Contoh Soal Persamaan Kuadrat Pemfaktoran: Mencari Solusi dengan Cara Sederhana

Contoh soal persamaan kuadrat pemfaktoran – Persamaan kuadrat, dengan bentuk umumnya ax² + bx + c = 0, merupakan persamaan yang memiliki pangkat tertinggi 2. Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Salah satu metode yang umum digunakan adalah pemfaktoran. Metode ini memanfaatkan faktorisasi untuk mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk perkalian dua faktor linear, sehingga nilai x dapat ditemukan dengan mudah.

Pemfaktoran merupakan teknik yang cukup sederhana dan efektif untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, terutama jika koefisien persamaan relatif kecil. Artikel ini akan membahas secara rinci tentang contoh soal persamaan kuadrat pemfaktoran, langkah-langkah penyelesaiannya, dan berbagai aplikasi dalam kehidupan sehari-hari.

Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan matematika yang memuat variabel berpangkat dua dan tidak memuat variabel berpangkat lebih tinggi. Persamaan ini memiliki bentuk standar dan dapat diselesaikan dengan berbagai metode, seperti pemfaktoran, rumus kuadrat, atau melengkapi kuadrat. Persamaan kuadrat banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang, seperti fisika, teknik, ekonomi, dan ilmu komputer.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat, Contoh soal persamaan kuadrat pemfaktoran

Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum sebagai berikut:

ax² + bx + c = 0

di mana:

• a, b, dan c adalah konstanta, dengan a ≠ 0.
• x adalah variabel.

Koefisien a disebut koefisien kuadrat, b disebut koefisien linear, dan c disebut konstanta.

Contoh Persamaan Kuadrat

Berikut adalah beberapa contoh persamaan kuadrat:

• 2x² + 5x – 3 = 0 (koefisien positif)
• -x² + 3x + 2 = 0 (koefisien negatif)
• x² – 4 = 0 (koefisien linear nol)

Metode Pemfaktoran

Metode pemfaktoran merupakan salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Metode ini memanfaatkan sifat perkalian dalam aljabar untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Dengan memfaktorkan persamaan kuadrat, kita dapat menemukan nilai-nilai x yang membuat persamaan tersebut bernilai nol.

Langkah-Langkah Pemfaktoran Persamaan Kuadrat

Berikut adalah langkah-langkah pemfaktoran persamaan kuadrat:

1. Ubah persamaan kuadrat ke dalam bentuk umum, yaitu ax² + bx + c = 0.
2. Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan ac dan jika dijumlahkan menghasilkan b.
3. Tulis persamaan kuadrat dalam bentuk faktor, yaitu (ax + p)(bx + q) = 0, di mana p dan q adalah bilangan yang ditemukan pada langkah sebelumnya.
4. Selesaikan persamaan faktor dengan menetapkan setiap faktor sama dengan nol, yaitu ax + p = 0 atau bx + q = 0.
5. Hitung nilai x untuk setiap persamaan faktor.

Contoh Pemfaktoran Persamaan Kuadrat dengan Koefisien Positif

Misalnya, kita ingin menyelesaikan persamaan kuadrat x² + 5x + 6 = 0.

1. Persamaan sudah dalam bentuk umum.
2. Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan ac = 1 x 6 = 6 dan jika dijumlahkan menghasilkan b = 5. Dua bilangan tersebut adalah 2 dan 3.
3. Tulis persamaan kuadrat dalam bentuk faktor, yaitu (x + 2)(x + 3) = 0.
4. Selesaikan persamaan faktor dengan menetapkan setiap faktor sama dengan nol, yaitu x + 2 = 0 atau x + 3 = 0.
5. Hitung nilai x untuk setiap persamaan faktor. Dari x + 2 = 0, kita peroleh x = -2. Dari x + 3 = 0, kita peroleh x = -3.

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat x² + 5x + 6 = 0 adalah x = -2 dan x = -3.

Contoh Pemfaktoran Persamaan Kuadrat dengan Koefisien Negatif

Misalnya, kita ingin menyelesaikan persamaan kuadrat 2x² – 5x – 3 = 0.

1. Persamaan sudah dalam bentuk umum.
2. Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan ac = 2 x -3 = -6 dan jika dijumlahkan menghasilkan b = -5. Dua bilangan tersebut adalah -6 dan 1.
3. Tulis persamaan kuadrat dalam bentuk faktor, yaitu (2x + 1)(x – 3) = 0.
4. Selesaikan persamaan faktor dengan menetapkan setiap faktor sama dengan nol, yaitu 2x + 1 = 0 atau x – 3 = 0.
5. Hitung nilai x untuk setiap persamaan faktor. Dari 2x + 1 = 0, kita peroleh x = -1/2. Dari x – 3 = 0, kita peroleh x = 3.

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 2x² – 5x – 3 = 0 adalah x = -1/2 dan x = 3.

Tabel Langkah-Langkah Pemfaktoran Persamaan Kuadrat

Langkah	Contoh Soal
Ubah persamaan kuadrat ke dalam bentuk umum, yaitu ax2 + bx + c = 0.	x2 + 5x + 6 = 0
Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan ac dan jika dijumlahkan menghasilkan b.	ac = 1 x 6 = 6, b = 5. Dua bilangan tersebut adalah 2 dan 3.
Tulis persamaan kuadrat dalam bentuk faktor, yaitu (ax + p)(bx + q) = 0, di mana p dan q adalah bilangan yang ditemukan pada langkah sebelumnya.	(x + 2)(x + 3) = 0
Selesaikan persamaan faktor dengan menetapkan setiap faktor sama dengan nol, yaitu ax + p = 0 atau bx + q = 0.	x + 2 = 0 atau x + 3 = 0
Hitung nilai x untuk setiap persamaan faktor.	x = -2 atau x = -3

Soal Latihan Pemfaktoran

Pemfaktoran merupakan salah satu metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Metode ini melibatkan penguraian persamaan kuadrat menjadi bentuk perkalian dua faktor linear. Berikut adalah beberapa contoh soal latihan yang dapat membantu kamu memahami dan menguasai metode pemfaktoran.

Contoh Soal Latihan Pemfaktoran

Berikut adalah 5 soal latihan persamaan kuadrat yang dapat diselesaikan dengan metode pemfaktoran beserta langkah-langkah penyelesaiannya.

1. Soal 1: x² + 5x + 6 = 0

   Penyelesaian:

   1. Carilah dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 6 dan jika dijumlahkan menghasilkan 5.
   2. Bilangan tersebut adalah 2 dan 3.
   3. Uraikan persamaan kuadrat menjadi (x + 2)(x + 3) = 0.
   4. Selesaikan persamaan dengan menetapkan masing-masing faktor sama dengan nol.
   5. Maka, x + 2 = 0 atau x + 3 = 0.
   6. Selesaikan persamaan linear tersebut untuk mendapatkan nilai x.
   7. Jadi, x = -2 atau x = -3.

2. Soal 2: 2x² – 7x + 3 = 0

   Penyelesaian:

   1. Carilah dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 6 (2 x 3) dan jika dijumlahkan menghasilkan -7.
   2. Bilangan tersebut adalah -1 dan -6.
   3. Uraikan persamaan kuadrat menjadi (2x – 1)(x – 3) = 0.
   4. Selesaikan persamaan dengan menetapkan masing-masing faktor sama dengan nol.
   5. Maka, 2x – 1 = 0 atau x – 3 = 0.
   6. Selesaikan persamaan linear tersebut untuk mendapatkan nilai x.
   7. Jadi, x = 1/2 atau x = 3.

3. Soal 3: x² – 4 = 0

   Penyelesaian:

   1. Persamaan ini merupakan selisih kuadrat, yang dapat difaktorkan menjadi (x + 2)(x – 2) = 0.
   2. Selesaikan persamaan dengan menetapkan masing-masing faktor sama dengan nol.
   3. Maka, x + 2 = 0 atau x – 2 = 0.
   4. Selesaikan persamaan linear tersebut untuk mendapatkan nilai x.
   5. Jadi, x = -2 atau x = 2.

4. Soal 4: 3x² + 10x – 8 = 0

   Penyelesaian:

   1. Carilah dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -24 (3 x -8) dan jika dijumlahkan menghasilkan 10.
   2. Bilangan tersebut adalah 12 dan -2.
   3. Uraikan persamaan kuadrat menjadi (3x – 2)(x + 4) = 0.
   4. Selesaikan persamaan dengan menetapkan masing-masing faktor sama dengan nol.
   5. Maka, 3x – 2 = 0 atau x + 4 = 0.
   6. Selesaikan persamaan linear tersebut untuk mendapatkan nilai x.
   7. Jadi, x = 2/3 atau x = -4.

5. Soal 5: 4x² – 9 = 0

   Penyelesaian:

   1. Persamaan ini merupakan selisih kuadrat, yang dapat difaktorkan menjadi (2x + 3)(2x – 3) = 0.
   2. Selesaikan persamaan dengan menetapkan masing-masing faktor sama dengan nol.
   3. Maka, 2x + 3 = 0 atau 2x – 3 = 0.
   4. Selesaikan persamaan linear tersebut untuk mendapatkan nilai x.
   5. Jadi, x = -3/2 atau x = 3/2.

Contoh soal dan jawaban:

Soal: x² – 7x + 12 = 0

Mencari solusi persamaan kuadrat dengan pemfaktoran memang seru! Kayak lagi memecahkan teka-teki, kita cari dua faktor yang kalau dikalikan hasilnya sama dengan konstanta, dan kalau dijumlahkan hasilnya sama dengan koefisien x. Nah, kalau kamu lagi bingung soal pajak pertambahan nilai (PPN), kamu bisa coba cek contoh soal PPN dan jawabannya di website ini.

Kembali ke soal persamaan kuadrat, setelah kamu menemukan faktor-faktornya, kamu bisa langsung cari nilai x yang memenuhi persamaan. Selamat mencoba!

Penyelesaian:

1. Carilah dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 12 dan jika dijumlahkan menghasilkan -7.
2. Bilangan tersebut adalah -3 dan -4.
3. Uraikan persamaan kuadrat menjadi (x – 3)(x – 4) = 0.
4. Selesaikan persamaan dengan menetapkan masing-masing faktor sama dengan nol.
5. Maka, x – 3 = 0 atau x – 4 = 0.
6. Selesaikan persamaan linear tersebut untuk mendapatkan nilai x.
7. Jadi, x = 3 atau x = 4.

Jenis-jenis Soal Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memuat variabel berpangkat dua. Persamaan ini memiliki bentuk umum ax² + bx + c = 0, dengan a, b, dan c adalah konstanta, dan a ≠ 0. Ada berbagai jenis soal persamaan kuadrat yang dibedakan berdasarkan bentuk persamaannya. Jenis soal ini menentukan cara penyelesaian yang tepat untuk menemukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Salah satu metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan pemfaktoran. Pemfaktoran adalah teknik untuk mengubah persamaan kuadrat menjadi perkalian dua faktor linear. Metode ini hanya berlaku untuk persamaan kuadrat tertentu yang dapat difaktorkan. Berikut ini tiga jenis soal persamaan kuadrat yang umum dijumpai dan cara menyelesaikannya dengan metode pemfaktoran.

Persamaan Kuadrat dengan Koefisien c = 0

Persamaan kuadrat dengan koefisien c = 0 memiliki bentuk ax² + bx = 0. Jenis persamaan ini dapat difaktorkan dengan mengeluarkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari kedua suku.

• Langkah 1: Keluarkan FPB dari kedua suku. FPB dari ax² dan bx adalah x.
• Langkah 2: Tulis persamaan dalam bentuk perkalian dua faktor linear.
• Langkah 3: Selesaikan persamaan dengan menggunakan sifat bahwa hasil kali dua faktor sama dengan nol jika salah satu faktornya sama dengan nol.

Contoh soal:
x² – 4x = 0

Penyelesaian:
1. Keluarkan FPB x dari kedua suku:
x(x – 4) = 0

2. Selesaikan persamaan dengan menggunakan sifat bahwa hasil kali dua faktor sama dengan nol jika salah satu faktornya sama dengan nol:
x = 0 atau x – 4 = 0

3. Selesaikan persamaan untuk x:
x = 0 atau x = 4

Jadi, solusi persamaan x² – 4x = 0 adalah x = 0 atau x = 4.

Persamaan Kuadrat dengan Koefisien b = 0

Persamaan kuadrat dengan koefisien b = 0 memiliki bentuk ax² + c = 0. Jenis persamaan ini dapat difaktorkan dengan menggunakan rumus selisih kuadrat (a² – b² = (a + b)(a – b)).

• Langkah 1: Pindahkan konstanta c ke ruas kanan persamaan.
• Langkah 2: Faktorakan ruas kiri persamaan menggunakan rumus selisih kuadrat.
• Langkah 3: Selesaikan persamaan dengan menggunakan sifat bahwa hasil kali dua faktor sama dengan nol jika salah satu faktornya sama dengan nol.

Contoh soal:
9x² – 16 = 0

Penyelesaian:
1. Pindahkan konstanta -16 ke ruas kanan persamaan:
9x² = 16

2. Faktorakan ruas kiri persamaan menggunakan rumus selisih kuadrat:
(3x)² – 4² = 0

(3x + 4)(3x – 4) = 0

3. Selesaikan persamaan dengan menggunakan sifat bahwa hasil kali dua faktor sama dengan nol jika salah satu faktornya sama dengan nol:
3x + 4 = 0 atau 3x – 4 = 0

4. Selesaikan persamaan untuk x:
x = -4/3 atau x = 4/3

Jadi, solusi persamaan 9x² – 16 = 0 adalah x = -4/3 atau x = 4/3.

Persamaan Kuadrat dengan Koefisien a, b, dan c ≠ 0

Persamaan kuadrat dengan koefisien a, b, dan c ≠ 0 memiliki bentuk ax² + bx + c = 0. Jenis persamaan ini dapat difaktorkan dengan mencari dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan ac dan hasil jumlahnya sama dengan b. Berikut adalah langkah-langkah pemfaktoran untuk jenis persamaan ini.

• Langkah 1: Cari dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan ac dan hasil jumlahnya sama dengan b.
• Langkah 2: Ubah suku bx menjadi penjumlahan dari dua suku yang menggunakan dua bilangan yang ditemukan pada langkah 1.
• Langkah 3: Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir persamaan.
• Langkah 4: Keluarkan FPB dari masing-masing kelompok.
• Langkah 5: Tulis persamaan dalam bentuk perkalian dua faktor linear.
• Langkah 6: Selesaikan persamaan dengan menggunakan sifat bahwa hasil kali dua faktor sama dengan nol jika salah satu faktornya sama dengan nol.

Contoh soal:
x² + 5x + 6 = 0

Penyelesaian:
1. Cari dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan ac (1 x 6 = 6) dan hasil jumlahnya sama dengan b (5). Dua bilangan tersebut adalah 2 dan 3.

2. Ubah suku 5x menjadi 2x + 3x:
x² + 2x + 3x + 6 = 0

3. Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir persamaan:
(x² + 2x) + (3x + 6) = 0

4. Keluarkan FPB dari masing-masing kelompok:
x(x + 2) + 3(x + 2) = 0

5. Tulis persamaan dalam bentuk perkalian dua faktor linear:
(x + 2)(x + 3) = 0

6. Selesaikan persamaan dengan menggunakan sifat bahwa hasil kali dua faktor sama dengan nol jika salah satu faktornya sama dengan nol:
x + 2 = 0 atau x + 3 = 0

7. Selesaikan persamaan untuk x:
x = -2 atau x = -3

Jadi, solusi persamaan x² + 5x + 6 = 0 adalah x = -2 atau x = -3.

Aplikasi Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat merupakan persamaan matematika yang memiliki derajat dua, dan seringkali muncul dalam berbagai situasi di kehidupan sehari-hari. Dari menghitung luas lahan hingga merancang lintasan peluru, persamaan kuadrat memiliki peran penting dalam memecahkan masalah yang kita hadapi.

Contoh Aplikasi Persamaan Kuadrat

Berikut ini beberapa contoh aplikasi persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari:

• Perhitungan Luas Lahan

  Misalkan, kita memiliki lahan berbentuk persegi panjang dengan panjang 10 meter lebih panjang dari lebarnya. Jika luas lahan tersebut adalah 120 meter persegi, maka kita dapat menggunakan persamaan kuadrat untuk menentukan lebar dan panjang lahan tersebut.

  Misalkan lebar lahan adalah x meter. Maka panjangnya adalah x + 10 meter. Luas lahan adalah hasil kali panjang dan lebar, sehingga kita peroleh persamaan kuadrat: x(x + 10) = 120.

  Persamaan ini dapat diubah menjadi x² + 10x – 120 = 0. Dengan memfaktorkan persamaan ini, kita memperoleh (x + 15)(x – 8) = 0. Oleh karena itu, nilai x adalah -15 atau 8. Karena lebar tidak mungkin bernilai negatif, maka lebar lahan adalah 8 meter dan panjangnya adalah 18 meter.

• Perhitungan Lintasan Peluru

  Dalam fisika, lintasan peluru yang diluncurkan dengan sudut tertentu terhadap horizontal dapat dimodelkan menggunakan persamaan kuadrat. Persamaan ini menggambarkan hubungan antara jarak horizontal (x) dan ketinggian (y) peluru.

  Misalkan, kita menembakkan peluru dengan kecepatan awal v₀ dan sudut elevasi θ. Persamaan lintasan peluru adalah:

  y = (v₀² sin²θ) / (2g) * x² + (v₀ sinθ) * x

  Dimana g adalah percepatan gravitasi. Persamaan ini merupakan persamaan kuadrat yang dapat digunakan untuk menghitung jarak horizontal maksimum yang dapat dicapai peluru, serta waktu yang dibutuhkan peluru untuk mencapai titik tertinggi.

• Perhitungan Keuntungan dalam Bisnis

  Persamaan kuadrat juga dapat digunakan untuk menentukan titik impas dalam bisnis. Titik impas adalah titik dimana pendapatan sama dengan biaya, sehingga tidak ada keuntungan maupun kerugian.

  Misalkan, sebuah perusahaan memproduksi barang dengan biaya tetap c dan biaya variabel per unit v. Harga jual per unit adalah p. Persamaan keuntungan P dapat ditulis sebagai:

  P = px – (c + vx)

  Dimana x adalah jumlah unit yang terjual. Persamaan ini dapat diubah menjadi persamaan kuadrat P = (p – v)x – c. Untuk menentukan titik impas, kita mencari nilai x yang membuat P = 0. Solusi persamaan ini akan menunjukkan jumlah unit yang harus terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian.

Selain contoh di atas, persamaan kuadrat juga memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang lain seperti teknik, ekonomi, dan ilmu komputer.

Kesulitan dalam Pemfaktoran

Metode pemfaktoran merupakan salah satu cara yang umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Meskipun metode ini terbilang sederhana, namun beberapa kesulitan mungkin dihadapi dalam penerapannya. Artikel ini akan mengidentifikasi tiga kesulitan yang umum dijumpai dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan metode pemfaktoran, serta solusi untuk mengatasi setiap kesulitan tersebut.

Kesulitan dalam Menemukan Faktor

Kesulitan pertama yang mungkin dihadapi adalah kesulitan dalam menemukan faktor-faktor dari konstanta dalam persamaan kuadrat. Konstanta dalam persamaan kuadrat merupakan angka yang tidak memiliki variabel. Untuk memfaktorkan persamaan kuadrat, kita perlu mencari dua faktor dari konstanta yang jika dijumlahkan akan menghasilkan koefisien dari suku variabel tunggal.

• Misalnya, persamaan kuadrat x² + 5x + 6. Konstanta dalam persamaan ini adalah 6. Kita perlu mencari dua faktor dari 6 yang jika dijumlahkan akan menghasilkan 5, yaitu 2 dan 3.

Namun, dalam beberapa kasus, menemukan faktor-faktor ini bisa menjadi rumit, terutama jika konstanta memiliki banyak faktor atau jika koefisien variabel tunggal merupakan angka besar.

Kesulitan dalam Mengidentifikasi Pola Faktorisasi

Kesulitan kedua yang sering dihadapi adalah kesulitan dalam mengidentifikasi pola faktorisasi yang tepat. Ada beberapa pola faktorisasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, seperti perbedaan kuadrat, kuadrat sempurna, dan faktorisasi umum. Namun, tidak semua persamaan kuadrat mengikuti pola-pola ini.

• Contohnya, persamaan kuadrat x² + 7x + 12. Persamaan ini tidak mengikuti pola perbedaan kuadrat atau kuadrat sempurna. Kita perlu mencari dua faktor dari 12 yang jika dijumlahkan akan menghasilkan 7, yaitu 3 dan 4. Kemudian, kita dapat memfaktorkan persamaan tersebut menjadi (x + 3)(x + 4) = 0.

Dalam kasus seperti ini, kita perlu mengenali pola faktorisasi yang tepat atau mencoba beberapa kemungkinan faktorisasi sampai menemukan yang tepat.

Kesulitan dalam Menentukan Solusi

Kesulitan ketiga yang mungkin dihadapi adalah kesulitan dalam menentukan solusi persamaan kuadrat setelah persamaan tersebut difaktorkan. Setelah persamaan kuadrat difaktorkan, kita perlu mencari nilai x yang membuat persamaan tersebut bernilai nol.

• Contohnya, persamaan kuadrat (x + 2)(x – 3) = 0. Untuk membuat persamaan ini bernilai nol, salah satu faktor harus bernilai nol. Oleh karena itu, solusi persamaan ini adalah x = -2 atau x = 3.

Dalam beberapa kasus, menentukan solusi dari faktor-faktor yang sudah didapat bisa menjadi rumit, terutama jika faktor-faktor tersebut merupakan persamaan linear yang kompleks.

Metode Lain Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Selain pemfaktoran, terdapat dua metode lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Kedua metode ini memberikan alternatif yang praktis dan efektif dalam mencari solusi persamaan kuadrat, terutama dalam kasus-kasus di mana pemfaktoran tidak mudah dilakukan.

Rumus Kuadrat

Metode pertama adalah dengan menggunakan rumus kuadrat. Rumus ini merupakan formula universal yang dapat diterapkan pada semua persamaan kuadrat, terlepas dari apakah persamaan tersebut dapat difaktorkan atau tidak. Rumus kuadrat memberikan solusi yang pasti dan akurat untuk persamaan kuadrat.

Rumus kuadrat ditulis sebagai berikut:

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

Dimana a, b, dan c adalah koefisien persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

Untuk menggunakan rumus kuadrat, kita perlu mengidentifikasi nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat. Setelah nilai-nilai tersebut diketahui, kita dapat mensubstitusikannya ke dalam rumus dan menghitung solusi x.

Melengkapkan Kuadrat

Metode kedua adalah dengan melengkapkan kuadrat. Metode ini melibatkan manipulasi aljabar untuk mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Setelah persamaan diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna, kita dapat dengan mudah mencari solusi x.

Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat adalah:

1. Bagilah kedua ruas persamaan dengan koefisien x², sehingga koefisien x² menjadi 1.
2. Pindahkan konstanta ke ruas kanan persamaan.
3. Tambahkan kuadrat setengah dari koefisien x ke kedua ruas persamaan.
4. Faktorkan ruas kiri persamaan menjadi kuadrat sempurna.
5. Hitung akar kuadrat dari kedua ruas persamaan.
6. Selesaikan persamaan untuk mencari nilai x.

Perbandingan Metode

Metode pemfaktoran, rumus kuadrat, dan melengkapkan kuadrat memiliki keunggulan dan kekurangan masing-masing.

Metode	Keunggulan	Kekurangan
Pemfaktoran	Relatif mudah jika persamaan dapat difaktorkan.	Tidak semua persamaan kuadrat dapat difaktorkan.
Rumus Kuadrat	Dapat digunakan untuk semua persamaan kuadrat.	Rumus yang kompleks, membutuhkan banyak perhitungan.
Melengkapkan Kuadrat	Metode yang sistematis dan mudah dipahami.	Mungkin membutuhkan beberapa langkah aljabar yang kompleks.

Pilihan metode terbaik untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tergantung pada persamaan yang ingin dipecahkan. Jika persamaan dapat difaktorkan, pemfaktoran adalah metode yang paling mudah dan cepat. Namun, jika persamaan tidak dapat difaktorkan, rumus kuadrat atau melengkapkan kuadrat dapat digunakan.

Contoh Soal

Selesaikan persamaan kuadrat 2x² + 5x – 3 = 0 dengan menggunakan rumus kuadrat.

Penyelesaian:

a = 2, b = 5, dan c = -3.

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

x = (-5 ± √(5² – 4 * 2 * -3)) / 2 * 2

x = (-5 ± √(49)) / 4

x = (-5 ± 7) / 4

x₁ = (-5 + 7) / 4 = 1/2

x₂ = (-5 – 7) / 4 = -3

Jadi, solusi persamaan kuadrat 2x² + 5x – 3 = 0 adalah x = 1/2 dan x = -3.

Penggunaan Rumus Kuadrat

Rumus kuadrat merupakan alat yang sangat berguna untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Rumus ini memungkinkan kita untuk menemukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu nilai-nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut. Rumus kuadrat dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak dapat difaktorkan dengan mudah.

Rumus Kuadrat dan Cara Penggunaannya

Rumus kuadrat menyatakan bahwa untuk persamaan kuadrat dalam bentuk ax² + bx + c = 0, akar-akarnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

Dimana:

• a, b, dan c adalah koefisien persamaan kuadrat
• x adalah variabel dalam persamaan kuadrat
• ± menunjukkan bahwa ada dua kemungkinan solusi untuk x, satu dengan tanda positif dan satu dengan tanda negatif

Untuk menggunakan rumus kuadrat, kita perlu mengidentifikasi nilai-nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat yang ingin kita selesaikan. Kemudian, kita substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus kuadrat dan menyelesaikannya untuk mendapatkan nilai-nilai x.

Contoh Soal dan Langkah-langkah Penyelesaian

Misalkan kita ingin menyelesaikan persamaan kuadrat 2x² + 5x – 3 = 0. Untuk menyelesaikannya, kita dapat menggunakan rumus kuadrat. Pertama, kita identifikasi nilai-nilai a, b, dan c:

• a = 2
• b = 5
• c = -3

Kemudian, kita substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus kuadrat:

x = (-5 ± √(5² – 4 * 2 * -3)) / (2 * 2)

Selanjutnya, kita selesaikan persamaan tersebut:

x = (-5 ± √(49)) / 4

x = (-5 ± 7) / 4

Oleh karena itu, kita mendapatkan dua solusi untuk x:

• x₁ = (-5 + 7) / 4 = 1/2
• x₂ = (-5 – 7) / 4 = -3

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 2x² + 5x – 3 = 0 adalah x = 1/2 dan x = -3.

Tabel Rumus Kuadrat, Contoh Soal, dan Langkah-langkah Penyelesaian

Rumus Kuadrat	Contoh Soal	Langkah-langkah Penyelesaian
x = (-b ± √(b2 – 4ac)) / 2a	3x2 – 2x – 5 = 0	1. Identifikasi nilai a, b, dan c: a = 3, b = -2, c = -5. 2. Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus kuadrat: x = (2 ± √((-2)2 – 4 * 3 * -5)) / (2 * 3). 3. Selesaikan persamaan: x = (2 ± √(64)) / 6. 4. Hitung nilai-nilai x: x1 = (2 + 8) / 6 = 5/3, x2 = (2 – 8) / 6 = -1. 5. Akar-akar persamaan kuadrat adalah x = 5/3 dan x = -1.

Penerapan Persamaan Kuadrat dalam Bidang Lain

Persamaan kuadrat tidak hanya terbatas pada pelajaran matematika saja. Dalam kehidupan nyata, persamaan kuadrat memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang seperti fisika, ekonomi, dan teknik.

Penerapan Persamaan Kuadrat dalam Fisika

Persamaan kuadrat sering digunakan untuk memodelkan gerakan benda, khususnya dalam kasus gerak parabola. Misalnya, saat kita melempar bola ke atas, lintasan bola tersebut membentuk parabola. Persamaan kuadrat dapat digunakan untuk menentukan tinggi maksimum yang dicapai bola, waktu yang dibutuhkan untuk mencapai titik tertinggi, dan jarak horizontal yang ditempuh bola sebelum menyentuh tanah.

Contoh Soal

Sebuah bola dilempar vertikal ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s. Tinggi bola setelah t detik dinyatakan dengan rumus h(t) = -5t² + 20t. Tentukan:

1. Waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai titik tertinggi.
2. Tinggi maksimum yang dicapai bola.

Langkah Penyelesaian

1. Untuk menentukan waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai titik tertinggi, kita perlu mencari nilai t yang membuat h'(t) = 0.
   
   Turunan dari h(t) adalah h'(t) = -10t + 20.
   
   Dengan menyelesaikan persamaan -10t + 20 = 0, kita mendapatkan t = 2 detik.
   
   Jadi, bola mencapai titik tertinggi setelah 2 detik.
2. Untuk menentukan tinggi maksimum, kita substitusikan t = 2 ke dalam persamaan h(t).
   
   h(2) = -5(2)² + 20(2) = 20 meter.
   
   Jadi, tinggi maksimum yang dicapai bola adalah 20 meter.

Interpretasi Hasil

Dari hasil perhitungan, kita dapat mengetahui bahwa bola mencapai titik tertinggi setelah 2 detik dan tinggi maksimum yang dicapai adalah 20 meter.

Penerapan Persamaan Kuadrat dalam Ekonomi

Persamaan kuadrat juga banyak digunakan dalam ilmu ekonomi, terutama dalam analisis permintaan dan penawaran.

Misalnya, persamaan kuadrat dapat digunakan untuk memodelkan hubungan antara harga suatu barang dan jumlah barang yang diminta oleh konsumen.

Persamaan kuadrat juga dapat digunakan untuk memodelkan hubungan antara harga suatu barang dan jumlah barang yang ditawarkan oleh produsen.

Contoh Soal

Fungsi permintaan untuk suatu barang dinyatakan dengan P = -2Q² + 100, di mana P adalah harga per unit dan Q adalah jumlah barang yang diminta.

Fungsi penawaran untuk barang yang sama dinyatakan dengan P = 3Q² + 20.

Tentukan harga dan jumlah keseimbangan pasar.

Langkah Penyelesaian

Harga dan jumlah keseimbangan pasar terjadi ketika fungsi permintaan dan penawaran sama.

Oleh karena itu, kita perlu menyelesaikan persamaan -2Q² + 100 = 3Q² + 20.

Dengan menyederhanakan persamaan tersebut, kita mendapatkan 5Q² = 80.

Dengan menyelesaikan persamaan tersebut, kita mendapatkan Q = 4.

Kemudian, kita substitusikan Q = 4 ke dalam salah satu fungsi permintaan atau penawaran untuk mendapatkan harga keseimbangan.

Misalnya, dengan menggunakan fungsi permintaan, kita mendapatkan P = -2(4)² + 100 = 68.

Jadi, harga keseimbangan pasar adalah 68 dan jumlah keseimbangan pasar adalah 4.

Interpretasi Hasil

Harga keseimbangan pasar adalah harga yang membuat jumlah barang yang diminta sama dengan jumlah barang yang ditawarkan.

Dalam contoh ini, harga keseimbangan pasar adalah 68 dan jumlah keseimbangan pasar adalah 4.

Artinya, pada harga 68, konsumen akan meminta 4 unit barang dan produsen akan menawarkan 4 unit barang.

Kesimpulan: Contoh Soal Persamaan Kuadrat Pemfaktoran

Dengan memahami konsep pemfaktoran, kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dengan mudah dan efisien. Metode ini sangat berguna dalam berbagai bidang, mulai dari matematika dan fisika hingga ekonomi dan teknik. Selain pemfaktoran, terdapat metode lain seperti rumus kuadrat yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Pemilihan metode terbaik tergantung pada bentuk persamaan dan preferensi pribadi.