Contoh soal distribusi binomial dan jawabannya – Pernahkah Anda bertanya-tanya bagaimana peluang mendapatkan sisi kepala saat melempar koin berkali-kali? Atau bagaimana peluang mendapatkan produk cacat dalam suatu produksi? Nah, konsep distribusi binomial dapat membantu Anda menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut. Distribusi binomial merupakan alat yang ampuh untuk menghitung peluang suatu peristiwa dalam serangkaian percobaan yang saling bebas, di mana setiap percobaan memiliki dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal.
Dalam artikel ini, kita akan membahas contoh soal distribusi binomial dan jawabannya secara detail. Anda akan mempelajari langkah-langkah menghitung probabilitas, memahami konsep peluang dalam distribusi binomial, dan melihat bagaimana distribusi binomial diterapkan dalam kehidupan nyata.
Pengertian Distribusi Binomial
Distribusi binomial adalah salah satu distribusi probabilitas diskrit yang sangat penting dalam statistika. Distribusi ini digunakan untuk memodelkan probabilitas keberhasilan atau kegagalan dalam serangkaian percobaan independen.
Konsep Dasar Distribusi Binomial
Distribusi binomial menggambarkan probabilitas mendapatkan sejumlah keberhasilan dalam serangkaian percobaan independen, di mana setiap percobaan hanya memiliki dua hasil yang mungkin: sukses atau gagal. Misalnya, jika kita melempar koin 5 kali, kita ingin mengetahui probabilitas mendapatkan tepat 3 sisi kepala.
Syarat Distribusi Binomial
Agar suatu percobaan dapat dianggap sebagai distribusi binomial, beberapa syarat harus dipenuhi:
- Percobaan harus terdiri dari sejumlah percobaan independen, artinya hasil dari satu percobaan tidak memengaruhi hasil percobaan lainnya.
- Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil yang mungkin, yang biasanya disebut sebagai “sukses” dan “gagal”.
- Probabilitas keberhasilan (p) tetap sama untuk setiap percobaan.
Contoh Peristiwa Distribusi Binomial
Berikut adalah beberapa contoh peristiwa yang mengikuti distribusi binomial:
- Probabilitas mendapatkan sisi kepala ketika melempar koin 10 kali.
- Probabilitas menemukan produk cacat dalam sampel 20 produk yang diambil dari lini produksi.
- Probabilitas seorang pemain basket memasukkan 5 tembakan bebas dalam 10 percobaan.
Rumus Distribusi Binomial
Distribusi binomial merupakan salah satu distribusi probabilitas diskrit yang digunakan untuk menghitung probabilitas suatu kejadian berhasil (sukses) dalam sejumlah percobaan independen. Dalam konteks ini, setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil: berhasil atau gagal.
Rumus distribusi binomial digunakan untuk menghitung probabilitas mendapatkan tepat k keberhasilan dalam n percobaan, dengan probabilitas keberhasilan p pada setiap percobaan.
Rumus Distribusi Binomial
Rumus umum distribusi binomial adalah sebagai berikut:
P(X = k) = (nCk) * p^k * (1 – p)^(n – k)
Dimana:
- P(X = k) adalah probabilitas mendapatkan tepat k keberhasilan dalam n percobaan.
- n adalah jumlah percobaan.
- k adalah jumlah keberhasilan yang diinginkan.
- p adalah probabilitas keberhasilan dalam satu percobaan.
- (nCk) adalah kombinasi dari n elemen yang diambil k, yaitu n! / (k! * (n – k)!).
Contoh Perhitungan Probabilitas
Misalnya, kita ingin menghitung probabilitas mendapatkan tepat 3 sisi kepala dalam 5 lemparan koin. Asumsikan probabilitas mendapatkan sisi kepala pada setiap lemparan adalah 0,5.
Dalam kasus ini, kita memiliki:
- n = 5 (jumlah lemparan koin)
- k = 3 (jumlah sisi kepala yang diinginkan)
- p = 0,5 (probabilitas mendapatkan sisi kepala)
Maka, probabilitas mendapatkan tepat 3 sisi kepala dalam 5 lemparan koin adalah:
P(X = 3) = (5C3) * 0,5^3 * (1 – 0,5)^(5 – 3) = 10 * 0,125 * 0,25 = 0,3125
Jadi, probabilitas mendapatkan tepat 3 sisi kepala dalam 5 lemparan koin adalah 0,3125 atau 31,25%.
Contoh Soal Distribusi Binomial
Distribusi binomial adalah salah satu konsep penting dalam probabilitas dan statistika. Distribusi ini digunakan untuk menghitung probabilitas keberhasilan dalam sejumlah percobaan independen, di mana setiap percobaan memiliki dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal. Untuk memahami lebih lanjut tentang distribusi binomial, berikut beberapa contoh soal yang disertai dengan jawaban dan penjelasannya.
Contoh Soal dan Jawaban Distribusi Binomial
Berikut adalah tabel yang menunjukkan contoh soal distribusi binomial dan jawabannya.
| No | Soal | Jawaban | Penjelasan |
|---|---|---|---|
| 1 | Sebuah pabrik memproduksi bola lampu dengan peluang cacat sebesar 5%. Jika diambil sampel 10 bola lampu secara acak, berapa probabilitas bahwa tepat 2 bola lampu cacat? | 0.0746 | Dalam kasus ini, n = 10 (jumlah percobaan), p = 0.05 (probabilitas keberhasilan, yaitu cacat), dan x = 2 (jumlah keberhasilan). Dengan menggunakan rumus distribusi binomial, probabilitas tepat 2 bola lampu cacat adalah: 10C2 * (0.05)2 * (0.95)8 = 0.0746. |
| 2 | Sebuah perusahaan farmasi sedang menguji coba obat baru. Jika 80% pasien yang mengonsumsi obat tersebut sembuh, berapa probabilitas bahwa dari 15 pasien yang diuji coba, setidaknya 10 pasien sembuh? | 0.8843 | Dalam kasus ini, n = 15, p = 0.8, dan x ≥ 10. Kita perlu menghitung probabilitas untuk x = 10, 11, 12, 13, 14, dan 15, kemudian menjumlahkannya. Atau, kita bisa menghitung probabilitas untuk x ≤ 9, kemudian mengurangi dari 1. Probabilitas setidaknya 10 pasien sembuh adalah 1 – (15C0 * (0.8)0 * (0.2)15 + 15C1 * (0.8)1 * (0.2)14 + … + 15C9 * (0.8)9 * (0.2)6) = 0.8843. |
| 3 | Sebuah tim sepak bola memiliki peluang menang dalam setiap pertandingan sebesar 60%. Jika mereka memainkan 5 pertandingan, berapa probabilitas bahwa mereka akan menang setidaknya 3 pertandingan? | 0.6826 | Dalam kasus ini, n = 5, p = 0.6, dan x ≥ 3. Kita perlu menghitung probabilitas untuk x = 3, 4, dan 5, kemudian menjumlahkannya. Probabilitas menang setidaknya 3 pertandingan adalah: 5C3 * (0.6)3 * (0.4)2 + 5C4 * (0.6)4 * (0.4)1 + 5C5 * (0.6)5 * (0.4)0 = 0.6826. |
Cara Menghitung Probabilitas Distribusi Binomial
Setelah memahami konsep dasar distribusi binomial, langkah selanjutnya adalah menghitung probabilitas suatu peristiwa dalam distribusi tersebut. Distribusi binomial membantu kita untuk menghitung probabilitas keberhasilan dalam sejumlah percobaan independen, di mana setiap percobaan memiliki dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal.
Rumus Distribusi Binomial
Rumus dasar untuk menghitung probabilitas distribusi binomial adalah:
P(X = k) = (nCk) * p^k * (1 – p)^(n-k)
Dimana:
- P(X = k) adalah probabilitas mendapatkan tepat k keberhasilan dalam n percobaan.
- n adalah jumlah percobaan.
- k adalah jumlah keberhasilan yang diinginkan.
- p adalah probabilitas keberhasilan dalam satu percobaan.
- (nCk) adalah kombinasi dari n objek yang diambil k sekaligus, dihitung dengan rumus: nCk = n! / (k! * (n-k)!).
Langkah-langkah Menghitung Probabilitas
Untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa dalam distribusi binomial, ikuti langkah-langkah berikut:
- Tentukan jumlah percobaan (n). Ini adalah jumlah total percobaan yang dilakukan.
- Tentukan probabilitas keberhasilan dalam satu percobaan (p). Ini adalah probabilitas mendapatkan hasil yang diinginkan dalam satu percobaan.
- Tentukan jumlah keberhasilan yang diinginkan (k). Ini adalah jumlah keberhasilan yang ingin Anda hitung probabilitasnya.
- Hitung kombinasi (nCk). Gunakan rumus kombinasi untuk menghitung jumlah cara untuk mendapatkan k keberhasilan dalam n percobaan.
- Hitung p^k dan (1 – p)^(n-k). Ini adalah probabilitas mendapatkan k keberhasilan dan (n-k) kegagalan.
- Kalikan hasil langkah 4, 5, dan 6. Hasilnya adalah probabilitas mendapatkan tepat k keberhasilan dalam n percobaan.
Contoh Soal
Sebuah pabrik memproduksi bola lampu. Dari pengalaman, diketahui bahwa 5% bola lampu yang diproduksi cacat. Jika diambil secara acak 20 bola lampu, berapakah probabilitas mendapatkan tepat 2 bola lampu cacat?
Dalam contoh ini:
- n = 20 (jumlah percobaan, yaitu pengambilan bola lampu)
- p = 0.05 (probabilitas bola lampu cacat)
- k = 2 (jumlah bola lampu cacat yang diinginkan)
Maka, kita dapat menghitung probabilitasnya dengan rumus:
P(X = 2) = (20C2) * 0.05^2 * (1 – 0.05)^(20-2)
Langkah-langkahnya:
- Hitung kombinasi (20C2) = 20! / (2! * 18!) = 190.
- Hitung 0.05^2 = 0.0025.
- Hitung (1 – 0.05)^(20-2) = 0.95^18 = 0.3917.
- Kalikan hasil langkah 1, 2, dan 3: 190 * 0.0025 * 0.3917 = 0.1854.
Jadi, probabilitas mendapatkan tepat 2 bola lampu cacat dalam sampel 20 bola lampu adalah 0.1854 atau sekitar 18.54%.
Aplikasi Distribusi Binomial
Distribusi binomial merupakan alat yang ampuh dalam memodelkan probabilitas keberhasilan dalam sejumlah percobaan independen. Dalam kehidupan nyata, distribusi binomial memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang, seperti statistik, bisnis, dan ilmu kesehatan.
Contoh Aplikasi Distribusi Binomial dalam Kehidupan Nyata, Contoh soal distribusi binomial dan jawabannya
Distribusi binomial dapat diterapkan untuk menganalisis berbagai situasi yang melibatkan serangkaian percobaan independen dengan dua kemungkinan hasil, seperti sukses atau gagal. Berikut beberapa contohnya:
- Dalam sebuah survei, kita dapat menggunakan distribusi binomial untuk menentukan probabilitas bahwa sebagian tertentu dari populasi akan memberikan jawaban tertentu pada pertanyaan survei.
- Di industri manufaktur, distribusi binomial dapat digunakan untuk menghitung probabilitas bahwa sejumlah produk tertentu akan cacat dalam suatu batch produksi.
- Dalam bidang kesehatan, distribusi binomial dapat digunakan untuk menghitung probabilitas bahwa pasien akan pulih dari suatu penyakit setelah diberikan pengobatan tertentu.
Penggunaan Distribusi Binomial dalam Bidang Tertentu
Distribusi binomial memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang, termasuk:
- Statistik: Distribusi binomial digunakan untuk menguji hipotesis dan membangun interval kepercayaan untuk proporsi populasi.
- Bisnis: Dalam pemasaran, distribusi binomial dapat digunakan untuk menganalisis efektivitas kampanye pemasaran dan memprediksi tingkat keberhasilan penjualan.
- Ilmu Kesehatan: Dalam penelitian klinis, distribusi binomial dapat digunakan untuk menganalisis data dari uji coba klinis dan menilai efektivitas pengobatan.
Contoh Kasus
Misalnya, sebuah perusahaan farmasi sedang mengembangkan obat baru untuk mengobati penyakit tertentu. Mereka melakukan uji klinis dengan 100 pasien. Asumsikan bahwa probabilitas keberhasilan pengobatan adalah 70%. Kita dapat menggunakan distribusi binomial untuk menghitung probabilitas bahwa setidaknya 80 pasien akan sembuh setelah menerima pengobatan.
Dengan menggunakan rumus distribusi binomial, kita dapat menghitung probabilitas ini. Hasilnya akan menunjukkan seberapa efektif pengobatan tersebut dalam menyembuhkan penyakit. Distribusi binomial membantu perusahaan farmasi untuk membuat keputusan yang tepat mengenai pengembangan obat baru.
Pengertian Probabilitas
Dalam distribusi binomial, probabilitas memegang peran kunci dalam menentukan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Distribusi binomial sendiri menggambarkan probabilitas sukses dalam serangkaian percobaan independen dengan dua kemungkinan hasil, yaitu sukses atau gagal. Untuk memahami lebih dalam tentang probabilitas dalam konteks distribusi binomial, mari kita bahas definisi dan contoh ilustrasinya.
Definisi Probabilitas dalam Distribusi Binomial
Probabilitas dalam distribusi binomial didefinisikan sebagai kemungkinan terjadinya suatu peristiwa tertentu dalam serangkaian percobaan independen. Dalam distribusi binomial, probabilitas dihitung berdasarkan:
- Probabilitas sukses (p): Peluang terjadinya peristiwa sukses dalam satu percobaan.
- Probabilitas gagal (q): Peluang terjadinya peristiwa gagal dalam satu percobaan. q = 1 – p.
- Jumlah percobaan (n): Total percobaan yang dilakukan.
- Jumlah sukses (k): Jumlah peristiwa sukses yang ingin kita hitung probabilitasnya.
Contoh Ilustrasi Probabilitas dalam Distribusi Binomial
Misalnya, kita ingin menghitung probabilitas mendapatkan 3 sisi kepala dalam 5 kali pelemparan koin. Dalam hal ini, kita memiliki:
- Probabilitas sukses (p): 0.5 (peluang mendapatkan sisi kepala dalam satu pelemparan).
- Probabilitas gagal (q): 0.5 (peluang mendapatkan sisi ekor dalam satu pelemparan).
- Jumlah percobaan (n): 5 (jumlah pelemparan koin).
- Jumlah sukses (k): 3 (jumlah sisi kepala yang ingin kita hitung probabilitasnya).
Untuk menghitung probabilitas mendapatkan 3 sisi kepala dalam 5 kali pelemparan koin, kita dapat menggunakan rumus distribusi binomial: P(X = k) = (nCk) * p^k * q^(n-k), di mana nCk adalah kombinasi dari n objek yang diambil k.
Dalam contoh ini, kita akan menghitung probabilitas mendapatkan tepat 3 sisi kepala dalam 5 kali pelemparan koin.
Konsep Peluang: Contoh Soal Distribusi Binomial Dan Jawabannya
Distribusi binomial merupakan konsep penting dalam probabilitas. Distribusi binomial membantu kita menghitung peluang suatu kejadian dalam serangkaian percobaan independen. Dalam konteks distribusi binomial, peluang merupakan ukuran kemungkinan suatu kejadian terjadi.
Contoh soal distribusi binomial dan jawabannya memang seringkali muncul dalam ujian, seperti di contoh soal SAT. Soal-soal ini biasanya menguji kemampuan kita dalam menghitung probabilitas keberhasilan dalam serangkaian percobaan independen. Misalnya, berapa peluang seorang mahasiswa mendapatkan nilai A pada 3 dari 5 mata kuliah jika peluang mendapatkan nilai A pada setiap mata kuliah adalah 70%?
Memahami konsep distribusi binomial dan cara menghitung probabilitasnya akan sangat membantu dalam menyelesaikan soal-soal seperti ini.
Peluang dalam Distribusi Binomial
Dalam distribusi binomial, kita berfokus pada peluang sukses atau gagal dalam setiap percobaan. Peluang sukses dilambangkan dengan ‘p’ dan peluang gagal dilambangkan dengan ‘q’, di mana q = 1 – p. Misalnya, jika kita melempar koin sebanyak 5 kali dan ingin mengetahui peluang mendapatkan sisi kepala sebanyak 3 kali, maka kita menggunakan distribusi binomial untuk menghitungnya.
Contoh Perhitungan Peluang
Misalkan kita ingin mengetahui peluang mendapatkan 3 sisi kepala dalam 5 kali pelemparan koin. Berikut langkah-langkah perhitungannya:
- Tentukan nilai ‘p’ dan ‘q’. Dalam kasus ini, p = 0.5 (peluang mendapatkan sisi kepala) dan q = 0.5 (peluang mendapatkan sisi gambar).
- Tentukan jumlah percobaan ‘n’. Dalam kasus ini, n = 5.
- Tentukan jumlah sukses ‘k’. Dalam kasus ini, k = 3.
- Gunakan rumus distribusi binomial untuk menghitung peluang:
P(X = k) = (nCk) * p^k * q^(n-k)
di mana (nCk) adalah kombinasi dari n objek yang diambil k kali, yaitu n!/(k!(n-k)!).
- Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus:
P(X = 3) = (5C3) * 0.5^3 * 0.5^(5-3) = 10 * 0.125 * 0.25 = 0.3125
- Jadi, peluang mendapatkan 3 sisi kepala dalam 5 kali pelemparan koin adalah 0.3125 atau 31.25%.
Percobaan Bernoulli
Dalam konteks distribusi binomial, percobaan Bernoulli adalah dasar dari seluruh konsep. Percobaan Bernoulli adalah percobaan tunggal dengan dua kemungkinan hasil, yang biasanya disebut “sukses” dan “gagal”.
Definisi Percobaan Bernoulli
Percobaan Bernoulli adalah percobaan yang memiliki karakteristik berikut:
- Hanya ada dua hasil yang mungkin: sukses atau gagal.
- Probabilitas sukses, yang dinotasikan dengan *p*, tetap konstan untuk setiap percobaan.
- Probabilitas gagal, yang dinotasikan dengan *q*, adalah 1 – *p*.
- Setiap percobaan bersifat independen, artinya hasil dari satu percobaan tidak memengaruhi hasil percobaan lainnya.
Contoh Percobaan Bernoulli
Berikut adalah beberapa contoh percobaan Bernoulli:
- Melempar koin sekali: Hasilnya bisa “kepala” (sukses) atau “ekor” (gagal). Probabilitas mendapatkan “kepala” adalah 0,5, dan probabilitas mendapatkan “ekor” juga 0,5. Setiap lemparan koin adalah independen dari lemparan sebelumnya.
- Menggulingkan dadu sekali dan melihat apakah hasilnya 6: Hasilnya bisa “6” (sukses) atau “bukan 6” (gagal). Probabilitas mendapatkan “6” adalah 1/6, dan probabilitas mendapatkan “bukan 6” adalah 5/6. Setiap lemparan dadu adalah independen dari lemparan sebelumnya.
- Memilih seorang siswa secara acak dari kelas dan melihat apakah dia perempuan: Hasilnya bisa “perempuan” (sukses) atau “laki-laki” (gagal). Probabilitas seorang siswa perempuan adalah, misalnya, 0,6, dan probabilitas seorang siswa laki-laki adalah 0,4. Asumsikan setiap siswa memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih.
Penjelasan Lebih Detail
Misalnya, perhatikan percobaan melempar koin sekali. Percobaan ini memenuhi semua syarat percobaan Bernoulli:
- Hanya ada dua hasil yang mungkin: kepala atau ekor.
- Probabilitas mendapatkan kepala (sukses) adalah 0,5, dan probabilitas mendapatkan ekor (gagal) adalah 0,5.
- Setiap lemparan koin adalah independen dari lemparan sebelumnya. Hasil dari satu lemparan tidak memengaruhi hasil lemparan berikutnya.
Oleh karena itu, melempar koin sekali adalah contoh percobaan Bernoulli.
Variabel Acak Binomial
Variabel acak binomial adalah variabel yang menghitung jumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan independen yang memiliki dua kemungkinan hasil, yaitu sukses atau gagal. Setiap percobaan memiliki probabilitas keberhasilan yang sama, dan percobaan tersebut saling independen.
Variabel acak binomial memiliki peran penting dalam berbagai bidang, seperti statistika, probabilitas, dan ilmu data. Pemahaman tentang variabel ini memungkinkan kita untuk menganalisis dan memprediksi hasil dari berbagai fenomena yang melibatkan sejumlah percobaan independen dengan dua kemungkinan hasil.
Contoh Variabel Acak Binomial
Contoh variabel acak binomial adalah jumlah sisi kepala yang muncul ketika sebuah koin dilempar sebanyak 10 kali. Dalam contoh ini, setiap lemparan koin adalah percobaan independen dengan dua kemungkinan hasil, yaitu sisi kepala atau sisi ekor. Probabilitas keberhasilan (sisi kepala) adalah 0,5 untuk setiap lemparan.
Variabel acak binomial dapat diukur dengan menghitung jumlah sisi kepala yang muncul dalam 10 lemparan koin.
Misalnya, jika kita mendapatkan 6 sisi kepala dalam 10 lemparan koin, maka nilai variabel acak binomial adalah 6.
Karakteristik Variabel Acak Binomial
Berikut adalah beberapa karakteristik penting dari variabel acak binomial:
- Jumlah percobaan (n) adalah tetap.
- Setiap percobaan independen dari percobaan lainnya.
- Setiap percobaan memiliki dua kemungkinan hasil, yaitu sukses atau gagal.
- Probabilitas keberhasilan (p) sama untuk setiap percobaan.
Penerapan Variabel Acak Binomial
Variabel acak binomial memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang, termasuk:
- Statistika: Untuk menganalisis data dan menguji hipotesis.
- Probabilitas: Untuk menghitung probabilitas keberhasilan dalam sejumlah percobaan.
- Ilmu Data: Untuk memprediksi hasil dari berbagai fenomena yang melibatkan sejumlah percobaan independen dengan dua kemungkinan hasil.
Contoh Penerapan Variabel Acak Binomial
Contoh penerapan variabel acak binomial dalam kehidupan nyata adalah:
- Pengujian Obat: Dalam pengujian obat baru, variabel acak binomial dapat digunakan untuk menghitung jumlah pasien yang mengalami efek samping obat. Setiap pasien yang menerima obat merupakan percobaan independen, dan hasil dari setiap percobaan adalah sukses (mengalami efek samping) atau gagal (tidak mengalami efek samping).
- Pemilihan Umum: Dalam pemilihan umum, variabel acak binomial dapat digunakan untuk menghitung jumlah suara yang diperoleh oleh calon tertentu. Setiap pemilih merupakan percobaan independen, dan hasil dari setiap percobaan adalah sukses (mengucapkan suara untuk calon tersebut) atau gagal (tidak mengucapkan suara untuk calon tersebut).
- Kontrol Kualitas: Dalam kontrol kualitas, variabel acak binomial dapat digunakan untuk menghitung jumlah produk cacat dalam sampel produk. Setiap produk dalam sampel merupakan percobaan independen, dan hasil dari setiap percobaan adalah sukses (cacat) atau gagal (tidak cacat).
Nilai Harapan dan Varian Distribusi Binomial
Dalam statistika, distribusi binomial merupakan salah satu distribusi probabilitas diskrit yang penting. Distribusi ini digunakan untuk memodelkan probabilitas sukses dalam sejumlah percobaan independen yang memiliki dua kemungkinan hasil, yaitu sukses atau gagal. Selain probabilitas sukses, dua parameter penting lain dalam distribusi binomial adalah nilai harapan dan varian.
Rumus Nilai Harapan dan Varian
Nilai harapan (E[X]) dari distribusi binomial menyatakan rata-rata jumlah sukses yang diharapkan dalam sejumlah percobaan. Sedangkan varian (Var[X]) mengukur sebaran data atau seberapa jauh nilai-nilai dari rata-rata. Rumus untuk menghitung nilai harapan dan varian distribusi binomial adalah:
E[X] = n * p
Var[X] = n * p * (1 – p)
di mana:
* n adalah jumlah percobaan
* p adalah probabilitas sukses dalam setiap percobaan
Arti Nilai Harapan dan Varian
Nilai harapan (E[X]) dalam distribusi binomial menunjukkan jumlah sukses yang diharapkan dalam sejumlah percobaan. Misalnya, jika kita melempar koin sebanyak 10 kali dan probabilitas sisi kepala adalah 0.5, maka nilai harapan jumlah sisi kepala adalah E[X] = 10 * 0.5 = 5. Artinya, kita dapat mengharapkan sekitar 5 sisi kepala dalam 10 kali lemparan koin.
Varian (Var[X]) dalam distribusi binomial menunjukkan seberapa tersebar data atau seberapa jauh nilai-nilai dari rata-rata. Semakin tinggi varian, semakin tersebar data. Misalnya, jika kita melempar koin sebanyak 10 kali dan probabilitas sisi kepala adalah 0.5, maka varian jumlah sisi kepala adalah Var[X] = 10 * 0.5 * (1 – 0.5) = 2.5. Artinya, nilai-nilai dari rata-rata (5 sisi kepala) dapat tersebar dengan cukup jauh.
Contoh Perhitungan Nilai Harapan dan Varian
Misalnya, kita ingin mengetahui nilai harapan dan varian jumlah sisi kepala dalam 20 kali lemparan koin dengan probabilitas sisi kepala 0.6.
* Nilai Harapan: E[X] = n * p = 20 * 0.6 = 12. Artinya, kita dapat mengharapkan sekitar 12 sisi kepala dalam 20 kali lemparan koin.
* Varian: Var[X] = n * p * (1 – p) = 20 * 0.6 * (1 – 0.6) = 4.8. Artinya, nilai-nilai dari rata-rata (12 sisi kepala) dapat tersebar dengan cukup jauh.
Kesimpulan
Nilai harapan dan varian merupakan parameter penting dalam distribusi binomial yang membantu kita memahami dan memprediksi hasil dari sejumlah percobaan. Nilai harapan menunjukkan jumlah sukses yang diharapkan, sedangkan varian mengukur sebaran data atau seberapa jauh nilai-nilai dari rata-rata.
Penutupan
Dengan memahami konsep distribusi binomial, Anda akan dapat menganalisis dan memprediksi peluang suatu peristiwa dalam berbagai situasi, mulai dari permainan koin hingga proses produksi. Distribusi binomial merupakan alat yang kuat dan berguna dalam berbagai bidang, seperti statistik, ilmu komputer, dan bahkan dalam pengambilan keputusan bisnis.
