Contoh Soal Titik Stasioner: Mencari Titik Ekstrem Fungsi

Contoh soal titik stasioner – Titik stasioner, dalam dunia matematika, adalah titik-titik istimewa pada grafik fungsi yang menandai perubahan arah turunannya. Titik-titik ini sangat penting karena dapat menunjukkan lokasi maksimum, minimum, atau titik pelana dari fungsi tersebut. Dengan memahami konsep titik stasioner, kita dapat menganalisis perilaku fungsi secara lebih mendalam dan menemukan nilai ekstremnya.

Dalam artikel ini, kita akan membahas contoh soal titik stasioner, mulai dari pengertian dasar hingga penerapannya dalam memecahkan masalah optimasi. Kita akan mempelajari cara menentukan titik stasioner, mengidentifikasi jenisnya, dan memanfaatkannya untuk menemukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi.

Pengertian Titik Stasioner

Dalam dunia matematika, khususnya dalam kalkulus, titik stasioner merupakan titik-titik istimewa pada grafik fungsi. Titik-titik ini memiliki karakteristik unik yang membuat mereka menarik untuk dipelajari. Bayangkan Anda sedang berjalan di sebuah bukit, Anda akan menemukan beberapa titik di mana kemiringan bukit tersebut datar. Titik-titik datar ini mirip dengan titik stasioner pada fungsi.

Pengertian Titik Stasioner

Titik stasioner adalah titik pada kurva fungsi di mana turunan pertama fungsi tersebut sama dengan nol atau tidak terdefinisi. Dengan kata lain, pada titik stasioner, garis singgung kurva tersebut horizontal atau tidak ada.

Contoh Titik Stasioner

Sebagai contoh, perhatikan fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 2. Turunan pertama fungsi ini adalah f'(x) = 3x^2 – 6x. Untuk menemukan titik stasioner, kita perlu mencari nilai x yang membuat f'(x) = 0.

Dengan menyelesaikan persamaan 3x^2 – 6x = 0, kita mendapatkan x = 0 dan x = 2. Ini berarti titik stasioner fungsi f(x) adalah (0, 2) dan (2, -2).

Perbedaan Titik Stasioner dan Titik Kritis

Fitur	Titik Stasioner	Titik Kritis
Definisi	Titik pada kurva fungsi di mana turunan pertama sama dengan nol atau tidak terdefinisi.	Titik pada kurva fungsi di mana turunan pertama sama dengan nol, tidak terdefinisi, atau tidak ada.
Contoh	(0, 2) dan (2, -2) pada fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 2	(0, 2), (2, -2), dan titik-titik di mana fungsi tidak terdefinisi (misalnya, titik singular)
Jenis	Titik minimum, titik maksimum, dan titik pelana	Titik minimum, titik maksimum, titik pelana, dan titik singular

Menentukan Titik Stasioner

Titik stasioner adalah titik pada grafik fungsi di mana turunan pertama fungsi tersebut sama dengan nol atau tidak terdefinisi. Titik-titik ini penting karena mereka mewakili titik-titik di mana grafik fungsi berubah arah, baik dari naik ke turun atau sebaliknya.

Langkah-langkah Menentukan Titik Stasioner

Untuk menentukan titik stasioner suatu fungsi, ikuti langkah-langkah berikut:

• Tentukan turunan pertama fungsi tersebut.
• Tentukan nilai-nilai x yang membuat turunan pertama sama dengan nol.
• Tentukan nilai-nilai x yang membuat turunan pertama tidak terdefinisi.
• Substitusikan nilai-nilai x yang diperoleh pada langkah 2 dan 3 ke dalam fungsi asli untuk mendapatkan nilai-nilai y yang bersesuaian.
• Titik-titik (x, y) yang diperoleh adalah titik-titik stasioner fungsi tersebut.

Contoh Penentuan Titik Stasioner, Contoh soal titik stasioner

Misalkan kita ingin menentukan titik stasioner dari fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x.

1. Turunan pertama dari f(x) adalah f'(x) = 3x^2 – 6x + 2.
2. Untuk mencari nilai-nilai x yang membuat f'(x) = 0, kita selesaikan persamaan 3x^2 – 6x + 2 = 0. Persamaan ini tidak dapat difaktorkan, sehingga kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai-nilai x:
   x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a
   di mana a = 3, b = -6, dan c = 2.
   Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus kuadrat, kita dapatkan:
   x = (6 ± √((-6)^2 – 4 * 3 * 2)) / (2 * 3)
   x = (6 ± √(12)) / 6
   x = (6 ± 2√3) / 6
   x = 1 ± √3 / 3
   Jadi, nilai-nilai x yang membuat f'(x) = 0 adalah x = 1 + √3 / 3 dan x = 1 – √3 / 3.
3. Turunan pertama f'(x) = 3x^2 – 6x + 2 terdefinisi untuk semua nilai x, sehingga tidak ada nilai x yang membuat f'(x) tidak terdefinisi.
4. Substitusikan nilai-nilai x yang diperoleh pada langkah 2 ke dalam fungsi asli f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x untuk mendapatkan nilai-nilai y yang bersesuaian:
   Untuk x = 1 + √3 / 3, y = (1 + √3 / 3)^3 – 3(1 + √3 / 3)^2 + 2(1 + √3 / 3) = (2√3 – 2) / 9
   Untuk x = 1 – √3 / 3, y = (1 – √3 / 3)^3 – 3(1 – √3 / 3)^2 + 2(1 – √3 / 3) = (-2√3 – 2) / 9
5. Jadi, titik-titik stasioner dari fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x adalah (1 + √3 / 3, (2√3 – 2) / 9) dan (1 – √3 / 3, (-2√3 – 2) / 9).

Cara Menentukan Titik Stasioner Menggunakan Turunan Pertama

Titik stasioner suatu fungsi dapat ditentukan dengan mencari nilai-nilai x yang membuat turunan pertama fungsi tersebut sama dengan nol atau tidak terdefinisi. Titik-titik ini mewakili titik-titik di mana grafik fungsi berubah arah, baik dari naik ke turun atau sebaliknya.

Jenis-jenis Titik Stasioner

Titik stasioner adalah titik pada kurva suatu fungsi di mana turunan pertamanya sama dengan nol atau tidak terdefinisi. Titik-titik ini merupakan titik-titik penting dalam analisis fungsi, karena di titik-titik ini fungsi mencapai nilai maksimum, minimum, atau titik pelana. Dalam pembahasan ini, kita akan mempelajari lebih lanjut tentang jenis-jenis titik stasioner, yaitu titik maksimum, titik minimum, dan titik pelana.

Titik Maksimum

Titik maksimum adalah titik pada kurva fungsi di mana nilai fungsi mencapai nilai tertinggi di sekitar titik tersebut. Titik maksimum dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu titik maksimum lokal dan titik maksimum global.

• Titik maksimum lokal adalah titik di mana nilai fungsi lebih besar dari nilai fungsi di titik-titik di sekitarnya, tetapi tidak selalu merupakan nilai tertinggi dari seluruh fungsi.
• Titik maksimum global adalah titik di mana nilai fungsi merupakan nilai tertinggi dari seluruh fungsi.

Untuk menentukan jenis titik stasioner, kita dapat menggunakan turunan kedua fungsi. Jika turunan kedua bernilai negatif di titik stasioner, maka titik tersebut adalah titik maksimum.

Titik Minimum

Titik minimum adalah titik pada kurva fungsi di mana nilai fungsi mencapai nilai terendah di sekitar titik tersebut. Titik minimum juga dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu titik minimum lokal dan titik minimum global.

• Titik minimum lokal adalah titik di mana nilai fungsi lebih kecil dari nilai fungsi di titik-titik di sekitarnya, tetapi tidak selalu merupakan nilai terendah dari seluruh fungsi.
• Titik minimum global adalah titik di mana nilai fungsi merupakan nilai terendah dari seluruh fungsi.

Untuk menentukan jenis titik stasioner, kita dapat menggunakan turunan kedua fungsi. Jika turunan kedua bernilai positif di titik stasioner, maka titik tersebut adalah titik minimum.

Titik Pelana

Titik pelana adalah titik pada kurva fungsi di mana turunan pertama sama dengan nol, tetapi turunan kedua sama dengan nol atau tidak terdefinisi. Titik pelana bukanlah titik maksimum atau minimum, karena nilai fungsi di titik pelana tidak lebih besar atau lebih kecil dari nilai fungsi di titik-titik di sekitarnya.

Titik pelana dapat diilustrasikan sebagai titik tertinggi di suatu lembah atau titik terendah di suatu bukit. Titik pelana juga dapat diidentifikasi dengan melihat bentuk kurva di sekitar titik stasioner. Jika kurva memiliki bentuk seperti “pelana”, maka titik tersebut adalah titik pelana.

Contoh Fungsi dan Titik Stasionernya

Misalkan kita memiliki fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x. Untuk mencari titik stasioner dari fungsi ini, kita perlu mencari nilai x di mana turunan pertama fungsi sama dengan nol.

f'(x) = 3x^2 – 6x + 2 = 0

Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan ini. Hasilnya adalah x = (6 ± √20) / 6. Jadi, kita memiliki dua titik stasioner: x = (6 + √20) / 6 dan x = (6 – √20) / 6.

Untuk menentukan jenis titik stasioner, kita perlu menghitung turunan kedua fungsi di setiap titik stasioner.

f”(x) = 6x – 6

Untuk x = (6 + √20) / 6, f”(x) = 6 * (6 + √20) / 6 – 6 = √20 > 0. Jadi, titik stasioner x = (6 + √20) / 6 adalah titik minimum.

Untuk x = (6 – √20) / 6, f”(x) = 6 * (6 – √20) / 6 – 6 = -√20 < 0. Jadi, titik stasioner x = (6 – √20) / 6 adalah titik maksimum.

Tabel Ciri-ciri Titik Stasioner

Jenis Titik Stasioner	Turunan Pertama	Turunan Kedua	Ciri-ciri
Titik Maksimum	f'(x) = 0	f”(x) < 0	Nilai fungsi mencapai nilai tertinggi di sekitar titik tersebut.
Titik Minimum	f'(x) = 0	f”(x) > 0	Nilai fungsi mencapai nilai terendah di sekitar titik tersebut.
Titik Pelana	f'(x) = 0	f”(x) = 0 atau tidak terdefinisi	Bukan titik maksimum atau minimum.

Penerapan Titik Stasioner

Titik stasioner, yang merupakan titik di mana turunan pertama suatu fungsi sama dengan nol atau tidak terdefinisi, memiliki peran penting dalam berbagai bidang matematika dan ilmu terapan. Salah satu penerapannya yang paling menonjol adalah dalam memecahkan masalah optimasi.

Penerapan Titik Stasioner dalam Masalah Optimasi

Titik stasioner membantu kita menemukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Dengan menggunakan titik stasioner, kita dapat menentukan titik-titik kritis di mana fungsi mencapai nilai ekstrem.

• Titik stasioner membantu kita menemukan titik-titik kritis, yaitu titik-titik di mana turunan pertama fungsi sama dengan nol atau tidak terdefinisi. Titik-titik kritis ini bisa menjadi titik maksimum, minimum, atau titik belok.
• Dengan menganalisis turunan kedua fungsi di titik-titik kritis, kita dapat menentukan apakah titik tersebut merupakan titik maksimum, minimum, atau titik belok. Jika turunan kedua positif, maka titik tersebut adalah titik minimum. Jika turunan kedua negatif, maka titik tersebut adalah titik maksimum. Jika turunan kedua sama dengan nol, maka titik tersebut bisa menjadi titik belok atau titik maksimum/minimum yang tidak dapat ditentukan.

Contoh Masalah Optimasi yang Melibatkan Titik Stasioner

Misalnya, perhatikan masalah optimasi berikut:

Sebuah perusahaan ingin memaksimalkan keuntungannya dengan memproduksi dan menjual produk tertentu. Keuntungan perusahaan dapat dimodelkan sebagai fungsi dari jumlah produk yang diproduksi dan dijual.

Dengan menggunakan titik stasioner, perusahaan dapat menemukan titik-titik kritis di mana keuntungan mencapai nilai maksimum. Dengan menganalisis turunan kedua fungsi keuntungan, perusahaan dapat memastikan bahwa titik kritis tersebut memang merupakan titik maksimum.

Titik stasioner membantu kita menemukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Dengan menggunakan titik stasioner, kita dapat menentukan titik-titik kritis di mana fungsi mencapai nilai ekstrem.

Contoh Soal Titik Stasioner

Titik stasioner merupakan titik pada kurva suatu fungsi di mana turunan pertamanya bernilai nol atau tidak terdefinisi. Titik stasioner memiliki peran penting dalam analisis fungsi karena dapat menunjukkan lokasi maksimum, minimum, atau titik belok pada kurva. Untuk memahami konsep ini lebih lanjut, mari kita bahas beberapa contoh soal titik stasioner.

Mencari titik stasioner dalam fungsi merupakan salah satu materi penting dalam kalkulus. Contohnya, menentukan titik maksimum atau minimum suatu fungsi yang menggambarkan keuntungan perusahaan. Nah, materi ini juga relevan dengan contoh soal matematika SMK Pariwisata, seperti menghitung titik kritis dalam fungsi biaya produksi hotel atau menentukan titik optimal untuk memaksimalkan jumlah wisatawan yang berkunjung ke objek wisata.

Untuk lebih memahami materi ini, kamu bisa cek contoh soal matematika SMK Pariwisata yang membahas tentang fungsi dan turunan. Dengan memahami konsep titik stasioner, kamu akan lebih mudah dalam menyelesaikan berbagai soal matematika di SMK Pariwisata.

Contoh Soal Cerita Titik Stasioner

Berikut ini contoh soal cerita yang melibatkan penentuan titik stasioner suatu fungsi:

• Sebuah perusahaan memproduksi dan menjual produk dengan fungsi keuntungan P(x) = -x² + 10x – 16, di mana x adalah jumlah produk yang dijual. Tentukan jumlah produk yang harus dijual agar perusahaan memperoleh keuntungan maksimum.

Menentukan Jenis Titik Stasioner

Berikut ini contoh soal yang meminta untuk menentukan jenis-jenis titik stasioner suatu fungsi:

• Tentukan jenis titik stasioner dari fungsi f(x) = x³ – 3x² + 2. Untuk menentukan jenis titik stasioner, kita perlu menganalisis turunan kedua fungsi tersebut.

Menentukan Nilai Maksimum atau Minimum

Berikut ini contoh soal yang meminta untuk menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi dengan menggunakan titik stasioner:

• Tentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi g(x) = x⁴ – 4x³ + 6x² – 4x + 1. Untuk menentukan nilai maksimum atau minimum, kita perlu menentukan titik stasioner fungsi dan menganalisis turunan keduanya.

Ilustrasi Titik Stasioner

Titik stasioner merupakan titik-titik penting pada grafik fungsi yang menunjukkan perubahan arah fungsi. Titik stasioner terjadi ketika turunan pertama fungsi sama dengan nol atau tidak terdefinisi. Titik-titik ini dapat berupa titik maksimum, minimum, atau titik belok.

Gambar Grafik Fungsi dan Titik Stasionernya

Bayangkan sebuah grafik fungsi yang berbentuk seperti bukit. Titik tertinggi pada bukit ini adalah titik maksimum, yang juga merupakan titik stasioner. Di titik ini, turunan pertama fungsi sama dengan nol, karena garis singgung pada titik tersebut horizontal. Begitu pula, titik terendah pada bukit, yang merupakan titik minimum, juga merupakan titik stasioner. Di titik ini, turunan pertama fungsi juga sama dengan nol, karena garis singgungnya horizontal.

Hubungan Titik Stasioner dengan Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi

Titik stasioner memiliki hubungan erat dengan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Pada titik maksimum, fungsi mencapai nilai tertinggi di sekitar titik tersebut. Sebaliknya, pada titik minimum, fungsi mencapai nilai terendah di sekitar titik tersebut.

• Jika turunan pertama fungsi berubah tanda dari positif ke negatif saat melewati titik stasioner, maka titik tersebut adalah titik maksimum.
• Jika turunan pertama fungsi berubah tanda dari negatif ke positif saat melewati titik stasioner, maka titik tersebut adalah titik minimum.
• Jika turunan pertama fungsi tidak berubah tanda saat melewati titik stasioner, maka titik tersebut adalah titik belok.

Titik Stasioner dan Bentuk Grafik Fungsi

Titik stasioner memberikan informasi tentang bentuk grafik fungsi. Dengan mengetahui lokasi dan jenis titik stasioner, kita dapat menentukan interval di mana fungsi naik atau turun, dan di mana fungsi mencapai nilai maksimum atau minimum.

• Jika turunan pertama fungsi positif pada suatu interval, maka fungsi naik pada interval tersebut.
• Jika turunan pertama fungsi negatif pada suatu interval, maka fungsi turun pada interval tersebut.

Pembahasan Soal Titik Stasioner

Titik stasioner merupakan titik pada kurva yang memiliki gradien nol. Untuk menentukan titik stasioner suatu fungsi, kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut dan kemudian menyelesaikan persamaan turunan pertama sama dengan nol. Setelah mendapatkan titik stasioner, kita perlu menentukan jenis titik stasioner tersebut, yaitu titik maksimum, minimum, atau titik belok.

Langkah-langkah Menentukan Titik Stasioner

Berikut adalah langkah-langkah untuk menentukan titik stasioner suatu fungsi:

1. Tentukan turunan pertama fungsi tersebut.
2. Selesaikan persamaan turunan pertama sama dengan nol untuk mencari nilai x yang memenuhi.
3. Substitusikan nilai x yang diperoleh ke dalam fungsi awal untuk mendapatkan nilai y.
4. Titik (x, y) yang diperoleh merupakan titik stasioner.

Menentukan Jenis Titik Stasioner

Untuk menentukan jenis titik stasioner, kita dapat menggunakan turunan kedua fungsi tersebut. Jika turunan kedua bernilai positif, maka titik stasioner tersebut merupakan titik minimum. Jika turunan kedua bernilai negatif, maka titik stasioner tersebut merupakan titik maksimum. Jika turunan kedua bernilai nol, maka titik stasioner tersebut merupakan titik belok.

Contoh Soal

Misalkan kita ingin menentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 2.

1. Tentukan turunan pertama fungsi tersebut: f'(x) = 3x^2 – 6x.
2. Selesaikan persamaan turunan pertama sama dengan nol: 3x^2 – 6x = 0. Kita dapat memfaktorkan persamaan ini menjadi 3x(x – 2) = 0. Oleh karena itu, x = 0 atau x = 2.
3. Substitusikan nilai x yang diperoleh ke dalam fungsi awal untuk mendapatkan nilai y:
   • Untuk x = 0, f(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2. Jadi, titik stasioner pertama adalah (0, 2).
   • Untuk x = 2, f(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2. Jadi, titik stasioner kedua adalah (2, -2).
4. Tentukan turunan kedua fungsi tersebut: f”(x) = 6x – 6.
5. Substitusikan nilai x yang diperoleh ke dalam turunan kedua untuk menentukan jenis titik stasioner:
   • Untuk x = 0, f”(0) = 6(0) – 6 = -6. Karena turunan kedua bernilai negatif, maka titik stasioner (0, 2) merupakan titik maksimum.
   • Untuk x = 2, f”(2) = 6(2) – 6 = 6. Karena turunan kedua bernilai positif, maka titik stasioner (2, -2) merupakan titik minimum.

Soal Latihan Titik Stasioner

Titik stasioner merupakan titik pada kurva fungsi yang memiliki turunan pertama sama dengan nol. Titik stasioner dapat berupa titik maksimum, titik minimum, atau titik pelana. Titik stasioner merupakan konsep penting dalam kalkulus, khususnya dalam menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi.

Berikut beberapa contoh soal latihan tentang titik stasioner.

Menentukan Titik Stasioner Suatu Fungsi

Tentukan titik stasioner dari fungsi berikut:

• f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x
• g(x) = 2x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 8x
• h(x) = sin(x) + cos(x)

Menentukan Jenis-Jenis Titik Stasioner Suatu Fungsi

Tentukan jenis-jenis titik stasioner dari fungsi berikut:

• f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x
• g(x) = 2x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 8x
• h(x) = sin(x) + cos(x)

Menentukan Nilai Maksimum atau Minimum Suatu Fungsi dengan Menggunakan Titik Stasioner

Tentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi berikut dengan menggunakan titik stasioner:

• f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x pada interval [-1, 2]
• g(x) = 2x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 8x pada interval [0, 3]
• h(x) = sin(x) + cos(x) pada interval [0, 2π]

Referensi dan Sumber Informasi

Memahami konsep titik stasioner dalam matematika sangat penting, khususnya dalam bidang kalkulus. Titik stasioner sendiri merupakan titik di mana turunan pertama suatu fungsi bernilai nol atau tidak terdefinisi. Titik stasioner ini dapat berupa titik maksimum, minimum, atau titik belok. Untuk memperdalam pemahaman tentang titik stasioner, berikut beberapa referensi dan sumber informasi yang dapat Anda gunakan.

Daftar Referensi dan Sumber Informasi

Ada banyak buku, artikel, dan sumber online yang membahas topik titik stasioner. Berikut beberapa contohnya:

• Buku

Nama Buku	Penulis	Penerbit
Kalkulus Edisi Ke-10	Ron Larson, Bruce H. Edwards	Erlangga
Kalkulus Jilid 1	Thomas, Finney, Weir, Giordano	Penerbit Erlangga
Matematika untuk SMA Kelas XI	Tim Penyusun	Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

• Artikel Ilmiah

Anda dapat menemukan artikel ilmiah tentang titik stasioner di berbagai jurnal matematika, seperti Journal of Mathematical Analysis and Applications, SIAM Journal on Optimization, dan lainnya. Artikel ini biasanya membahas topik yang lebih spesifik, seperti aplikasi titik stasioner dalam optimasi, teori kontrol, dan bidang lainnya.

• Sumber Online

Banyak situs web dan platform online yang menyediakan materi pembelajaran tentang titik stasioner. Beberapa contohnya adalah Khan Academy, Coursera, dan MIT OpenCourseware. Anda dapat menemukan video, latihan, dan penjelasan yang mudah dipahami di platform ini.

Manfaat Mempelajari Titik Stasioner

Mempelajari titik stasioner memiliki manfaat yang luas, baik dalam bidang matematika maupun dalam aplikasi praktis. Berikut beberapa manfaatnya:

• Memahami Perilaku Fungsi: Titik stasioner membantu kita memahami perilaku fungsi, seperti di mana fungsi mencapai nilai maksimum, minimum, atau titik belok. Informasi ini penting dalam berbagai aplikasi, seperti memodelkan pertumbuhan populasi, menentukan titik keseimbangan dalam ekonomi, atau merancang sistem kontrol.
• Optimasi Masalah: Titik stasioner digunakan dalam teknik optimasi untuk menemukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Hal ini penting dalam berbagai bidang, seperti teknik, bisnis, dan ilmu komputer.
• Pemodelan Fenomena Fisika: Titik stasioner digunakan dalam pemodelan fenomena fisika, seperti gerakan benda, arus listrik, dan gelombang. Memahami titik stasioner membantu kita memahami perilaku sistem fisik.
• Pengembangan Algoritma: Titik stasioner digunakan dalam pengembangan algoritma untuk memecahkan masalah optimasi, seperti algoritma pencarian gradien. Algoritma ini digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti machine learning, pengolahan citra, dan robotika.

Simpulan Akhir

Titik stasioner merupakan konsep fundamental dalam kalkulus yang membantu kita memahami perilaku fungsi secara lebih dalam. Dengan memahami cara menentukan dan mengidentifikasi jenis-jenis titik stasioner, kita dapat mengaplikasikannya dalam berbagai bidang, seperti ekonomi, fisika, dan ilmu komputer, untuk menyelesaikan masalah optimasi dan memahami fenomena dunia nyata.