Contoh soal jumlah n suku pertama deret aritmatika – Pernahkah kamu memperhatikan pola angka pada deret bilangan? Misalnya, 2, 4, 6, 8, 10… Deret ini memiliki selisih yang sama, yaitu 2, dan disebut sebagai deret aritmatika. Dalam matematika, mempelajari deret aritmatika sangat penting, terutama dalam menghitung jumlah n suku pertama. Nah, dalam artikel ini, kita akan menjelajahi berbagai contoh soal yang menguji kemampuan kita dalam menghitung jumlah n suku pertama deret aritmatika.
Kita akan mulai dengan memahami definisi deret aritmatika, mempelajari rumus jumlah n suku pertama, dan menerapkannya dalam berbagai contoh soal. Dari soal-soal dengan konteks realistis hingga soal-soal dengan pola khusus, kita akan menjelajahi berbagai tantangan yang menarik. Siap untuk mengasah kemampuan matematika kamu? Yuk, kita mulai!
Pengertian Deret Aritmatika: Contoh Soal Jumlah N Suku Pertama Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih tetap antara dua suku yang berurutan. Selisih tetap ini disebut beda. Deret aritmatika dapat diartikan sebagai penjumlahan dari suku-suku dalam barisan aritmatika.
Contoh Deret Aritmatika
Berikut adalah beberapa contoh deret aritmatika:
- 2, 4, 6, 8, 10… (beda = 2)
- 5, 10, 15, 20, 25… (beda = 5)
- -3, -1, 1, 3, 5… (beda = 2)
Contoh-contoh di atas menunjukkan bahwa deret aritmatika memiliki pola yang jelas dan mudah diidentifikasi. Setiap suku diperoleh dengan menambahkan beda ke suku sebelumnya.
Rumus Umum Suku ke-n Deret Aritmatika
Rumus umum untuk menentukan suku ke-n (Un) dalam deret aritmatika adalah:
Un = a + (n – 1)b
Dimana:
- Un = suku ke-n
- a = suku pertama
- b = beda
- n = nomor suku
Rumus ini dapat digunakan untuk menentukan suku mana pun dalam deret aritmatika, selama kita mengetahui suku pertama dan bedanya.
Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika
Deret aritmatika merupakan barisan bilangan yang memiliki selisih antar suku yang tetap. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika digunakan untuk menghitung penjumlahan dari n suku pertama dari deret tersebut.
Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika
Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah:
Sn = (n/2) * (a + Un)
di mana:
- Sn adalah jumlah n suku pertama deret aritmatika
- n adalah banyaknya suku
- a adalah suku pertama
- Un adalah suku ke-n
Contoh Perhitungan Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika
Misalkan kita memiliki deret aritmatika 2, 5, 8, 11, … dan kita ingin menghitung jumlah 10 suku pertama. Berikut langkah-langkahnya:
- Tentukan suku pertama (a) = 2
- Tentukan selisih antar suku (b) = 5 – 2 = 3
- Tentukan suku ke-10 (U10) = a + (n – 1) * b = 2 + (10 – 1) * 3 = 29
- Hitung jumlah 10 suku pertama (S10) = (n/2) * (a + Un) = (10/2) * (2 + 29) = 155
Jadi, jumlah 10 suku pertama deret aritmatika 2, 5, 8, 11, … adalah 155.
Penerapan Rumus dalam Soal
Setelah mempelajari rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika, mari kita lihat bagaimana rumus tersebut diterapkan dalam soal-soal. Dengan memahami penerapan rumus, kamu akan lebih mahir dalam menyelesaikan berbagai soal terkait deret aritmatika.
Contoh Soal Penerapan Rumus
Berikut adalah beberapa contoh soal yang menunjukkan bagaimana rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika digunakan untuk menyelesaikan soal-soal.
| Soal | Rumus yang Digunakan | Langkah Penyelesaian | Hasil |
|---|---|---|---|
| Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika 2, 5, 8, 11, … |
Sn = (n/2) * (a + Un) di mana: Sn = jumlah n suku pertama n = banyak suku a = suku pertama Un = suku ke-n |
|
S10 = 155 |
| Tentukan jumlah 20 suku pertama dari deret aritmatika 10, 7, 4, 1, … |
Sn = (n/2) * (a + Un) di mana: Sn = jumlah n suku pertama n = banyak suku a = suku pertama Un = suku ke-n |
|
S20 = -370 |
| Tentukan jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika 3, 7, 11, 15, … |
Sn = (n/2) * (a + Un) di mana: Sn = jumlah n suku pertama n = banyak suku a = suku pertama Un = suku ke-n |
|
S15 = 465 |
Soal dengan Konteks Realistis
Menerapkan konsep matematika dalam kehidupan sehari-hari dapat membantu kita memahami dan menyelesaikan masalah dengan lebih efektif. Salah satu contohnya adalah penerapan konsep jumlah n suku pertama deret aritmatika dalam menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan pola atau pertumbuhan yang konsisten.
Berikut ini adalah dua soal cerita yang melibatkan konsep jumlah n suku pertama deret aritmatika dalam konteks kehidupan sehari-hari dengan tingkat kesulitan yang berbeda.
Soal Cerita 1: Menabung untuk Liburan
Seorang anak ingin menabung untuk liburan. Ia berencana menabung setiap minggu dengan jumlah yang meningkat. Pada minggu pertama, ia menabung Rp 10.000, minggu kedua Rp 12.000, minggu ketiga Rp 14.000, dan seterusnya. Jika anak tersebut ingin menabung selama 10 minggu, berapa total uang yang terkumpul?
Ngerjain soal jumlah n suku pertama deret aritmatika memang bikin mikir, ya? Tapi tenang, ada banyak contoh soal yang bisa kamu pelajari! Kalau kamu lagi cari latihan soal yang lebih menantang, coba deh cek contoh soal fisika kelas 12 beserta jawabannya.
Soal-soal fisika ini bisa melatih logika dan kemampuan analisa kamu, yang pastinya berguna juga buat ngerjain soal deret aritmatika. So, jangan lupa latihan terus biar makin jago, ya!
Langkah-langkah penyelesaian:
- Identifikasi pola: Setiap minggu, anak tersebut menabung Rp 2.000 lebih banyak dari minggu sebelumnya. Ini menunjukkan bahwa jumlah tabungan membentuk deret aritmatika dengan beda 2.000.
- Tentukan suku pertama (a): Suku pertama adalah Rp 10.000.
- Tentukan jumlah suku (n): Anak tersebut menabung selama 10 minggu, jadi n = 10.
- Hitung jumlah n suku pertama deret aritmatika menggunakan rumus:
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
- Substitusikan nilai a, b, dan n ke dalam rumus:
S10 = 10/2 (2(10.000) + (10-1)2.000)
S10 = 5 (20.000 + 18.000)
S10 = 5 (38.000)
S10 = 190.000
- Jadi, total uang yang terkumpul selama 10 minggu adalah Rp 190.000.
Soal Cerita 2: Pembangunan Tangga
Seorang tukang sedang membangun tangga dengan 15 anak tangga. Tinggi anak tangga pertama adalah 20 cm, dan tinggi setiap anak tangga berikutnya selalu lebih tinggi 2 cm dari anak tangga sebelumnya. Berapa total tinggi tangga tersebut?
Langkah-langkah penyelesaian:
- Identifikasi pola: Tinggi setiap anak tangga membentuk deret aritmatika dengan beda 2 cm.
- Tentukan suku pertama (a): Suku pertama adalah 20 cm.
- Tentukan jumlah suku (n): Tangga memiliki 15 anak tangga, jadi n = 15.
- Hitung jumlah n suku pertama deret aritmatika menggunakan rumus:
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
- Substitusikan nilai a, b, dan n ke dalam rumus:
S15 = 15/2 (2(20) + (15-1)2)
S15 = 7,5 (40 + 28)
S15 = 7,5 (68)
S15 = 510
- Jadi, total tinggi tangga tersebut adalah 510 cm.
Soal dengan Tingkat Kesulitan Tinggi
Soal-soal dengan tingkat kesulitan tinggi biasanya melibatkan kombinasi konsep dan manipulasi aljabar yang lebih kompleks. Soal-soal ini dirancang untuk menguji pemahaman mendalam tentang jumlah n suku pertama deret aritmatika dan kemampuan untuk menerapkannya dalam situasi yang tidak biasa.
Contoh Soal, Contoh soal jumlah n suku pertama deret aritmatika
Sebuah deret aritmatika memiliki suku pertama 5 dan selisih 3. Jika jumlah n suku pertama deret tersebut sama dengan 105, tentukan nilai n.
Langkah-langkah Penyelesaian
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika dan kemudian menyelesaikan persamaan yang dihasilkan.
- Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika: Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d)
- Dalam soal ini, a = 5 (suku pertama) dan d = 3 (selisih).
- Kita diberikan Sn = 105.
- Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus Sn:
- Sederhanakan persamaan:
- Selesaikan persamaan kuadrat ini dengan faktorisasi atau rumus kuadrat.
- Setelah menemukan nilai n, pastikan nilai tersebut memenuhi syarat untuk deret aritmatika. Dalam hal ini, nilai n harus positif dan bulat.
105 = (n/2) * (2(5) + (n-1)3)
105 = (n/2) * (10 + 3n – 3)
105 = (n/2) * (7 + 3n)
210 = n(7 + 3n)
210 = 7n + 3n^2
3n^2 + 7n – 210 = 0
Penjelasn Tambahan
Dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, kita mungkin mendapatkan dua solusi. Namun, hanya satu solusi yang akan memenuhi syarat untuk n dalam konteks deret aritmatika. Pastikan untuk memeriksa apakah solusi tersebut masuk akal dalam konteks soal.
Ulasan Penutup
Memahami konsep jumlah n suku pertama deret aritmatika tidak hanya penting dalam dunia matematika, tetapi juga memiliki aplikasi yang luas dalam kehidupan sehari-hari. Dari menghitung total biaya produksi hingga memprediksi pertumbuhan populasi, kemampuan kita dalam mengaplikasikan rumus ini membuka jalan menuju pemecahan masalah yang lebih kompleks. Dengan mempelajari berbagai contoh soal, kita dapat meningkatkan pemahaman dan kemampuan kita dalam menghadapi tantangan yang berkaitan dengan deret aritmatika.
