Contoh Soal Vektor dan Jawabannya: Kuasai Konsep dan Penerapannya

Vektor, konsep matematika yang sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari, ternyata memiliki peran penting dalam berbagai bidang, mulai dari fisika hingga komputer grafis. Contoh Soal Vektor dan Jawabannya akan membawa Anda menjelajahi dunia vektor, memahami definisinya, menguasai operasi-operasi vektor, dan melihat langsung penerapannya dalam berbagai contoh soal yang terselesaikan.

Dari pemahaman dasar tentang vektor hingga aplikasi vektor dalam ruang tiga dimensi, kita akan membahasnya secara sistematis. Dengan contoh soal yang beragam dan penjelasan langkah demi langkah, Anda akan semakin memahami konsep vektor dan siap menghadapi berbagai tantangan yang berkaitan dengannya.

Pengertian Vektor

Dalam matematika, vektor adalah objek geometris yang memiliki besar dan arah. Vektor dapat direpresentasikan sebagai panah, dengan panjang panah mewakili besarnya dan arah panah menunjukkan arahnya. Vektor berbeda dengan skalar, yang hanya memiliki besar dan tidak memiliki arah.

Contoh Vektor dalam Kehidupan Sehari-hari

Vektor banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari, contohnya:

• Kecepatan mobil: Kecepatan mobil memiliki besar (misalnya 60 km/jam) dan arah (misalnya ke timur).
• Gaya yang diberikan pada benda: Gaya memiliki besar (misalnya 10 Newton) dan arah (misalnya ke atas).
• Perpindahan: Perpindahan adalah perubahan posisi suatu objek, yang memiliki besar (misalnya 5 meter) dan arah (misalnya ke utara).

Perbedaan Vektor dan Skalar

Berikut tabel yang membandingkan sifat vektor dan skalar:

Sifat	Vektor	Skalar
Besar	Memiliki	Memiliki
Arah	Memiliki	Tidak memiliki
Penjumlahan	Penjumlahan vektor	Penjumlahan biasa
Contoh	Kecepatan, gaya, perpindahan	Suhu, massa, waktu

Operasi Vektor: Contoh Soal Vektor Dan Jawabannya

Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Operasi vektor adalah cara-cara yang digunakan untuk memanipulasi vektor, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian dot dan silang. Operasi-operasi ini penting dalam berbagai bidang seperti fisika, matematika, dan teknik.

Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor adalah operasi yang menggabungkan dua atau lebih vektor untuk menghasilkan vektor baru. Penjumlahan vektor dapat dilakukan secara grafis atau analitis.

• Secara grafis, penjumlahan vektor dilakukan dengan menempatkan ekor vektor kedua pada ujung vektor pertama, dan kemudian menggambar vektor resultan dari ekor vektor pertama ke ujung vektor kedua.
• Secara analitis, penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen vektor yang sesuai.

Contoh:

Vektor A = (2, 3) dan Vektor B = (1, -1). Penjumlahan vektor A dan B adalah:
A + B = (2 + 1, 3 – 1) = (3, 2).

Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor adalah operasi yang mengurangi satu vektor dari vektor lainnya. Pengurangan vektor dapat dilakukan secara grafis atau analitis.

• Secara grafis, pengurangan vektor dilakukan dengan menempatkan ekor vektor yang dikurangi pada ujung vektor pertama, dan kemudian menggambar vektor resultan dari ekor vektor pertama ke ujung vektor yang dikurangi.
• Secara analitis, pengurangan vektor dilakukan dengan mengurangi komponen-komponen vektor yang sesuai.

Contoh:

Vektor A = (2, 3) dan Vektor B = (1, -1). Pengurangan vektor B dari A adalah:
A – B = (2 – 1, 3 – (-1)) = (1, 4).

Perkalian Skalar dengan Vektor

Perkalian skalar dengan vektor adalah operasi yang mengalikan vektor dengan skalar (bilangan). Perkalian skalar dengan vektor menghasilkan vektor baru yang memiliki arah yang sama dengan vektor awal tetapi dengan panjang yang berbeda.

Latihan soal vektor dan jawabannya bisa membantu kamu memahami konsep dasar vektor. Nah, untuk menguji pemahamanmu tentang geometri ruang, kamu bisa coba kerjakan contoh soal bangun ruang kelas 12. Soal-soal ini biasanya melibatkan berbagai bentuk geometri seperti kubus, balok, prisma, limas, dan bola.

Dengan mempelajari contoh soal vektor dan jawabannya, kamu bisa lebih mudah memahami konsep bangun ruang dan menyelesaikan soal-soal yang lebih kompleks.

Contoh:

Vektor A = (2, 3) dan skalar k = 2. Perkalian skalar k dengan vektor A adalah:
k * A = 2 * (2, 3) = (4, 6).

Perkalian Dot (Dot Product)

Perkalian dot (dot product) adalah operasi yang mengalikan dua vektor dan menghasilkan skalar. Perkalian dot didefinisikan sebagai hasil kali panjang kedua vektor dikalikan dengan kosinus sudut antara kedua vektor tersebut.

Contoh:

Vektor A = (2, 3) dan Vektor B = (1, -1). Perkalian dot A dan B adalah:
A · B = (2 * 1) + (3 * -1) = 2 – 3 = -1.

Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian silang (cross product) adalah operasi yang mengalikan dua vektor dan menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap kedua vektor awal. Perkalian silang didefinisikan sebagai hasil kali panjang kedua vektor dikalikan dengan sinus sudut antara kedua vektor tersebut.

Contoh:

Vektor A = (2, 3, 0) dan Vektor B = (1, -1, 1). Perkalian silang A dan B adalah:
A × B = (3 * 1 – 0 * -1, 0 * 1 – 2 * 1, 2 * -1 – 3 * 1) = (3, -2, -5).

Jenis-jenis Vektor

Vektor, dalam matematika, adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Mereka digunakan untuk merepresentasikan berbagai macam besaran fisik, seperti kecepatan, percepatan, dan gaya. Vektor dapat diklasifikasikan berdasarkan arahnya, dimensinya, dan sifat-sifat lainnya. Dalam pembahasan ini, kita akan fokus pada dua klasifikasi utama: jenis vektor berdasarkan arahnya dan jenis vektor berdasarkan dimensinya.

Jenis Vektor Berdasarkan Arah

Jenis vektor berdasarkan arahnya menggambarkan bagaimana vektor tersebut bergerak di ruang. Berikut beberapa jenis vektor berdasarkan arahnya:

• Vektor Nol: Vektor nol adalah vektor yang memiliki panjang nol dan tidak memiliki arah tertentu. Vektor nol dilambangkan dengan 0. Vektor nol tidak memiliki pengaruh pada penjumlahan vektor atau perkalian skalar.
• Vektor Satuan: Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang satu satuan. Vektor satuan sering digunakan untuk menunjukkan arah suatu vektor. Vektor satuan dilambangkan dengan topi di atas simbol vektor, seperti û. Untuk mendapatkan vektor satuan dari suatu vektor, kita dapat membaginya dengan panjangnya.
• Vektor Berlawanan Arah: Dua vektor dikatakan berlawanan arah jika keduanya memiliki panjang yang sama tetapi arah yang berlawanan. Misalnya, vektor a dan -a adalah vektor berlawanan arah.

Jenis Vektor Berdasarkan Dimensi

Jenis vektor berdasarkan dimensinya menunjukkan berapa banyak sumbu yang dibutuhkan untuk merepresentasikan vektor tersebut. Berikut beberapa jenis vektor berdasarkan dimensinya:

• Vektor Dua Dimensi: Vektor dua dimensi adalah vektor yang dapat direpresentasikan dalam bidang dua dimensi, seperti bidang x-y. Vektor dua dimensi memiliki dua komponen, yaitu komponen x dan komponen y. Contoh vektor dua dimensi adalah (2, 3), yang memiliki komponen x = 2 dan komponen y = 3.
• Vektor Tiga Dimensi: Vektor tiga dimensi adalah vektor yang dapat direpresentasikan dalam ruang tiga dimensi, seperti ruang x-y-z. Vektor tiga dimensi memiliki tiga komponen, yaitu komponen x, komponen y, dan komponen z. Contoh vektor tiga dimensi adalah (1, 2, 3), yang memiliki komponen x = 1, komponen y = 2, dan komponen z = 3.

Proyeksi Vektor

Proyeksi vektor merupakan konsep penting dalam aljabar linear yang membantu kita memahami bagaimana suatu vektor dapat diuraikan ke dalam komponen yang sejajar dengan vektor lainnya. Bayangkan sebuah sinar cahaya yang jatuh pada permukaan datar, proyeksi sinar cahaya tersebut pada permukaan datar adalah bayangan sinar cahaya. Begitu pula dalam aljabar linear, proyeksi vektor merupakan bayangan vektor yang diproyeksikan ke vektor lain.

Konsep Proyeksi Vektor

Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor yang sejajar dengan b dan memiliki panjang yang sama dengan panjang proyeksi ortogonal a pada b. Proyeksi ini dilambangkan dengan proj_b a.

Proyeksi vektor a pada b dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

proj_b a = ((a ⋅ b) / ||b||²) b

Dimana:
– a ⋅ b adalah hasil kali dot dari vektor a dan b.
– ||b|| adalah panjang vektor b.

Contoh Soal Proyeksi Vektor

Misalnya, kita ingin menentukan proyeksi vektor a = (3, 4) pada vektor b = (1, 2).

Langkah-langkahnya:

1. Hitung hasil kali dot dari vektor a dan b:
a ⋅ b = (3)(1) + (4)(2) = 11

2. Hitung panjang vektor b:
||b|| = √(1² + 2²) = √5

3. Hitung proyeksi vektor a pada b:
proj_b a = ((a ⋅ b) / ||b||²) b = (11 / (√5)²) (1, 2) = (11/5, 22/5)

Jadi, proyeksi vektor a = (3, 4) pada vektor b = (1, 2) adalah proj_b a = (11/5, 22/5).

Cara Menentukan Panjang Proyeksi Vektor

Panjang proyeksi vektor a pada b dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:

||proj_b a|| = |(a ⋅ b) / ||b|| |

Dalam contoh sebelumnya, panjang proyeksi vektor a pada b adalah:
||proj_b a|| = |(11) / (√5)| = 11/√5.

Panjang proyeksi vektor a pada b menunjukkan jarak antara titik pangkal vektor a dan titik potong proyeksi vektor a pada b dengan garis yang sejajar dengan vektor b.

Kesimpulan

Proyeksi vektor merupakan konsep penting dalam aljabar linear yang membantu kita memahami bagaimana suatu vektor dapat diuraikan ke dalam komponen yang sejajar dengan vektor lainnya. Konsep ini memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang, seperti fisika, teknik, dan ilmu komputer.

Vektor dalam Ruang Tiga Dimensi

Vektor dalam ruang tiga dimensi adalah konsep yang penting dalam matematika dan fisika. Vektor merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah. Dalam ruang tiga dimensi, vektor memiliki tiga komponen yang menyatakan arah dan besarnya dalam sumbu x, y, dan z.

Cara Menyatakan Vektor dalam Ruang Tiga Dimensi

Vektor dalam ruang tiga dimensi dapat dinyatakan dalam bentuk komponen, yaitu dengan menggunakan notasi vektor:

v = (x, y, z)

Dimana:

• x adalah komponen vektor pada sumbu x
• y adalah komponen vektor pada sumbu y
• z adalah komponen vektor pada sumbu z

Sebagai contoh, vektor v = (2, 3, 1) memiliki komponen 2 pada sumbu x, 3 pada sumbu y, dan 1 pada sumbu z.

Operasi Vektor dalam Ruang Tiga Dimensi

Operasi vektor dalam ruang tiga dimensi meliputi:

• Penjumlahan vektor: Penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen yang bersesuaian.
• Pengurangan vektor: Pengurangan vektor dilakukan dengan mengurangi komponen-komponen yang bersesuaian.
• Perkalian skalar: Perkalian skalar dengan vektor dilakukan dengan mengalikan setiap komponen vektor dengan skalar tersebut.
• Perkalian dot (skalar): Perkalian dot antara dua vektor menghasilkan skalar.
• Perkalian silang (vektor): Perkalian silang antara dua vektor menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut.

Contoh Soal Operasi Vektor dalam Ruang Tiga Dimensi

Misalkan kita memiliki dua vektor:

u = (1, 2, 3) dan v = (4, 5, 6)

Tentukan:

1. u + v
2. u – v
3. 3u
4. u · v
5. u × v

Berikut adalah penyelesaiannya:

1. u + v = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)
2. u – v = (1 – 4, 2 – 5, 3 – 6) = (-3, -3, -3)
3. 3u = (3 × 1, 3 × 2, 3 × 3) = (3, 6, 9)
4. u · v = (1 × 4) + (2 × 5) + (3 × 6) = 4 + 10 + 18 = 32
5. u × v =
   

   
   | i j k |
   
   | 1 2 3 |
   
   | 4 5 6 |
   

   = (2 × 6 – 3 × 5)i – (1 × 6 – 3 × 4)j + (1 × 5 – 2 × 4)k
   
   = (-3)i + (6)j + (-3)k
   
   = (-3, 6, -3)

Aplikasi Vektor

Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Aplikasi vektor sangat luas, mulai dari bidang fisika, geometri, hingga komputer grafis. Dalam berbagai bidang tersebut, vektor digunakan untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan besaran dengan arah, seperti kecepatan, gaya, dan perpindahan.

Aplikasi Vektor dalam Fisika, Contoh soal vektor dan jawabannya

Dalam fisika, vektor digunakan untuk merepresentasikan besaran yang memiliki nilai dan arah, seperti kecepatan, percepatan, dan gaya. Vektor memudahkan kita dalam memahami dan menghitung pengaruh dari besaran-besaran tersebut.

• Kecepatan: Vektor kecepatan menunjukkan seberapa cepat suatu objek bergerak dan ke arah mana. Misalnya, mobil yang bergerak ke timur dengan kecepatan 60 km/jam dapat direpresentasikan dengan vektor kecepatan yang memiliki panjang 60 km/jam dan arah ke timur.
• Percepatan: Vektor percepatan menunjukkan seberapa cepat kecepatan suatu objek berubah dan ke arah mana. Misalnya, mobil yang melaju dengan kecepatan konstan 60 km/jam dan kemudian mengerem hingga berhenti memiliki percepatan yang berlawanan arah dengan kecepatannya.
• Gaya: Vektor gaya menunjukkan seberapa kuat suatu gaya dan ke arah mana. Misalnya, gaya gravitasi bumi menarik semua benda ke bawah, dan dapat direpresentasikan dengan vektor yang memiliki arah ke pusat bumi.

Aplikasi Vektor dalam Geometri

Dalam geometri, vektor digunakan untuk menentukan posisi titik, panjang garis, dan sudut. Vektor memudahkan kita dalam melakukan operasi geometri yang melibatkan besaran dengan arah.

• Menentukan Panjang Garis: Vektor dapat digunakan untuk menentukan panjang garis dengan menggunakan rumus panjang vektor. Misalnya, panjang garis yang menghubungkan dua titik A dan B dapat ditentukan dengan menghitung panjang vektor AB.
• Menentukan Sudut: Vektor dapat digunakan untuk menentukan sudut antara dua garis dengan menggunakan rumus perkalian dot antara dua vektor. Misalnya, sudut antara dua garis dapat ditentukan dengan menghitung perkalian dot antara vektor yang mewakili kedua garis tersebut.

Aplikasi Vektor dalam Komputer Grafis

Dalam komputer grafis, vektor digunakan untuk melakukan operasi transformasi pada objek, seperti rotasi, translasi, dan scaling. Vektor memudahkan kita dalam membuat animasi dan manipulasi objek secara efisien.

• Rotasi Objek: Vektor dapat digunakan untuk merotasi objek dengan menentukan sudut rotasi dan sumbu rotasi. Misalnya, untuk merotasi objek 90 derajat searah jarum jam terhadap sumbu Z, dapat digunakan vektor rotasi yang memiliki arah sumbu Z dan besar 90 derajat.
• Translasi Objek: Vektor dapat digunakan untuk menggeser objek ke posisi yang diinginkan. Misalnya, untuk menggeser objek 5 unit ke kanan dan 3 unit ke atas, dapat digunakan vektor translasi yang memiliki komponen horizontal 5 dan komponen vertikal 3.

Contoh Soal Vektor dan Jawabannya

Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Dalam matematika dan fisika, vektor digunakan untuk merepresentasikan berbagai besaran seperti kecepatan, percepatan, gaya, dan perpindahan. Operasi pada vektor, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, perkalian dot, dan perkalian silang, memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang. Berikut ini adalah beberapa contoh soal tentang operasi vektor dan jawabannya.

Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Skalar Vektor

Operasi dasar pada vektor meliputi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar. Penjumlahan dan pengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan atau mengurangi komponen-komponen yang bersesuaian dari vektor-vektor tersebut. Perkalian skalar dilakukan dengan mengalikan setiap komponen vektor dengan skalar tersebut.

• Soal 1: Diketahui vektor a = (2, 3) dan b = (-1, 4). Tentukan hasil dari:
  1. a + b
  2. a – b
  3. 2a
• Jawaban 1:
  1. a + b = (2, 3) + (-1, 4) = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)
  2. a – b = (2, 3) – (-1, 4) = (2 – (-1), 3 – 4) = (3, -1)
  3. 2a = 2(2, 3) = (2 * 2, 2 * 3) = (4, 6)

Perkalian Dot

Perkalian dot antara dua vektor menghasilkan skalar. Perkalian dot didefinisikan sebagai hasil kali komponen-komponen yang bersesuaian dari dua vektor, kemudian dijumlahkan.

• Soal 2: Diketahui vektor a = (1, 2, 3) dan b = (4, 5, 6). Tentukan hasil dari a · b.
• Jawaban 2:
  a · b = (1, 2, 3) · (4, 5, 6) = (1 * 4) + (2 * 5) + (3 * 6) = 4 + 10 + 18 = 32.

Perkalian Silang

Perkalian silang antara dua vektor menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap kedua vektor awal. Perkalian silang didefinisikan sebagai determinan matriks yang berisi komponen-komponen vektor.

• Soal 3: Diketahui vektor a = (1, 2, 3) dan b = (4, 5, 6). Tentukan hasil dari a × b.
• Jawaban 3:
  a × b =

  i	j	k
  1	2	3
  4	5	6

  = (2 * 6 – 3 * 5)i – (1 * 6 – 3 * 4)j + (1 * 5 – 2 * 4)k = (-3)i + (6)j + (-3)k = (-3, 6, -3).

Proyeksi Vektor

Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor yang merupakan bayangan a pada garis yang sejajar dengan b. Proyeksi ini dapat dihitung dengan rumus:

proj_b a = ((a · b) / ||b||²) b

di mana ||b|| adalah panjang vektor b.

• Soal 4: Diketahui vektor a = (2, 1) dan b = (3, 4). Tentukan proyeksi vektor a pada vektor b.
• Jawaban 4:
  Pertama, hitung a · b = (2, 1) · (3, 4) = 2 * 3 + 1 * 4 = 10.
  Kemudian, hitung ||b|| = √(3² + 4²) = √25 = 5.
  Sehingga, proj_b a = ((a · b) / ||b||²) b = (10 / 5²) (3, 4) = (2/5) (3, 4) = (6/5, 8/5).

Soal Vektor Tingkat Lanjut

Vektor dalam ruang tiga dimensi merupakan konsep penting dalam matematika yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang, seperti fisika, geometri, dan ilmu komputer. Dalam topik ini, kita akan membahas contoh soal vektor tingkat lanjut yang melibatkan ruang tiga dimensi dan aplikasinya.

Contoh Soal Vektor dalam Ruang Tiga Dimensi

Berikut ini adalah contoh soal vektor dalam ruang tiga dimensi:

• Tentukan panjang vektor a = (2, -3, 4) dan vektor satuannya.
• Tentukan proyeksi ortogonal vektor b = (1, 2, 3) pada vektor a = (2, -3, 4).
• Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2, 3) dan sejajar dengan vektor a = (2, -3, 4).
• Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(1, 2, 3) dan tegak lurus dengan vektor a = (2, -3, 4).

Contoh Soal Aplikasi Vektor dalam Bidang Fisika

Berikut ini adalah contoh soal aplikasi vektor dalam bidang fisika:

• Sebuah benda bermassa 10 kg ditarik oleh dua gaya, F₁ = (3, 4, 5) N dan F₂ = (-2, 1, 3) N. Tentukan resultan gaya yang bekerja pada benda dan percepatan benda tersebut.
• Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal v₀ = (20, 30, 40) m/s. Jika peluru tersebut terkena gaya gravitasi g = (0, -9.8, 0) m/s², tentukan persamaan gerak peluru tersebut.

Contoh Soal Aplikasi Vektor dalam Bidang Geometri

Berikut ini adalah contoh soal aplikasi vektor dalam bidang geometri:

• Tentukan luas segitiga yang dibentuk oleh titik-titik A(1, 2, 3), B(2, 3, 4), dan C(3, 4, 5).
• Tentukan volume tetrahedron yang dibentuk oleh titik-titik A(1, 2, 3), B(2, 3, 4), C(3, 4, 5), dan D(4, 5, 6).

Jawaban Lengkap Contoh Soal

Berikut ini adalah jawaban lengkap untuk setiap contoh soal yang telah diberikan:

Contoh Soal Vektor dalam Ruang Tiga Dimensi

• Panjang vektor a = (2, -3, 4) adalah:
  

  ||a|| = √(2² + (-3)² + 4²) = √29

  Vektor satuannya adalah:

  â = a/||a|| = (2, -3, 4)/√29 = (2/√29, -3/√29, 4/√29)

• Proyeksi ortogonal vektor b = (1, 2, 3) pada vektor a = (2, -3, 4) adalah:
  

  proj_ab = ((b ⋅ a)/||a||²)a = ((1 * 2) + (2 * -3) + (3 * 4))/((2² + (-3)² + 4²)) (2, -3, 4) = (8/29) (2, -3, 4) = (16/29, -24/29, 32/29)

• Persamaan garis yang melalui titik A(1, 2, 3) dan sejajar dengan vektor a = (2, -3, 4) adalah:
  

  r = a + td

  di mana r adalah vektor posisi titik pada garis, a adalah vektor posisi titik A, d adalah vektor arah garis, dan t adalah parameter.
  Maka, persamaan garisnya adalah:

  r = (1, 2, 3) + t(2, -3, 4)

• Persamaan bidang yang melalui titik A(1, 2, 3) dan tegak lurus dengan vektor a = (2, -3, 4) adalah:
  

  2(x – 1) – 3(y – 2) + 4(z – 3) = 0

Contoh Soal Aplikasi Vektor dalam Bidang Fisika

• Resultan gaya yang bekerja pada benda adalah:
  

  F_resultan = F₁ + F₂ = (3, 4, 5) + (-2, 1, 3) = (1, 5, 8) N

  Percepatan benda tersebut adalah:

  a = F_resultan/m = (1, 5, 8)/10 = (0.1, 0.5, 0.8) m/s²

• Persamaan gerak peluru tersebut adalah:
  

  r(t) = r₀ + v₀t + (1/2)gt²

  di mana r(t) adalah vektor posisi peluru pada waktu t, r₀ adalah vektor posisi awal peluru, v₀ adalah kecepatan awal peluru, dan g adalah percepatan gravitasi.
  Maka, persamaan gerak peluru tersebut adalah:

  r(t) = (0, 0, 0) + (20, 30, 40)t + (1/2)(0, -9.8, 0)t² = (20t, 30t – 4.9t², 40t)

Contoh Soal Aplikasi Vektor dalam Bidang Geometri

• Luas segitiga yang dibentuk oleh titik-titik A(1, 2, 3), B(2, 3, 4), dan C(3, 4, 5) adalah:
  

  L = (1/2) ||AB × AC||

  di mana AB = (2 – 1, 3 – 2, 4 – 3) = (1, 1, 1) dan AC = (3 – 1, 4 – 2, 5 – 3) = (2, 2, 2).
  Maka, AB × AC = (1, 1, 1) × (2, 2, 2) = (0, 0, 0).
  Jadi, luas segitiganya adalah 0, yang berarti ketiga titik tersebut segaris.

• Volume tetrahedron yang dibentuk oleh titik-titik A(1, 2, 3), B(2, 3, 4), C(3, 4, 5), dan D(4, 5, 6) adalah:
  

  V = (1/6) |(AB × AC) ⋅ AD|

  di mana AB = (1, 1, 1), AC = (2, 2, 2), dan AD = (4 – 1, 5 – 2, 6 – 3) = (3, 3, 3).
  Maka, AB × AC = (1, 1, 1) × (2, 2, 2) = (0, 0, 0).
  Jadi, volume tetrahedronnya adalah 0, yang berarti keempat titik tersebut segaris atau terletak pada bidang yang sama.

Simpulan Akhir

Setelah mempelajari contoh soal vektor dan jawabannya, Anda diharapkan dapat memahami konsep vektor, menguasai operasi vektor, dan mengaplikasikannya dalam berbagai bidang. Vektor, seperti sebuah alat yang ampuh, dapat membantu kita dalam memecahkan masalah yang kompleks dan membuka cakrawala baru dalam memahami dunia di sekitar kita.