Contoh Soal Persamaan Garis Singgung dengan Gradien: Memahami Turunan dan Aplikasi dalam Geometri

Contoh soal persamaan garis singgung dengan gradien – Pernahkah Anda bertanya-tanya bagaimana menentukan garis yang hanya menyentuh sebuah kurva di satu titik? Itulah persamaan garis singgung, dan dalam dunia matematika, turunan menjadi alat penting untuk mengungkap misterinya. Bayangkan sebuah kurva yang melambangkan lintasan sebuah roket, dan Anda ingin mengetahui arah tepat roket saat mencapai titik tertentu. Persamaan garis singgung akan memberikan jawabannya!

Artikel ini akan mengajak Anda menjelajahi dunia persamaan garis singgung dengan gradien, mulai dari definisi dasar hingga penerapannya dalam berbagai bidang. Kita akan mempelajari cara menentukan gradien garis singgung, menyusun persamaan garis singgung, dan bahkan menganalisis bagaimana garis singgung bisa tegak lurus atau menyinggung kurva di lebih dari satu titik. Siap untuk menyelami konsep menarik ini?

Pengertian Persamaan Garis Singgung: Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Dengan Gradien

Persamaan garis singgung merupakan persamaan garis lurus yang hanya menyinggung sebuah kurva di satu titik saja. Garis singgung ini memiliki gradien yang sama dengan gradien kurva di titik singgung tersebut.

Ilustrasi Persamaan Garis Singgung

Untuk memahami konsep persamaan garis singgung, perhatikan ilustrasi berikut. Misalkan kita memiliki sebuah kurva dengan persamaan y = f(x) dan sebuah titik (x1, y1) pada kurva tersebut. Garis singgung pada kurva di titik (x1, y1) adalah garis lurus yang hanya menyinggung kurva di titik tersebut. Gradien garis singgung ini sama dengan gradien kurva di titik (x1, y1).

Menentukan Persamaan Garis Singgung dengan Turunan

Turunan dalam kalkulus merupakan alat yang sangat berguna untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva. Turunan dari sebuah fungsi f(x) pada titik x1 memberikan nilai gradien garis singgung pada kurva di titik (x1, f(x1)). Berikut langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan turunan:

• Tentukan titik singgung (x1, y1) pada kurva.
• Hitung turunan fungsi f(x) dan evaluasi turunan tersebut pada titik x1. Nilai turunan ini adalah gradien garis singgung (m).
• Gunakan rumus persamaan garis lurus y – y1 = m(x – x1) untuk menentukan persamaan garis singgung.

Contoh Penentuan Persamaan Garis Singgung

Misalkan kita ingin menentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x^2 di titik (2, 4).

• Titik singgung: (2, 4)
• Turunan fungsi y = x^2 adalah y’ = 2x. Evaluasi turunan di x = 2: y'(2) = 2(2) = 4. Jadi, gradien garis singgung adalah m = 4.
• Gunakan rumus persamaan garis lurus: y – 4 = 4(x – 2). Setelah disederhanakan, persamaan garis singgung adalah y = 4x – 4.

Kesimpulan

Persamaan garis singgung pada kurva dapat ditentukan dengan menggunakan turunan. Turunan memberikan nilai gradien garis singgung di titik tertentu pada kurva. Dengan mengetahui gradien dan titik singgung, kita dapat menentukan persamaan garis singgung menggunakan rumus persamaan garis lurus.

Menentukan Gradien Garis Singgung

Gradien garis singgung pada suatu titik pada kurva menunjukkan kemiringan garis singgung di titik tersebut. Gradien ini merupakan informasi penting dalam memahami perilaku fungsi pada titik tertentu. Untuk menentukan gradien garis singgung, kita perlu menggunakan konsep turunan.

Cara Menentukan Gradien Garis Singgung

Gradien garis singgung pada suatu titik pada kurva dapat ditentukan dengan menggunakan turunan dari fungsi yang merepresentasikan kurva tersebut. Turunan fungsi pada suatu titik menunjukkan laju perubahan fungsi pada titik tersebut, yang sama dengan kemiringan garis singgung di titik tersebut.

Berikut langkah-langkah menentukan gradien garis singgung:

1. Tentukan persamaan fungsi yang merepresentasikan kurva.
2. Hitung turunan dari fungsi tersebut.
3. Substitusikan nilai x pada titik yang ingin ditentukan gradien garis singgungnya ke dalam turunan fungsi yang telah dihitung.
4. Hasil substitusi tersebut adalah gradien garis singgung pada titik tersebut.

Contoh Soal, Contoh soal persamaan garis singgung dengan gradien

Misalkan kita ingin menentukan gradien garis singgung pada titik (2, 4) pada kurva dengan persamaan y = x^2.

Berikut langkah-langkahnya:

1. Persamaan fungsi yang merepresentasikan kurva adalah y = x^2.
2. Turunan dari fungsi tersebut adalah y’ = 2x.
3. Substitusikan nilai x = 2 ke dalam turunan fungsi, sehingga diperoleh y’ = 2(2) = 4.
4. Jadi, gradien garis singgung pada titik (2, 4) pada kurva y = x^2 adalah 4.

Tabel Langkah-Langkah

Menentukan Persamaan Garis Singgung dengan Gradien

Dalam matematika, khususnya dalam kalkulus, menentukan persamaan garis singgung pada suatu kurva merupakan salah satu konsep penting. Garis singgung pada kurva merupakan garis lurus yang bersinggungan dengan kurva tersebut pada satu titik, dan memiliki gradien yang sama dengan gradien kurva pada titik tersebut. Artikel ini akan membahas cara menentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan gradien dan titik singgung, dan akan memberikan contoh soal untuk memperjelas pemahaman Anda.

Menentukan Persamaan Garis Singgung

Untuk menentukan persamaan garis singgung pada suatu kurva, kita membutuhkan dua informasi penting:

• Gradien garis singgung (m) yang merupakan turunan pertama fungsi kurva pada titik singgung.
• Titik singgung (x₁, y₁) yang merupakan titik di mana garis singgung bersinggungan dengan kurva.

Setelah mendapatkan kedua informasi tersebut, kita dapat menggunakan rumus persamaan garis lurus untuk menentukan persamaan garis singgung:

y – y₁ = m(x – x₁)

Rumus ini didasarkan pada konsep bahwa gradien garis sama dengan perubahan vertikal dibagi dengan perubahan horizontal. Dengan kata lain, gradien menunjukkan kemiringan garis.

Contoh Soal Menentukan Persamaan Garis Singgung

Misalkan kita memiliki fungsi y = x² dan ingin menentukan persamaan garis singgung pada titik (2, 4).

1. Tentukan gradien garis singgung. Untuk itu, kita perlu menghitung turunan pertama fungsi y = x². Turunan pertama dari fungsi ini adalah y’ = 2x.
2. Substitusikan nilai x = 2 ke dalam turunan pertama untuk mendapatkan gradien garis singgung pada titik (2, 4). y’ = 2(2) = 4. Jadi, gradien garis singgung adalah 4.
3. Gunakan rumus persamaan garis singgung dengan nilai gradien (m = 4) dan titik singgung (x₁ = 2, y₁ = 4). Persamaan garis singgung adalah:

y – 4 = 4(x – 2)

Sederhanakan persamaan tersebut, kita mendapatkan persamaan garis singgung y = 4x – 4.

Diagram Hubungan antara Gradien, Titik Singgung, dan Persamaan Garis Singgung

Diagram berikut menunjukkan hubungan antara gradien, titik singgung, dan persamaan garis singgung.

Diagram ini menggambarkan kurva f(x) dengan titik singgung (x₁, y₁) dan garis singgung yang melewati titik tersebut. Gradien garis singgung sama dengan turunan pertama fungsi f(x) pada titik singgung (x₁, y₁). Persamaan garis singgung dapat ditentukan menggunakan rumus y – y₁ = m(x – x₁), dengan m adalah gradien dan (x₁, y₁) adalah titik singgung.

Contoh Soal dan Pembahasan

Untuk lebih memahami penerapan konsep persamaan garis singgung dengan gradien, mari kita bahas beberapa contoh soal dan penyelesaiannya.

Contoh Soal 1: Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Misalkan kita memiliki kurva dengan persamaan y = x² + 2x. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva tersebut di titik (1, 3) dengan gradien 4.

Contoh soal persamaan garis singgung dengan gradien memang menarik, karena melibatkan konsep turunan dan persamaan garis. Tapi kalau kamu lagi belajar tentang struktur baja, coba deh cek contoh soal struktur baja 1 dan penyelesaiannya pdf untuk memahami dasar-dasar konstruksi. Nah, setelah mempelajari struktur baja, kamu bisa kembali ke contoh soal persamaan garis singgung dengan gradien dan melihat bagaimana konsep-konsep tersebut bisa diterapkan dalam berbagai bidang.

1. Menentukan turunan pertama fungsi: Turunan pertama dari y = x² + 2x adalah y’ = 2x + 2.
2. Mencari nilai gradien di titik singgung: Substitusikan nilai x = 1 ke dalam turunan pertama, sehingga diperoleh y’ = 2(1) + 2 = 4. Hasil ini menunjukkan bahwa gradien garis singgung di titik (1, 3) memang 4, sesuai dengan yang diberikan dalam soal.
3. Menentukan persamaan garis singgung: Gunakan rumus persamaan garis singgung: y – y₁ = m(x – x₁). Substitusikan nilai m = 4, x₁ = 1, dan y₁ = 3, sehingga diperoleh persamaan garis singgung: y – 3 = 4(x – 1). Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi y = 4x – 1.

Contoh Soal 2: Menentukan Titik Singgung dengan Gradien Diketahui

Diketahui kurva dengan persamaan y = x³ – 3x. Tentukan titik singgung pada kurva tersebut yang memiliki gradien 6.

1. Menentukan turunan pertama fungsi: Turunan pertama dari y = x³ – 3x adalah y’ = 3x² – 3.
2. Mencari nilai x yang memenuhi gradien 6: Substitusikan y’ = 6 ke dalam turunan pertama, sehingga diperoleh 6 = 3x² – 3. Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi x² = 3, yang memiliki solusi x = √3 dan x = -√3.
3. Mencari nilai y pada titik singgung: Substitusikan nilai x = √3 dan x = -√3 ke dalam persamaan kurva awal, sehingga diperoleh y = (√3)³ – 3(√3) = 0 dan y = (-√3)³ – 3(-√3) = 0. Jadi, titik singgung pada kurva tersebut adalah (√3, 0) dan (-√3, 0).

Aplikasi Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung merupakan konsep penting dalam matematika yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang, termasuk geometri, fisika, dan teknik. Garis singgung pada suatu kurva merupakan garis lurus yang menyentuh kurva tersebut pada satu titik dan memiliki kemiringan yang sama dengan kurva pada titik tersebut. Aplikasi persamaan garis singgung memungkinkan kita untuk memahami perilaku kurva, menyelesaikan masalah optimasi, dan bahkan membangun model matematika untuk berbagai fenomena.

Aplikasi dalam Geometri

Dalam geometri, persamaan garis singgung digunakan untuk menentukan titik potong antara kurva dan garis, menghitung luas dan volume benda, serta menentukan jarak terpendek antara titik dan kurva. Misalnya, kita dapat menggunakan persamaan garis singgung untuk menemukan titik potong antara lingkaran dan garis lurus, atau untuk menentukan jarak terpendek antara titik dan parabola.

Aplikasi dalam Fisika

Persamaan garis singgung memiliki aplikasi yang signifikan dalam fisika, khususnya dalam mekanika dan teori gelombang. Dalam mekanika, garis singgung digunakan untuk menentukan kecepatan dan percepatan benda yang bergerak dalam lintasan kurva. Dalam teori gelombang, persamaan garis singgung digunakan untuk menggambarkan bentuk gelombang dan menentukan titik-titik puncak dan lembah gelombang.

Aplikasi dalam Teknik

Persamaan garis singgung digunakan dalam berbagai bidang teknik, seperti desain mesin, arsitektur, dan ilmu material. Dalam desain mesin, persamaan garis singgung digunakan untuk menentukan bentuk optimal komponen mesin, seperti roda gigi dan poros. Dalam arsitektur, persamaan garis singgung digunakan untuk merancang bentuk lengkungan dan struktur bangunan yang unik. Dalam ilmu material, persamaan garis singgung digunakan untuk menentukan sifat material, seperti kekuatan tarik dan modulus elastisitas.

Contoh Kasus Nyata

Salah satu contoh kasus nyata penggunaan persamaan garis singgung adalah dalam menentukan titik potong antara kurva permintaan dan kurva penawaran dalam ekonomi. Titik potong ini dikenal sebagai titik keseimbangan, yang menunjukkan harga dan kuantitas yang optimal untuk suatu produk. Persamaan garis singgung pada kurva permintaan dan penawaran pada titik keseimbangan memungkinkan kita untuk menentukan harga dan kuantitas yang optimal untuk suatu produk.

Tabel Aplikasi Persamaan Garis Singgung

Persamaan Garis Singgung pada Kurva Berbeda

Menentukan persamaan garis singgung pada kurva dengan berbagai bentuk persamaan, seperti fungsi kuadrat, fungsi eksponensial, dan fungsi trigonometri, merupakan proses yang menarik. Kita dapat memanfaatkan konsep turunan untuk menemukan gradien garis singgung, dan kemudian menggunakan rumus umum persamaan garis untuk mendapatkan persamaan garis singgung yang tepat.

Persamaan Garis Singgung pada Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum y = ax² + bx + c. Untuk menemukan persamaan garis singgung pada fungsi kuadrat di titik (x₁, y₁), kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1. Tentukan turunan pertama fungsi kuadrat, yaitu y’ = 2ax + b. Turunan ini mewakili gradien garis singgung di titik (x₁, y₁).
2. Substitusikan nilai x₁ ke dalam turunan pertama untuk mendapatkan nilai gradien garis singgung di titik (x₁, y₁), yaitu m = 2ax₁ + b.
3. Gunakan rumus persamaan garis y – y₁ = m(x – x₁), dengan m adalah gradien yang sudah kita temukan dan (x₁, y₁) adalah titik singgung. Substitusikan nilai m, x₁, dan y₁ ke dalam rumus ini untuk mendapatkan persamaan garis singgung.

Contohnya, untuk fungsi kuadrat y = x² + 2x – 3, kita ingin mencari persamaan garis singgung di titik (1, 0). Berikut langkah-langkahnya:

1. Turunan pertama fungsi ini adalah y’ = 2x + 2.
2. Substitusikan x₁ = 1 ke dalam turunan pertama, kita peroleh m = 2(1) + 2 = 4. Ini berarti gradien garis singgung di titik (1, 0) adalah 4.
3. Gunakan rumus persamaan garis y – y₁ = m(x – x₁). Substitusikan m = 4, x₁ = 1, dan y₁ = 0 ke dalam rumus ini, sehingga kita dapatkan y – 0 = 4(x – 1). Persamaan garis singgungnya adalah y = 4x – 4.

Persamaan Garis Singgung pada Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial memiliki bentuk umum y = aˣ, dengan a adalah bilangan real positif dan x adalah variabel. Untuk menemukan persamaan garis singgung pada fungsi eksponensial di titik (x₁, y₁), kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1. Tentukan turunan pertama fungsi eksponensial, yaitu y’ = aˣ ln(a). Turunan ini mewakili gradien garis singgung di titik (x₁, y₁).
2. Substitusikan nilai x₁ ke dalam turunan pertama untuk mendapatkan nilai gradien garis singgung di titik (x₁, y₁), yaitu m = aˣ¹ ln(a).
3. Gunakan rumus persamaan garis y – y₁ = m(x – x₁), dengan m adalah gradien yang sudah kita temukan dan (x₁, y₁) adalah titik singgung. Substitusikan nilai m, x₁, dan y₁ ke dalam rumus ini untuk mendapatkan persamaan garis singgung.

Contohnya, untuk fungsi eksponensial y = 2ˣ, kita ingin mencari persamaan garis singgung di titik (2, 4). Berikut langkah-langkahnya:

1. Turunan pertama fungsi ini adalah y’ = 2ˣ ln(2).
2. Substitusikan x₁ = 2 ke dalam turunan pertama, kita peroleh m = 2² ln(2) = 4 ln(2). Ini berarti gradien garis singgung di titik (2, 4) adalah 4 ln(2).
3. Gunakan rumus persamaan garis y – y₁ = m(x – x₁). Substitusikan m = 4 ln(2), x₁ = 2, dan y₁ = 4 ke dalam rumus ini, sehingga kita dapatkan y – 4 = 4 ln(2)(x – 2). Persamaan garis singgungnya adalah y = 4 ln(2)x – 8 ln(2) + 4.

Persamaan Garis Singgung pada Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen memiliki bentuk yang unik. Untuk menemukan persamaan garis singgung pada fungsi trigonometri di titik (x₁, y₁), kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1. Tentukan turunan pertama fungsi trigonometri. Misalnya, turunan pertama dari y = sin(x) adalah y’ = cos(x), turunan pertama dari y = cos(x) adalah y’ = -sin(x), dan turunan pertama dari y = tan(x) adalah y’ = sec²(x). Turunan ini mewakili gradien garis singgung di titik (x₁, y₁).
2. Substitusikan nilai x₁ ke dalam turunan pertama untuk mendapatkan nilai gradien garis singgung di titik (x₁, y₁), yaitu m = cos(x₁), m = -sin(x₁), atau m = sec²(x₁), tergantung pada fungsi trigonometrinya.
3. Gunakan rumus persamaan garis y – y₁ = m(x – x₁), dengan m adalah gradien yang sudah kita temukan dan (x₁, y₁) adalah titik singgung. Substitusikan nilai m, x₁, dan y₁ ke dalam rumus ini untuk mendapatkan persamaan garis singgung.

Contohnya, untuk fungsi trigonometri y = sin(x), kita ingin mencari persamaan garis singgung di titik (π/2, 1). Berikut langkah-langkahnya:

1. Turunan pertama fungsi ini adalah y’ = cos(x).
2. Substitusikan x₁ = π/2 ke dalam turunan pertama, kita peroleh m = cos(π/2) = 0. Ini berarti gradien garis singgung di titik (π/2, 1) adalah 0.
3. Gunakan rumus persamaan garis y – y₁ = m(x – x₁). Substitusikan m = 0, x₁ = π/2, dan y₁ = 1 ke dalam rumus ini, sehingga kita dapatkan y – 1 = 0(x – π/2). Persamaan garis singgungnya adalah y = 1.

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tegak Lurus

Persamaan garis singgung dengan gradien tegak lurus merupakan salah satu konsep penting dalam geometri analitik. Konsep ini membahas hubungan antara gradien garis singgung dan garis yang tegak lurus terhadapnya.

Menentukan Persamaan Garis Singgung Tegak Lurus

Untuk menentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis singgung lain, kita perlu memahami hubungan antara gradien kedua garis tersebut. Dua garis tegak lurus jika perkalian gradiennya sama dengan -1. Artinya, jika kita mengetahui gradien garis singgung pertama, kita dapat dengan mudah menentukan gradien garis singgung tegak lurusnya.

Contoh Soal, Contoh soal persamaan garis singgung dengan gradien

Misalkan kita memiliki persamaan garis singgung y = 2x + 3. Bagaimana cara menentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus terhadap garis tersebut dan melalui titik (1, 2)?

Langkah-Langkah Penyelesaian

1. Tentukan gradien garis singgung pertama. Dalam persamaan y = 2x + 3, gradiennya adalah 2.
2. Tentukan gradien garis singgung tegak lurus. Karena perkalian gradien kedua garis tegak lurus sama dengan -1, maka gradien garis singgung tegak lurus adalah -1/2.
3. Gunakan rumus persamaan garis y – y1 = m(x – x1) untuk menentukan persamaan garis singgung tegak lurus. Dalam kasus ini, kita tahu gradiennya (m = -1/2) dan titik yang dilalui (x1 = 1, y1 = 2). Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus, sehingga kita mendapatkan: y – 2 = -1/2(x – 1).
4. Sederhanakan persamaan untuk mendapatkan persamaan garis singgung tegak lurus: y = -1/2x + 5/2.

Persamaan Garis Singgung yang Menyinggung Kurva di Dua Titik

Dalam dunia matematika, khususnya kalkulus, konsep garis singgung merupakan elemen penting dalam memahami sifat kurva. Garis singgung pada kurva dapat memberikan informasi tentang kemiringan dan arah kurva pada titik tertentu. Kali ini, kita akan membahas tentang garis singgung yang menyinggung kurva di dua titik. Fenomena ini mungkin terlihat unik, namun memiliki aplikasi dalam berbagai bidang, seperti optimasi dan desain geometri.

Menentukan Persamaan Garis Singgung yang Menyinggung Kurva di Dua Titik

Untuk menentukan persamaan garis singgung yang menyinggung kurva di dua titik, kita perlu memahami bahwa garis singgung tersebut memiliki gradien yang sama di kedua titik tersebut. Gradien garis singgung pada suatu titik pada kurva dapat ditentukan dengan menggunakan turunan fungsi yang merepresentasikan kurva tersebut.

Berikut adalah langkah-langkah yang dapat diikuti untuk menentukan persamaan garis singgung yang menyinggung kurva di dua titik:

1. Tentukan persamaan kurva yang ingin Anda cari garis singgungnya.
2. Tentukan turunan pertama fungsi yang merepresentasikan kurva tersebut. Turunan ini akan memberikan gradien garis singgung pada titik tertentu pada kurva.
3. Cari dua titik pada kurva yang memiliki gradien garis singgung yang sama. Untuk menemukan titik-titik ini, Anda perlu menyelesaikan persamaan yang dihasilkan dari turunan pertama.
4. Gunakan rumus garis lurus (y = mx + c) untuk menentukan persamaan garis singgung. Substitusikan salah satu titik dan gradien yang sama ke dalam rumus untuk mencari nilai konstanta (c).

Contoh Soal:

Misalkan kita memiliki kurva dengan persamaan y = x³ – 3x² + 2x. Kita ingin menentukan persamaan garis singgung yang menyinggung kurva di dua titik.

Langkah-langkah Penyelesaian:

1. Tentukan turunan pertama fungsi y = x³ – 3x² + 2x. Turunan pertama adalah y’ = 3x² – 6x + 2.
2. Cari dua titik pada kurva yang memiliki gradien garis singgung yang sama. Untuk menemukan titik-titik ini, kita perlu menyelesaikan persamaan y’ = 3x² – 6x + 2 = m (di mana m adalah gradien garis singgung yang sama). Kita bisa menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan ini.
3. Misalkan kita mendapatkan dua titik, yaitu (x₁, y₁) dan (x₂, y₂). Substitusikan salah satu titik dan gradien (m) ke dalam rumus garis lurus (y = mx + c) untuk mencari nilai konstanta (c).
4. Setelah mendapatkan nilai konstanta (c), substitusikan nilai m dan c ke dalam rumus garis lurus (y = mx + c) untuk mendapatkan persamaan garis singgung yang menyinggung kurva di dua titik.

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

Menentukan persamaan garis singgung yang menyinggung kurva dengan gradien tertentu merupakan salah satu aplikasi penting dari konsep turunan dalam kalkulus. Persamaan garis singgung ini memberikan informasi tentang kemiringan atau arah kurva pada titik singgung.

Menentukan Persamaan Garis Singgung

Untuk menentukan persamaan garis singgung dengan gradien tertentu yang menyinggung kurva, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Tentukan turunan pertama fungsi yang merepresentasikan kurva.
2. Substitusikan nilai gradien yang diberikan ke dalam turunan pertama untuk memperoleh nilai absis titik singgung.
3. Substitusikan nilai absis yang diperoleh ke dalam fungsi asli untuk memperoleh nilai ordinat titik singgung.
4. Gunakan persamaan garis lurus dengan gradien dan titik singgung yang telah diperoleh untuk mendapatkan persamaan garis singgung.

Contoh Soal, Contoh soal persamaan garis singgung dengan gradien

Misalkan kita ingin menentukan persamaan garis singgung dengan gradien 2 yang menyinggung kurva dengan persamaan y = x² + 1.

Langkah-langkah Penyelesaian

1. Turunan pertama dari fungsi y = x² + 1 adalah y’ = 2x.
2. Substitusikan nilai gradien 2 ke dalam turunan pertama: 2 = 2x. Maka, nilai absis titik singgung adalah x = 1.
3. Substitusikan nilai absis x = 1 ke dalam fungsi asli: y = 1² + 1 = 2. Maka, nilai ordinat titik singgung adalah y = 2.
4. Dengan menggunakan persamaan garis lurus y – y₁ = m(x – x₁) dengan gradien m = 2 dan titik singgung (1, 2), kita peroleh persamaan garis singgung: y – 2 = 2(x – 1). Sederhanakan persamaan ini, maka persamaan garis singgungnya adalah y = 2x.

Ulasan Penutup

Memahami persamaan garis singgung dengan gradien bukan hanya tentang rumus dan perhitungan, tetapi juga tentang membuka pintu menuju pemahaman yang lebih dalam tentang kurva dan aplikasinya. Dari menentukan arah lintasan benda hingga mengoptimalkan desain struktur, persamaan garis singgung berperan penting dalam berbagai bidang. Semoga artikel ini telah memberikan Anda wawasan baru tentang konsep ini dan menginspirasi Anda untuk menjelajahi lebih lanjut dunia matematika yang penuh keajaiban!