Contoh soal un barisan dan deret aritmatika dan penyelesaiannya – Pernahkah kamu bertanya-tanya bagaimana menghitung jumlah uang yang kamu kumpulkan setiap minggu jika kamu menabung dengan jumlah yang sama setiap harinya? Atau bagaimana menentukan suku ke-n pada barisan angka yang memiliki pola tertentu? Nah, konsep barisan dan deret aritmatika dapat membantu kamu dalam menyelesaikan masalah seperti itu.
Barisan dan deret aritmatika merupakan konsep matematika yang sangat penting dan sering muncul dalam soal-soal ujian nasional (UN). Untuk membantu kamu dalam memahami dan menyelesaikan soal-soal tersebut, artikel ini akan membahas contoh soal UN barisan dan deret aritmatika lengkap dengan penyelesaiannya secara langkah demi langkah.
Pengertian Barisan dan Deret Aritmatika
Barisan dan deret aritmatika merupakan konsep dasar dalam matematika yang membahas tentang pola urutan bilangan yang memiliki selisih tetap antara setiap suku.
Pengertian Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih tetap antara setiap suku yang berdekatan. Selisih tetap ini disebut beda.
Contoh:
– Barisan 2, 5, 8, 11, 14, … adalah barisan aritmatika dengan beda 3.
– Barisan 10, 7, 4, 1, -2, … adalah barisan aritmatika dengan beda -3.
Pengertian Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah penjumlahan dari suku-suku pada barisan aritmatika.
Contoh:
– Deret 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40 adalah deret aritmatika dengan beda 3.
– Deret 10 + 7 + 4 + 1 + (-2) = 20 adalah deret aritmatika dengan beda -3.
Perbedaan Barisan dan Deret Aritmatika
Berikut adalah tabel yang membandingkan ciri-ciri barisan aritmatika dan deret aritmatika:
| Ciri | Barisan Aritmatika | Deret Aritmatika |
|---|---|---|
| Definisi | Urutan bilangan dengan selisih tetap | Penjumlahan suku-suku barisan aritmatika |
| Contoh | 2, 5, 8, 11, 14, … | 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40 |
| Beda | Selisih tetap antara dua suku berdekatan | Sama dengan beda barisan aritmatika |
| Rumus Umum | Un = a + (n – 1) b | Sn = n/2 (a + Un) atau Sn = n/2 (2a + (n – 1) b) |
Rumus Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika merupakan barisan bilangan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku yang berdekatan. Selisih ini disebut dengan beda (b). Rumus-rumus yang digunakan dalam barisan aritmatika memudahkan kita dalam menghitung suku-suku tertentu, jumlah suku, dan sebagainya.
Rumus Suku ke-n (Un)
Rumus suku ke-n (Un) pada barisan aritmatika digunakan untuk menentukan nilai suku tertentu pada barisan tersebut. Rumus ini sangat berguna untuk menentukan nilai suku yang jauh dari suku pertama.
Un = a + (n – 1) b
Keterangan:
- Un = suku ke-n
- a = suku pertama
- n = nomor urut suku
- b = beda
Contoh:
Misalkan kita memiliki barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, … . Tentukan suku ke-10 dari barisan tersebut.
Diketahui:
- a = 2
- b = 5 – 2 = 3
- n = 10
Maka, suku ke-10 (U10) adalah:
U10 = a + (n – 1) b
U10 = 2 + (10 – 1) 3
U10 = 2 + 9 * 3
U10 = 2 + 27
U10 = 29
Jadi, suku ke-10 dari barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, … adalah 29.
Rumus Beda (b)
Rumus beda (b) pada barisan aritmatika digunakan untuk menentukan selisih antara dua suku yang berdekatan. Beda ini merupakan ciri khas dari barisan aritmatika, yang membedakannya dari barisan lainnya.
b = Un – Un-1
Keterangan:
- b = beda
- Un = suku ke-n
- Un-1 = suku ke-(n-1)
Contoh:
Misalkan kita memiliki barisan aritmatika 7, 10, 13, 16, … . Tentukan beda dari barisan tersebut.
Diketahui:
- U2 = 10
- U1 = 7
Maka, beda (b) adalah:
b = U2 – U1
b = 10 – 7
b = 3
Jadi, beda dari barisan aritmatika 7, 10, 13, 16, … adalah 3.
Rumus Jumlah n Suku Pertama (Sn)
Rumus jumlah n suku pertama (Sn) pada deret aritmatika digunakan untuk menentukan jumlah dari n suku pertama pada deret tersebut. Rumus ini sangat berguna untuk menghitung jumlah total suku-suku tertentu pada deret.
Sn = n/2 * (2a + (n – 1) b)
Keterangan:
- Sn = jumlah n suku pertama
- n = jumlah suku
- a = suku pertama
- b = beda
Contoh:
Misalkan kita memiliki deret aritmatika 3 + 6 + 9 + 12 + … . Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret tersebut.
Diketahui:
- a = 3
- b = 6 – 3 = 3
- n = 10
Maka, jumlah 10 suku pertama (S10) adalah:
S10 = n/2 * (2a + (n – 1) b)
S10 = 10/2 * (2 * 3 + (10 – 1) 3)
S10 = 5 * (6 + 9 * 3)
S10 = 5 * (6 + 27)
S10 = 5 * 33
S10 = 165
Jadi, jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika 3 + 6 + 9 + 12 + … adalah 165.
Soal-Soal UN Barisan dan Deret Aritmatika
Barisan dan deret aritmatika merupakan materi penting dalam matematika yang sering muncul dalam ujian nasional (UN). Untuk membantu kamu memahami konsep ini dan mempersiapkan diri menghadapi UN, artikel ini akan membahas beberapa contoh soal UN barisan dan deret aritmatika beserta penyelesaiannya secara langkah demi langkah.
Menentukan Suku ke-n (Un) pada Barisan Aritmatika
Menentukan suku ke-n (Un) pada barisan aritmatika adalah salah satu konsep dasar yang harus dipahami. Rumus umum untuk mencari suku ke-n (Un) adalah:
Un = a + (n – 1)b
di mana:
- Un adalah suku ke-n
- a adalah suku pertama
- b adalah beda
- n adalah nomor urut suku
Berikut contoh soal UN dan penyelesaiannya:
Soal:
Suatu barisan aritmatika memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tentukan suku ke-10 dari barisan tersebut.
Penyelesaian:
- Diketahui: a = 5, b = 3, n = 10
- Gunakan rumus Un = a + (n – 1)b
- Substitusikan nilai yang diketahui: U10 = 5 + (10 – 1)3
- Hitung: U10 = 5 + 27 = 32
- Jadi, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah 32.
Menentukan Beda (b) pada Barisan Aritmatika
Beda (b) pada barisan aritmatika adalah selisih antara dua suku yang berdekatan. Untuk mencari beda (b), kamu dapat menggunakan rumus:
b = Un – Un-1
Berikut contoh soal UN dan penyelesaiannya:
Soal:
Diketahui barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, … Tentukan beda (b) dari barisan tersebut.
Penyelesaian:
- Ambil dua suku yang berdekatan, misalnya suku kedua (U2 = 5) dan suku pertama (U1 = 2).
- Gunakan rumus b = Un – Un-1
- Substitusikan nilai yang diketahui: b = U2 – U1 = 5 – 2
- Hitung: b = 3
- Jadi, beda (b) dari barisan aritmatika tersebut adalah 3.
Menentukan Jumlah n Suku Pertama (Sn) pada Deret Aritmatika
Jumlah n suku pertama (Sn) pada deret aritmatika adalah jumlah dari n suku pertama dari barisan aritmatika tersebut. Rumus umum untuk mencari Sn adalah:
Sn = (n/2)(2a + (n – 1)b)
Berikut contoh soal UN dan penyelesaiannya:
Soal:
Tentukan jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika 3 + 7 + 11 + 15 + …
Penyelesaian:
- Diketahui: a = 3, b = 4, n = 15
- Gunakan rumus Sn = (n/2)(2a + (n – 1)b)
- Substitusikan nilai yang diketahui: S15 = (15/2)(2(3) + (15 – 1)4)
- Hitung: S15 = (15/2)(6 + 56) = 465
- Jadi, jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika tersebut adalah 465.
Soal UN yang Menggabungkan Konsep Barisan dan Deret Aritmatika
Beberapa soal UN dapat menggabungkan konsep barisan dan deret aritmatika. Berikut contoh soal UN dan penyelesaiannya:
Soal:
Suatu barisan aritmatika memiliki suku pertama 2 dan beda 4. Jika jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah 150, tentukan nilai n.
Penyelesaian:
- Diketahui: a = 2, b = 4, Sn = 150
- Gunakan rumus Sn = (n/2)(2a + (n – 1)b)
- Substitusikan nilai yang diketahui: 150 = (n/2)(2(2) + (n – 1)4)
- Sederhanakan persamaan: 150 = n(2 + 2n – 2)
- Sederhanakan lagi: 150 = 2n²
- Bagi kedua ruas dengan 2: 75 = n²
- Akar kuadratkan kedua ruas: n = √75 = 5√3
- Karena n harus bilangan bulat, maka nilai n yang memenuhi adalah n = 10.
- Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 10.
Penerapan Barisan dan Deret Aritmatika dalam Kehidupan Sehari-hari
Barisan dan deret aritmatika merupakan konsep matematika yang tidak hanya terbatas pada teori, tetapi juga memiliki banyak penerapan dalam kehidupan sehari-hari. Konsep ini membantu kita memahami dan menyelesaikan berbagai masalah praktis, baik dalam bidang ekonomi, keuangan, hingga dalam pengambilan keputusan.
Contoh Penerapan Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika memiliki pola yang teratur, di mana selisih antara dua suku yang berdekatan selalu konstan. Pola ini dapat ditemukan dalam berbagai situasi, seperti:
- Gaji Tahunan: Misalkan, seseorang mendapatkan kenaikan gaji sebesar Rp500.000 setiap tahun. Jika gaji awal adalah Rp5.000.000, maka gaji tahun berikutnya akan menjadi Rp5.500.000, kemudian Rp6.000.000, dan seterusnya. Pola ini membentuk barisan aritmatika dengan selisih 500.000.
- Harga Tiket Bus: Harga tiket bus untuk rute tertentu mungkin naik Rp2.000 setiap bulan. Jika harga tiket awal adalah Rp15.000, maka harga tiket di bulan berikutnya akan menjadi Rp17.000, kemudian Rp19.000, dan seterusnya. Pola ini membentuk barisan aritmatika dengan selisih 2.000.
- Jumlah Lembar Kertas: Bayangkan tumpukan kertas yang disusun dengan setiap lembar memiliki ketebalan yang sama. Jika tumpukan tersebut terdiri dari 10 lembar dengan ketebalan masing-masing 0,1 cm, maka ketebalan total tumpukan akan meningkat secara aritmatika, yaitu 0,1 cm, 0,2 cm, 0,3 cm, dan seterusnya.
Contoh Penerapan Deret Aritmatika
Deret aritmatika merupakan penjumlahan suku-suku dari barisan aritmatika. Dalam kehidupan sehari-hari, deret aritmatika dapat ditemukan dalam berbagai situasi, seperti:
- Tabungan: Misalkan, seseorang menabung Rp100.000 setiap bulan. Total tabungannya setelah 6 bulan adalah Rp600.000 (100.000 + 200.000 + 300.000 + 400.000 + 500.000 + 600.000). Ini merupakan contoh deret aritmatika dengan suku pertama 100.000 dan selisih 100.000.
- Jumlah Baris Kursi: Bayangkan sebuah gedung pertemuan dengan kursi yang disusun dalam barisan. Jika setiap baris memiliki 10 kursi lebih banyak dari baris sebelumnya, dan baris pertama memiliki 20 kursi, maka jumlah total kursi di 5 baris pertama adalah 150 (20 + 30 + 40 + 50 + 60). Ini merupakan contoh deret aritmatika dengan suku pertama 20 dan selisih 10.
- Jumlah Batu Bata: Perhatikan pembangunan sebuah tembok dengan susunan batu bata. Jika setiap baris memiliki 5 batu bata lebih banyak dari baris sebelumnya, dan baris pertama memiliki 10 batu bata, maka jumlah total batu bata di 4 baris pertama adalah 80 (10 + 15 + 20 + 25). Ini merupakan contoh deret aritmatika dengan suku pertama 10 dan selisih 5.
Tabel Contoh Penerapan Barisan dan Deret Aritmatika
Berikut adalah tabel yang merangkum berbagai contoh penerapan barisan dan deret aritmatika dalam kehidupan sehari-hari:
| Contoh | Jenis | Keterangan |
|---|---|---|
| Gaji Tahunan | Barisan Aritmatika | Kenaikan gaji yang tetap setiap tahun. |
| Harga Tiket Bus | Barisan Aritmatika | Kenaikan harga tiket yang tetap setiap bulan. |
| Jumlah Lembar Kertas | Barisan Aritmatika | Ketebalan tumpukan kertas yang meningkat secara teratur. |
| Tabungan | Deret Aritmatika | Jumlah tabungan yang bertambah secara teratur setiap bulan. |
| Jumlah Baris Kursi | Deret Aritmatika | Jumlah kursi di setiap baris yang meningkat secara teratur. |
| Jumlah Batu Bata | Deret Aritmatika | Jumlah batu bata di setiap baris yang meningkat secara teratur. |
Strategi Menyelesaikan Soal UN Barisan dan Deret Aritmatika
Ujian Nasional (UN) merupakan salah satu ujian penting yang menentukan kelulusan siswa. Soal-soal UN Barisan dan Deret Aritmatika seringkali dianggap menantang. Namun, dengan strategi yang tepat, kamu dapat menguasai materi ini dan menyelesaikan soal-soal UN dengan baik. Berikut beberapa strategi yang bisa kamu terapkan.
Memahami Konsep Dasar
Sebelum membahas strategi, penting untuk memahami konsep dasar barisan dan deret aritmatika. Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih tetap antara dua suku berurutan. Selisih ini disebut beda. Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dalam barisan aritmatika.
- Rumus suku ke-n: Un = a + (n – 1)b, dengan a adalah suku pertama, b adalah beda, dan n adalah nomor suku.
- Rumus jumlah n suku pertama: Sn = n/2 (2a + (n – 1)b).
Mengenali Pola Soal
Soal UN Barisan dan Deret Aritmatika umumnya disajikan dalam bentuk cerita atau kasus. Untuk menyelesaikan soal ini, kamu perlu mengenali pola soal dan menentukan jenis soal yang sedang dihadapi. Apakah soal tersebut tentang mencari suku ke-n, jumlah n suku pertama, beda, atau suku pertama?
Membuat Rumus
Setelah mengenali pola soal, kamu perlu membuat rumus yang sesuai. Gunakan rumus suku ke-n atau rumus jumlah n suku pertama untuk menyelesaikan soal. Pastikan kamu memahami setiap variabel dalam rumus dan mengganti nilai variabel dengan benar.
Mencari Nilai yang Ditanyakan
Setelah membuat rumus, kamu dapat mencari nilai yang ditanyakan dalam soal. Gunakan rumus yang telah kamu buat dan substitusikan nilai variabel yang diketahui. Hitung nilai yang ditanyakan dengan cermat.
Menghindari Kesalahan Umum
Kesalahan umum yang sering terjadi dalam menyelesaikan soal UN Barisan dan Deret Aritmatika antara lain:
- Salah memahami konsep dasar barisan dan deret aritmatika.
- Salah memilih rumus yang sesuai.
- Salah memasukkan nilai variabel dalam rumus.
- Salah menghitung nilai yang ditanyakan.
Contoh Penerapan Strategi, Contoh soal un barisan dan deret aritmatika dan penyelesaiannya
Berikut contoh soal UN Barisan dan Deret Aritmatika beserta penyelesaiannya menggunakan strategi yang telah dijelaskan:
Sebuah barisan aritmatika memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tentukan suku ke-10 barisan tersebut!
Langkah 1: Mengenali pola soal. Soal ini tentang mencari suku ke-n.
Langkah 2: Membuat rumus. Rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b.
Langkah 3: Mencari nilai yang ditanyakan. Diketahui a = 5, b = 3, dan n = 10. Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:
U10 = 5 + (10 – 1)3 = 5 + 27 = 32
Nggak cuma di pelajaran matematika, soal-soal barisan dan deret aritmatika juga bisa kamu temuin di bidang teknik sipil, lho! Misalnya, dalam menghitung jumlah bahan bangunan untuk membangun sebuah jembatan, kamu bisa menggunakan konsep barisan aritmatika untuk menentukan pola penggunaan bahan.
Atau, kamu bisa mempelajari contoh soal teknik sipil di sini untuk lebih memahami penerapan matematika dalam dunia teknik. Jadi, kemampuan memahami barisan dan deret aritmatika nggak cuma penting buat ujian nasional, tapi juga berguna untuk dunia profesional, khususnya di bidang teknik sipil.
Jadi, suku ke-10 barisan tersebut adalah 32.
Latihan Soal UN Barisan dan Deret Aritmatika: Contoh Soal Un Barisan Dan Deret Aritmatika Dan Penyelesaiannya
Barisan dan deret aritmatika merupakan materi yang sering muncul dalam soal-soal UN Matematika. Untuk membantu kamu dalam mempersiapkan diri menghadapi UN, berikut ini disajikan 5 contoh soal latihan UN tentang barisan dan deret aritmatika dengan tingkat kesulitan yang bervariasi.
Soal Latihan 1
Suatu barisan aritmatika memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tentukan suku ke-10 dari barisan tersebut.
Rumus suku ke-n barisan aritmatika:
Un = a + (n – 1)b
Dengan a = 5 dan b = 3, maka suku ke-10 (U10) adalah:
U10 = 5 + (10 – 1)3 = 5 + 27 = 32
Jadi, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah 32.
Soal Latihan 2
Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, …
Rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika:
Sn = (n/2) (a + Un)
Dari barisan tersebut, a = 2 dan b = 3. Untuk mencari jumlah 10 suku pertama (S10), kita perlu mencari U10 terlebih dahulu:
U10 = 2 + (10 – 1)3 = 2 + 27 = 29
Maka, S10 = (10/2) (2 + 29) = 5 x 31 = 155
Jadi, jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut adalah 155.
Soal Latihan 3
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut:
x + (x + 2) + (x + 4) + … + (x + 16) = 100
Persamaan tersebut merupakan deret aritmatika dengan a = x dan b = 2. Jumlah suku dalam deret tersebut adalah 9 (dari x hingga x + 16). Maka, kita dapat menggunakan rumus Sn untuk menyelesaikan persamaan:
Sn = (n/2) (a + Un)
100 = (9/2) (x + (x + 16))
100 = (9/2) (2x + 16)
200 = 9(2x + 16)
200 = 18x + 144
56 = 18x
x = 56/18 = 28/9
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 28/9.
Soal Latihan 4
Suku ke-5 dari suatu barisan aritmatika adalah 17 dan suku ke-8 adalah 25. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan tersebut.
Diketahui U5 = 17 dan U8 = 25. Dengan menggunakan rumus Un, kita dapat membentuk dua persamaan:
U5 = a + 4b = 17
U8 = a + 7b = 25
Selesaikan sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi atau substitusi. Misalnya, dengan eliminasi:
(a + 7b) – (a + 4b) = 25 – 17
3b = 8
b = 8/3
Substitusikan nilai b ke salah satu persamaan awal:
a + 4(8/3) = 17
a + 32/3 = 17
a = 17 – 32/3 = 19/3
Jadi, suku pertama (a) dari barisan tersebut adalah 19/3 dan bedanya (b) adalah 8/3.
Soal Latihan 5
Sebuah tangga memiliki 10 anak tangga. Tinggi anak tangga pertama adalah 20 cm dan tinggi setiap anak tangga berikutnya selalu lebih tinggi 5 cm dari anak tangga sebelumnya. Tentukan tinggi total tangga tersebut.
Tinggi tangga merupakan deret aritmatika dengan a = 20 cm dan b = 5 cm. Untuk mencari tinggi total tangga (S10), kita dapat menggunakan rumus Sn:
S10 = (10/2) (20 + (20 + 9 x 5))
S10 = 5 (20 + 65)
S10 = 5 x 85 = 425 cm
Jadi, tinggi total tangga tersebut adalah 425 cm.
Poin-Poin Penting
- Pahami konsep barisan dan deret aritmatika, termasuk rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama.
- Latih menyelesaikan berbagai jenis soal barisan dan deret aritmatika, mulai dari yang sederhana hingga yang kompleks.
- Perhatikan dengan cermat data yang diberikan dalam soal dan tentukan informasi apa yang diperlukan untuk menyelesaikan soal.
- Pilih metode yang tepat untuk menyelesaikan soal, seperti metode substitusi, eliminasi, atau rumus langsung.
- Jangan lupa untuk memeriksa kembali jawaban yang diperoleh agar tidak terjadi kesalahan.
Penutup
Dengan memahami konsep barisan dan deret aritmatika serta latihan yang cukup, kamu akan mampu menghadapi soal-soal UN dengan percaya diri. Ingat, kunci utama dalam menyelesaikan soal matematika adalah memahami konsep dan menerapkannya dengan tepat. Selamat belajar!
