² + 2t, dengan t adalah waktu dalam detik. Tentukan kecepatan benda saat t = 2 detik.
Langkah-langkah Penyelesaian
- Hitung turunan pertama fungsi posisi, yaitu s'(t).
- Substitusikan nilai t = 2 detik ke dalam s'(t) untuk mendapatkan kecepatan benda saat t = 2 detik.
Hasil
Kecepatan benda saat t = 2 detik adalah 2 m/s.
Penerapan Turunan Pertama dalam Kecepatan
Turunan pertama dari fungsi kecepatan memberikan percepatan suatu benda. Percepatan merupakan laju perubahan kecepatan terhadap waktu.
Contoh Soal Kecepatan
Kecepatan suatu mobil diberikan oleh fungsi v(t) = 2t² – 4t + 3, dengan t adalah waktu dalam detik. Tentukan percepatan mobil saat t = 3 detik.
Langkah-langkah Penyelesaian
- Hitung turunan pertama fungsi kecepatan, yaitu v'(t).
- Substitusikan nilai t = 3 detik ke dalam v'(t) untuk mendapatkan percepatan mobil saat t = 3 detik.
Hasil
Percepatan mobil saat t = 3 detik adalah 8 m/s².
Soal Turunan Pertama – Penentuan Titik Belok
Titik belok adalah titik pada kurva yang mengubah bentuknya dari cembung ke cekung, atau sebaliknya. Untuk menentukan titik belok, kita dapat menggunakan turunan kedua dari fungsi tersebut. Turunan kedua akan menunjukkan bagaimana kelengkungan kurva berubah. Jika turunan kedua positif, kurva tersebut cekung ke atas (konveks). Sebaliknya, jika turunan kedua negatif, kurva tersebut cekung ke bawah (konkav).
Menentukan Titik Belok
Berikut adalah contoh soal yang meminta untuk menentukan titik belok suatu fungsi menggunakan turunan kedua:
Diketahui fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x. Tentukan titik belok dari fungsi tersebut.
Untuk menentukan titik belok, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:
- Cari turunan pertama fungsi tersebut: f'(x) = 3x^2 – 6x + 2.
- Cari turunan kedua fungsi tersebut: f”(x) = 6x – 6.
- Cari titik-titik kritis dengan menetapkan f”(x) = 0: 6x – 6 = 0, maka x = 1.
- Tentukan tanda turunan kedua di sekitar titik kritis (x = 1). Untuk x < 1, f''(x) < 0, sehingga kurva tersebut cekung ke bawah. Untuk x > 1, f”(x) > 0, sehingga kurva tersebut cekung ke atas. Oleh karena itu, titik x = 1 adalah titik belok.
- Tentukan nilai fungsi di titik belok: f(1) = 1^3 – 3(1)^2 + 2(1) = 0.
Tabel Titik Belok, Contoh soal turunan pertama
Berikut adalah tabel yang menunjukkan titik belok, jenisnya (konveks atau konkav), dan nilai fungsi di titik tersebut:
| Titik Belok | Jenis | Nilai Fungsi |
|---|---|---|
| x = 1 | Konveks ke bawah (x < 1), Konveks ke atas (x > 1) | f(1) = 0 |
Soal Turunan Pertama – Penerapan dalam Grafik Fungsi
Turunan pertama fungsi memiliki peran penting dalam menentukan bentuk grafik fungsi. Informasi yang diperoleh dari turunan pertama dapat digunakan untuk menentukan titik stasioner, interval naik dan turun, serta titik belok. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menggambar grafik fungsi dengan lebih akurat dan tepat.
Contoh soal turunan pertama biasanya membahas tentang mencari nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Nah, konsep ini juga bisa diaplikasikan dalam bidang lain, seperti akuntansi perbankan. Misalnya, contoh soal akuntansi perbankan beserta jawabannya bisa menunjukkan bagaimana turunan pertama membantu menentukan titik impas atau profit maksimal dari suatu bank.
Jadi, meskipun fokusnya berbeda, prinsip dasar turunan pertama tetap bisa diterapkan di berbagai bidang.
Membuat Grafik Fungsi Berdasarkan Turunan Pertama
Turunan pertama memberikan informasi tentang kemiringan garis singgung pada setiap titik pada grafik fungsi. Jika turunan pertama positif, grafik fungsi naik. Sebaliknya, jika turunan pertama negatif, grafik fungsi turun. Titik di mana turunan pertama sama dengan nol atau tidak terdefinisi disebut titik stasioner. Titik stasioner dapat berupa titik puncak (maksimum), titik lembah (minimum), atau titik pelana.
Untuk menggambar grafik fungsi berdasarkan informasi turunan pertama, langkah-langkah yang dapat dilakukan adalah:
- Tentukan titik stasioner dengan mencari nilai x yang membuat turunan pertama sama dengan nol atau tidak terdefinisi.
- Tentukan interval naik dan turun dengan memeriksa tanda turunan pertama pada setiap interval.
- Tentukan titik belok dengan mencari nilai x yang membuat turunan kedua sama dengan nol atau tidak terdefinisi.
- Gambar grafik fungsi dengan menghubungkan titik-titik stasioner dan titik belok, dengan memperhatikan interval naik dan turun.
Contoh Soal
Misalkan kita diberikan fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 2. Turunan pertama dari fungsi ini adalah f'(x) = 3x^2 – 6x. Untuk menentukan titik stasioner, kita mencari nilai x yang membuat f'(x) = 0.
3x^2 – 6x = 0
Faktorisasi persamaan di atas, kita dapatkan:
3x(x – 2) = 0
Oleh karena itu, titik stasionernya adalah x = 0 dan x = 2. Untuk menentukan interval naik dan turun, kita periksa tanda turunan pertama pada setiap interval.
| Interval | f'(x) | Grafik |
|---|---|---|
| x < 0 | + | Naik |
| 0 < x < 2 | – | Turun |
| x > 2 | + | Naik |
Turunan kedua dari fungsi f(x) adalah f”(x) = 6x – 6. Titik belok terjadi ketika f”(x) = 0. Kita dapatkan x = 1 sebagai titik belok.
Dengan informasi ini, kita dapat menggambar grafik fungsi f(x). Grafik fungsi naik pada interval x < 0 dan x > 2, turun pada interval 0 < x < 2, memiliki titik puncak di x = 0, titik lembah di x = 2, dan titik belok di x = 1.
Contoh Soal dengan Berbagai Jenis Titik Stasioner
Misalkan kita diberikan fungsi f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1. Turunan pertama dari fungsi ini adalah f'(x) = 4x^3 – 12x^2 + 12x – 4. Titik stasionernya adalah x = 1 (titik puncak) dan x = 1 (titik pelana). Turunan kedua dari fungsi f(x) adalah f”(x) = 12x^2 – 24x + 12. Titik beloknya adalah x = 1. Grafik fungsi ini memiliki titik puncak di x = 1, titik pelana di x = 1, dan titik belok di x = 1.
Soal Turunan Pertama – Penerapan dalam Fisika: Contoh Soal Turunan Pertama
Turunan pertama dalam kalkulus memiliki peran penting dalam fisika, khususnya dalam analisis gerak benda. Konsep ini memungkinkan kita untuk memahami hubungan antara posisi, kecepatan, dan percepatan suatu benda secara matematis. Artikel ini akan membahas penerapan turunan pertama dalam konteks fisika dan bagaimana konsep ini membantu kita memahami gerak benda.
Penerapan Turunan Pertama dalam Analisis Gerak
Turunan pertama dari fungsi posisi terhadap waktu memberikan kecepatan benda. Artinya, kecepatan adalah laju perubahan posisi terhadap waktu. Begitu pula, turunan pertama dari fungsi kecepatan terhadap waktu memberikan percepatan benda. Percepatan adalah laju perubahan kecepatan terhadap waktu.
- Misalnya, jika fungsi posisi suatu benda dinyatakan sebagai s(t) = t2 + 2t, maka kecepatan benda pada waktu t dapat dihitung dengan mencari turunan pertama dari fungsi posisi, yaitu v(t) = s'(t) = 2t + 2.
- Percepatan benda pada waktu t dapat dihitung dengan mencari turunan pertama dari fungsi kecepatan, yaitu a(t) = v'(t) = 2.
Contoh Soal Turunan Pertama dalam Fisika
Sebuah mobil bergerak dengan fungsi posisi s(t) = t3 – 6t2 + 9t, di mana s adalah posisi dalam meter dan t adalah waktu dalam detik.
- Tentukan kecepatan mobil pada waktu t = 2 detik.
- Tentukan percepatan mobil pada waktu t = 3 detik.
Ilustrasi Grafik Kecepatan, Percepatan, dan Posisi
Ilustrasi grafik hubungan antara kecepatan, percepatan, dan posisi benda dapat membantu memahami konsep turunan pertama dalam fisika.
- Grafik posisi menunjukkan perubahan posisi benda terhadap waktu. Turunan pertama dari grafik posisi adalah grafik kecepatan.
- Grafik kecepatan menunjukkan perubahan kecepatan benda terhadap waktu. Turunan pertama dari grafik kecepatan adalah grafik percepatan.
Misalnya, jika grafik posisi benda berbentuk parabola, maka grafik kecepatannya akan berbentuk garis lurus, dan grafik percepatannya akan menjadi garis horizontal.
Kesimpulan
Turunan pertama dalam kalkulus merupakan alat yang ampuh untuk menganalisis gerak benda dalam fisika. Dengan memahami konsep turunan pertama, kita dapat menghitung kecepatan dan percepatan benda, serta menganalisis hubungan antara ketiga besaran tersebut.
Penutupan
Dengan memahami konsep turunan pertama, kita membuka pintu menuju pemahaman yang lebih dalam tentang perubahan dan hubungan antara berbagai besaran dalam matematika. Penerapannya yang luas dalam berbagai bidang ilmu menjadikan turunan pertama sebagai alat yang sangat penting untuk memecahkan masalah dan menemukan solusi inovatif.
