Contoh Soal dan Pembahasan Nilai Mutlak: Kuasai Konsep Matematika yang Sering Ditemui

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut adalah contoh soal dan pembahasan langkah demi langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak:

Contoh 1: $|x – 2| < 5$

Langkah 1: Identifikasi bentuk pertidaksamaan

Pertidaksamaan ini dalam bentuk $|x| < a$.

Langkah 2: Pisahkan menjadi dua kasus

• Kasus 1: $x – 2 < 5$
• Kasus 2: $x – 2 > -5$

Langkah 3: Selesaikan setiap kasus

• Kasus 1: $x – 2 < 5 \Rightarrow x < 7$
• Kasus 2: $x – 2 > -5 \Rightarrow x > -3$

Langkah 4: Gabungkan solusi

Solusi keseluruhan adalah $-3 < x < 7$.

Contoh 2: $|2x + 1| \geq 3$

Langkah 1: Identifikasi bentuk pertidaksamaan

Pertidaksamaan ini dalam bentuk $|x| \geq a$.

Langkah 2: Pisahkan menjadi dua kasus

• Kasus 1: $2x + 1 \geq 3$
• Kasus 2: $2x + 1 \leq -3$

Langkah 3: Selesaikan setiap kasus

• Kasus 1: $2x + 1 \geq 3 \Rightarrow 2x \geq 2 \Rightarrow x \geq 1$
• Kasus 2: $2x + 1 \leq -3 \Rightarrow 2x \leq -4 \Rightarrow x \leq -2$

Langkah 4: Gabungkan solusi

Solusi keseluruhan adalah $x \leq -2$ atau $x \geq 1$.

Tabel Solusi Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Penerapan Nilai Mutlak dalam Kehidupan Sehari-hari

Nilai mutlak merupakan konsep matematika yang memiliki peran penting dalam berbagai bidang, termasuk matematika, fisika, dan ekonomi. Dalam kehidupan sehari-hari, nilai mutlak membantu kita memahami jarak, selisih, dan besaran tanpa mempertimbangkan arah.

Penerapan Nilai Mutlak dalam Matematika

Nilai mutlak dalam matematika sering digunakan untuk menghitung jarak antara dua titik pada garis bilangan. Misalnya, jarak antara titik -3 dan 3 pada garis bilangan adalah 6, yang dapat dihitung dengan menggunakan nilai mutlak: |3 – (-3)| = |6| = 6. Selain itu, nilai mutlak juga digunakan dalam persamaan dan pertidaksamaan untuk menentukan solusi yang memenuhi persyaratan tertentu.

Penerapan Nilai Mutlak dalam Fisika

Dalam fisika, nilai mutlak sering digunakan untuk menghitung besarnya besaran fisika, seperti kecepatan, percepatan, dan gaya. Kecepatan adalah besaran skalar yang hanya memiliki nilai, tidak memiliki arah. Misalnya, jika sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 20 m/s ke arah timur, maka kecepatannya adalah 20 m/s, tanpa mempertimbangkan arah. Nilai mutlak juga digunakan dalam menghitung gaya, yang merupakan besaran vektor yang memiliki nilai dan arah. Misalnya, gaya gravitasi bumi pada benda memiliki nilai dan arah tertentu.

Penerapan Nilai Mutlak dalam Ekonomi

Dalam ekonomi, nilai mutlak digunakan untuk menghitung selisih antara nilai yang diharapkan dan nilai yang sebenarnya. Misalnya, dalam analisis keuangan, nilai mutlak dapat digunakan untuk menghitung selisih antara keuntungan yang diharapkan dan keuntungan yang sebenarnya. Selain itu, nilai mutlak juga digunakan dalam analisis statistik untuk menghitung deviasi standar, yang mengukur penyebaran data di sekitar nilai rata-rata.

Contoh Ilustrasi Penerapan Nilai Mutlak

Bayangkan sebuah peta dengan kota A dan kota B. Anda ingin mengetahui jarak antara kedua kota tersebut. Anda dapat menggunakan nilai mutlak untuk menghitung jarak tersebut. Misalnya, jika kota A terletak pada koordinat (2, 3) dan kota B terletak pada koordinat (5, 7), maka jarak antara kedua kota tersebut adalah:

|5 – 2| + |7 – 3| = |3| + |4| = 3 + 4 = 7

Jadi, jarak antara kota A dan kota B adalah 7 satuan.

Soal Latihan dan Pembahasan Nilai Mutlak

Nilai mutlak merupakan konsep penting dalam matematika yang digunakan untuk menyatakan jarak suatu bilangan dari nol. Untuk menguasai konsep nilai mutlak, latihan soal dan pembahasannya sangatlah penting. Berikut ini beberapa contoh soal latihan dan pembahasannya.

Soal Latihan Nilai Mutlak

Berikut ini lima soal latihan tentang nilai mutlak dengan tingkat kesulitan yang berbeda.

1. Tentukan nilai dari | -5 |.
2. Selesaikan persamaan | x – 3 | = 5.
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan | 2x + 1 | < 7.
4. Hitung nilai dari | 3x – 2 | + | x + 1 | jika x = -2.
5. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan | x – 1 | > | 2x + 3 |.

Pembahasan Soal Latihan Nilai Mutlak

Berikut ini pembahasan lengkap untuk setiap soal latihan yang telah disusun.

Kumpulan Rumus Nilai Mutlak

Nilai mutlak merupakan konsep penting dalam matematika yang sering muncul dalam berbagai bidang, seperti aljabar, geometri, dan kalkulus. Nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan, tanpa mempertimbangkan arah.

Definisi Nilai Mutlak

Definisi nilai mutlak dari suatu bilangan real *x*, dilambangkan dengan |*x*|, adalah sebagai berikut:

|*x*| = *x*, jika *x* ≥ 0
|*x*| = -*x*, jika *x* < 0

Contoh:
* |3| = 3, karena 3 ≥ 0
* |-5| = 5, karena -5 < 0

Sifat-Sifat Nilai Mutlak

Nilai mutlak memiliki beberapa sifat penting yang dapat membantu kita dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan nilai mutlak. Berikut adalah beberapa sifatnya:

• |*x*| ≥ 0 untuk setiap bilangan real *x*.
• |*x*| = 0 jika dan hanya jika *x* = 0.
• |- *x*| = |*x*| untuk setiap bilangan real *x*.
• |*x* * y*| = |*x*| * |*y*| untuk setiap bilangan real *x* dan *y*.
• |*x* / *y*| = |*x*| / |*y*| untuk setiap bilangan real *x* dan *y* dengan *y* ≠ 0.
• |*x* + *y*| ≤ |*x*| + |*y*| (Ketidaksamaan Segitiga)

Persamaan Nilai Mutlak

Persamaan nilai mutlak adalah persamaan yang memuat nilai mutlak. Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak, kita dapat menggunakan definisi nilai mutlak dan sifat-sifatnya.

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut adalah beberapa contoh soal dan pembahasan yang melibatkan persamaan nilai mutlak:

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |*x* – 2| = 5.

   Penyelesaian:

   Kita dapat menyelesaikan persamaan ini dengan menggunakan definisi nilai mutlak. Kita tahu bahwa |*x* – 2| = 5 jika dan hanya jika *x* – 2 = 5 atau *x* – 2 = -5. Kita selesaikan kedua persamaan ini:

   • *x* – 2 = 5 ⇒ *x* = 7
   • *x* – 2 = -5 ⇒ *x* = -3

   Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan |*x* – 2| = 5 adalah -3, 7 .

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |2*x* + 1| = |*x* – 3|.

   Penyelesaian:

   Kita dapat menyelesaikan persamaan ini dengan menggunakan definisi nilai mutlak dan sifat-sifatnya. Kita tahu bahwa |2*x* + 1| = |*x* – 3| jika dan hanya jika 2*x* + 1 = *x* – 3 atau 2*x* + 1 = -(*x* – 3). Kita selesaikan kedua persamaan ini:

   • 2*x* + 1 = *x* – 3 ⇒ *x* = -4
   • 2*x* + 1 = -(*x* – 3) ⇒ 3*x* = 2 ⇒ *x* = 2/3

   Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan |2*x* + 1| = |*x* – 3| adalah -4, 2/3 .

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak, kita dapat menggunakan definisi nilai mutlak dan sifat-sifatnya.

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut adalah beberapa contoh soal dan pembahasan yang melibatkan pertidaksamaan nilai mutlak:

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |*x* – 3| < 2.

   Penyelesaian:

   Kita dapat menyelesaikan pertidaksamaan ini dengan menggunakan definisi nilai mutlak. Kita tahu bahwa |*x* – 3| < 2 jika dan hanya jika -2 < *x* – 3 < 2. Kita selesaikan pertidaksamaan ini:

   • -2 1
   • *x* – 3 < 2 ⇒ *x* < 5

   Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |*x* – 3| < 2 adalah *x* | 1 < *x* < 5 .

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |2*x* + 1| ≥ 5.

   Penyelesaian:

   Kita dapat menyelesaikan pertidaksamaan ini dengan menggunakan definisi nilai mutlak. Kita tahu bahwa |2*x* + 1| ≥ 5 jika dan hanya jika 2*x* + 1 ≥ 5 atau 2*x* + 1 ≤ -5. Kita selesaikan kedua pertidaksamaan ini:

   • 2*x* + 1 ≥ 5 ⇒ *x* ≥ 2
   • 2*x* + 1 ≤ -5 ⇒ *x* ≤ -3

   Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |2*x* + 1| ≥ 5 adalah *x* | *x* ≤ -3 atau *x* ≥ 2 .

Tabel Rumus Nilai Mutlak

Berikut adalah tabel yang merangkum rumus-rumus nilai mutlak dan contohnya:

Tips dan Trik Mengerjakan Soal Nilai Mutlak

Nilai mutlak merupakan konsep penting dalam matematika yang sering muncul dalam berbagai soal. Memahami sifat dan cara menghitung nilai mutlak sangat penting untuk menyelesaikan soal-soal dengan mudah dan cepat. Berikut beberapa tips dan trik yang bisa kamu gunakan untuk menaklukkan soal nilai mutlak:

Memahami Konsep Dasar Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan. Artinya, nilai mutlak selalu bernilai positif atau nol. Simbol nilai mutlak adalah garis vertikal di sekitar bilangan, seperti |x|. Contohnya, |3| = 3 dan |-3| = 3.

Menggunakan Definisi Nilai Mutlak

Definisi nilai mutlak dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal yang melibatkan persamaan atau pertidaksamaan nilai mutlak. Definisi nilai mutlak menyatakan bahwa:

|x| = x jika x ≥ 0
|x| = -x jika x < 0

Contohnya, untuk menyelesaikan persamaan |x – 2| = 5, kita dapat menggunakan definisi nilai mutlak:

• Jika x – 2 ≥ 0, maka |x – 2| = x – 2, sehingga x – 2 = 5 dan x = 7.
• Jika x – 2 < 0, maka |x – 2| = -(x – 2), sehingga -(x – 2) = 5 dan x = -3.

Jadi, solusi persamaan |x – 2| = 5 adalah x = 7 atau x = -3.

Menggunakan Sifat Nilai Mutlak

Ada beberapa sifat nilai mutlak yang dapat membantu dalam menyelesaikan soal-soal nilai mutlak:

• |x| ≥ 0 untuk semua nilai x.
• |x| = |-x| untuk semua nilai x.
• |x|² = x² untuk semua nilai x.
• |x * y| = |x| * |y| untuk semua nilai x dan y.
• |x / y| = |x| / |y| untuk semua nilai x dan y, dengan y ≠ 0.

Sifat-sifat ini dapat digunakan untuk menyederhanakan persamaan atau pertidaksamaan nilai mutlak, sehingga lebih mudah diselesaikan.

Menghilangkan Nilai Mutlak dengan Kuadrat

Salah satu cara untuk menghilangkan nilai mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan atau pertidaksamaan. Misalnya, untuk menyelesaikan persamaan |x – 2| = 3, kita dapat mengkuadratkan kedua ruas:

|x – 2|² = 3²

Ini menghasilkan persamaan (x – 2)² = 9. Selanjutnya, kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat ini untuk mendapatkan nilai x.

Menggunakan Grafik untuk Visualisasi

Grafik dapat membantu kita untuk memvisualisasikan solusi dari persamaan atau pertidaksamaan nilai mutlak. Misalnya, untuk menyelesaikan pertidaksamaan |x – 2| < 3, kita dapat menggambar grafik fungsi y = |x – 2| dan y = 3. Solusi dari pertidaksamaan ini adalah nilai x yang membuat grafik y = |x – 2| berada di bawah grafik y = 3.

Memperhatikan Kondisi Batas

Saat menyelesaikan soal nilai mutlak, penting untuk memperhatikan kondisi batas yang terkait dengan definisi nilai mutlak. Kondisi batas ini dapat membantu kita menentukan interval nilai x yang memenuhi persamaan atau pertidaksamaan.

Berlatih dengan Soal-Soal

Cara terbaik untuk menguasai soal nilai mutlak adalah dengan berlatih secara rutin. Semakin banyak soal yang kamu kerjakan, semakin mudah kamu memahami konsep dan strategi untuk menyelesaikan soal-soal nilai mutlak.

Contoh Soal dan Pembahasan Nilai Mutlak Tingkat Lanjut

Setelah memahami konsep dasar nilai mutlak, kita akan melangkah ke contoh soal yang lebih menantang. Soal-soal ini memerlukan pemahaman yang lebih mendalam tentang sifat-sifat nilai mutlak dan bagaimana mengaplikasikannya dalam berbagai situasi. Mari kita bahas beberapa contoh soal berikut:

Contoh Soal 1: Persamaan Nilai Mutlak dengan Variabel di Dalam dan Luar

Selesaikan persamaan nilai mutlak berikut:

|2x – 3| + |x + 1| = 5

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak ini, kita perlu memisahkan persamaan menjadi beberapa kasus berdasarkan tanda dari ekspresi di dalam tanda mutlak.

• Kasus 1: 2x – 3 ≥ 0 dan x + 1 ≥ 0. Artinya, x ≥ 3/2 dan x ≥ -1. Irisan dari kedua kondisi ini adalah x ≥ 3/2.
• Kasus 2: 2x – 3 ≥ 0 dan x + 1 < 0. Artinya, x ≥ 3/2 dan x < -1. Tidak ada irisan dari kedua kondisi ini.
• Kasus 3: 2x – 3 < 0 dan x + 1 ≥ 0. Artinya, x < 3/2 dan x ≥ -1. Irisan dari kedua kondisi ini adalah -1 ≤ x < 3/2.
• Kasus 4: 2x – 3 < 0 dan x + 1 < 0. Artinya, x < 3/2 dan x < -1. Irisan dari kedua kondisi ini adalah x < -1.

Sekarang, kita selesaikan persamaan untuk setiap kasus:

• Kasus 1 (x ≥ 3/2): (2x – 3) + (x + 1) = 5. Selesaikan persamaan ini, kita dapatkan x = 7/3.
• Kasus 3 (-1 ≤ x < 3/2): (3 – 2x) + (x + 1) = 5. Selesaikan persamaan ini, kita dapatkan x = -1.
• Kasus 4 (x < -1): (3 – 2x) + (-x – 1) = 5. Selesaikan persamaan ini, kita dapatkan x = -1.

Jadi, solusi dari persamaan |2x – 3| + |x + 1| = 5 adalah x = 7/3 dan x = -1.

Contoh Soal 2: Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Variabel di Dalam dan Luar

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut:

|x – 2| + |x + 3| < 7

Pembahasan:

Mirip dengan contoh soal sebelumnya, kita perlu memisahkan pertidaksamaan menjadi beberapa kasus berdasarkan tanda dari ekspresi di dalam tanda mutlak.

• Kasus 1: x – 2 ≥ 0 dan x + 3 ≥ 0. Artinya, x ≥ 2 dan x ≥ -3. Irisan dari kedua kondisi ini adalah x ≥ 2.
• Kasus 2: x – 2 ≥ 0 dan x + 3 < 0. Artinya, x ≥ 2 dan x < -3. Tidak ada irisan dari kedua kondisi ini.
• Kasus 3: x – 2 < 0 dan x + 3 ≥ 0. Artinya, x < 2 dan x ≥ -3. Irisan dari kedua kondisi ini adalah -3 ≤ x < 2.
• Kasus 4: x – 2 < 0 dan x + 3 < 0. Artinya, x < 2 dan x < -3. Irisan dari kedua kondisi ini adalah x < -3.

Sekarang, kita selesaikan pertidaksamaan untuk setiap kasus:

• Kasus 1 (x ≥ 2): (x – 2) + (x + 3) < 7. Selesaikan pertidaksamaan ini, kita dapatkan x < 3. Irisan dari x ≥ 2 dan x < 3 adalah 2 ≤ x < 3.
• Kasus 3 (-3 ≤ x < 2): (2 – x) + (x + 3) < 7. Selesaikan pertidaksamaan ini, kita dapatkan x < 2. Irisan dari -3 ≤ x < 2 dan x < 2 adalah -3 ≤ x < 2.
• Kasus 4 (x < -3): (2 – x) + (-x – 3) -4. Irisan dari x -4 adalah -4 < x < -3.

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 2| + |x + 3| < 7 adalah -4 < x < 3.

Contoh Soal 3: Nilai Mutlak dalam Persamaan Kuadrat

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut:

|x² – 4| = x + 2

Pembahasan:

Persamaan ini melibatkan nilai mutlak dari ekspresi kuadrat. Kita perlu memisahkan persamaan menjadi dua kasus berdasarkan tanda dari ekspresi di dalam tanda mutlak.

• Kasus 1: x² – 4 ≥ 0. Artinya, x ≤ -2 atau x ≥ 2.
• Kasus 2: x² – 4 < 0. Artinya, -2 < x < 2.

Sekarang, kita selesaikan persamaan untuk setiap kasus:

• Kasus 1 (x ≤ -2 atau x ≥ 2): x² – 4 = x + 2. Selesaikan persamaan kuadrat ini, kita dapatkan x = -1 atau x = 3. Namun, hanya x = 3 yang memenuhi kondisi x ≤ -2 atau x ≥ 2.
• Kasus 2 (-2 < x < 2): 4 – x² = x + 2. Selesaikan persamaan kuadrat ini, kita dapatkan x = -2 atau x = 1. Namun, hanya x = 1 yang memenuhi kondisi -2 < x < 2.

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan |x² – 4| = x + 2 adalah x = 1 dan x = 3.

Tabel Rangkuman Soal dan Pembahasan

Referensi dan Sumber Belajar Nilai Mutlak: Contoh Soal Dan Pembahasan Nilai Mutlak

Mencari sumber belajar yang tepat untuk memahami konsep nilai mutlak bisa menjadi tantangan. Ada banyak buku, artikel, dan website yang membahas topik ini, namun tidak semuanya mudah dipahami atau akurat. Untuk membantu Anda, berikut ini beberapa rekomendasi sumber belajar yang terpercaya dan mudah dipahami.

Rekomendasi Buku

Buku teks matematika tingkat sekolah menengah pertama dan atas biasanya membahas konsep nilai mutlak dengan cukup detail. Berikut beberapa buku yang bisa Anda jadikan referensi:

• Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII oleh Erlangga
• Matematika untuk SMA/MA Kelas X oleh Erlangga
• Matematika untuk SMA/MA Kelas XI oleh Erlangga

Rekomendasi Artikel

Artikel online dapat menjadi sumber belajar yang mudah diakses dan praktis. Berikut beberapa situs web yang menyediakan artikel tentang nilai mutlak: