Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Nilai Mutlak: Kuasai Konsep dan Aplikasinya

Berikut adalah tabel yang berisi jenis-jenis pertidaksamaan nilai mutlak dan contohnya:

Sifat-Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan persamaan yang melibatkan operasi nilai mutlak dengan tanda pertidaksamaan. Sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak menjadi dasar dalam menyelesaikan pertidaksamaan tersebut. Memahami sifat-sifat ini akan membantu kita dalam menentukan solusi dari pertidaksamaan nilai mutlak.

Sifat-Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Berikut adalah beberapa sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak:

• Jika |x| < a, maka -a < x < a.

  Sifat ini menyatakan bahwa jika nilai mutlak dari suatu variabel kurang dari suatu konstanta, maka variabel tersebut terletak di antara negatif dari konstanta tersebut dan konstanta tersebut.

  Contoh: Jika |x| < 3, maka -3 < x < 3. Artinya, solusi dari pertidaksamaan tersebut adalah semua nilai x yang berada di antara -3 dan 3, tidak termasuk -3 dan 3.

• Jika |x| > a, maka x < -a atau x > a.

  Sifat ini menyatakan bahwa jika nilai mutlak dari suatu variabel lebih besar dari suatu konstanta, maka variabel tersebut kurang dari negatif dari konstanta tersebut atau lebih besar dari konstanta tersebut.

  Contoh: Jika |x| > 2, maka x < -2 atau x > 2. Artinya, solusi dari pertidaksamaan tersebut adalah semua nilai x yang kurang dari -2 atau lebih besar dari 2.

• Jika |x| ≤ a, maka -a ≤ x ≤ a.

  Sifat ini menyatakan bahwa jika nilai mutlak dari suatu variabel kurang dari atau sama dengan suatu konstanta, maka variabel tersebut terletak di antara negatif dari konstanta tersebut dan konstanta tersebut, termasuk -a dan a.

  Contoh: Jika |x| ≤ 4, maka -4 ≤ x ≤ 4. Artinya, solusi dari pertidaksamaan tersebut adalah semua nilai x yang berada di antara -4 dan 4, termasuk -4 dan 4.

• Jika |x| ≥ a, maka x ≤ -a atau x ≥ a.

  Sifat ini menyatakan bahwa jika nilai mutlak dari suatu variabel lebih besar dari atau sama dengan suatu konstanta, maka variabel tersebut kurang dari atau sama dengan negatif dari konstanta tersebut atau lebih besar dari atau sama dengan konstanta tersebut.

  Contoh: Jika |x| ≥ 1, maka x ≤ -1 atau x ≥ 1. Artinya, solusi dari pertidaksamaan tersebut adalah semua nilai x yang kurang dari atau sama dengan -1 atau lebih besar dari atau sama dengan 1.

Diagram Venn untuk Sifat-Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Diagram Venn dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak. Berikut adalah contoh diagram Venn untuk sifat |x| < a dan |x| > a:

Diagram Venn untuk |x| < a akan menunjukkan lingkaran yang mewakili semua nilai x yang berada di antara -a dan a, tidak termasuk -a dan a. Diagram Venn untuk |x| > a akan menunjukkan dua lingkaran yang mewakili semua nilai x yang kurang dari -a atau lebih besar dari a.

Hubungan antara kedua sifat ini adalah bahwa solusi dari |x| < a tidak termasuk dalam solusi dari |x| > a, dan sebaliknya. Hal ini dapat dilihat pada diagram Venn, di mana kedua lingkaran tidak saling tumpang tindih.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat tanda nilai mutlak. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak berarti menentukan nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Untuk menyelesaikannya, kita perlu memahami sifat-sifat nilai mutlak dan bagaimana mereka bekerja dalam konteks pertidaksamaan.

Langkah-langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Berikut adalah langkah-langkah umum untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak:

• Identifikasi kasus pertidaksamaan. Perhatikan bentuk pertidaksamaan nilai mutlak. Apakah bentuknya |x| < a, |x| > a, |x| ≤ a, atau |x| ≥ a?
• Selesaikan pertidaksamaan tanpa nilai mutlak. Untuk setiap kasus, kita perlu memecahkan pertidaksamaan tanpa tanda nilai mutlak.
  • Untuk |x| < a dan |x| ≤ a, kita akan mendapatkan dua pertidaksamaan: -a < x < a dan -a ≤ x ≤ a.
  • Untuk |x| > a dan |x| ≥ a, kita akan mendapatkan dua pertidaksamaan: x < -a atau x > a, dan x ≤ -a atau x ≥ a.
• Gabungkan solusi. Setelah mendapatkan solusi untuk setiap kasus, kita perlu menggabungkan solusi tersebut untuk mendapatkan solusi lengkap pertidaksamaan nilai mutlak.
• Tuliskan solusi dalam bentuk interval. Solusi pertidaksamaan nilai mutlak biasanya dituliskan dalam bentuk interval.

Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Berikut adalah contoh penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak untuk berbagai kasus:

Kasus Khusus: Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Ekspresi di Dalam Tanda Mutlak

Dalam beberapa kasus, kita mungkin menemukan pertidaksamaan nilai mutlak dengan ekspresi di dalam tanda mutlak, bukan hanya variabel tunggal. Untuk menyelesaikannya, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

• Selesaikan pertidaksamaan tanpa nilai mutlak. Sama seperti sebelumnya, kita perlu memecahkan pertidaksamaan tanpa tanda nilai mutlak.
• Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan. Kita perlu menemukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tanpa tanda nilai mutlak.
• Tuliskan solusi dalam bentuk interval. Solusi pertidaksamaan nilai mutlak biasanya dituliskan dalam bentuk interval.

Contoh Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Ekspresi di Dalam Tanda Mutlak

Misalkan kita memiliki pertidaksamaan |2x – 1| < 5. Berikut langkah-langkah untuk menyelesaikannya:

• Selesaikan pertidaksamaan tanpa nilai mutlak. Kita mendapatkan dua pertidaksamaan: -5 < 2x – 1 < 5.
• Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan. Dengan menyelesaikan kedua pertidaksamaan, kita mendapatkan -2 < x < 3.
• Tuliskan solusi dalam bentuk interval. Solusi pertidaksamaan nilai mutlak adalah (-2, 3).

Contoh Soal dan Pembahasan

Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan salah satu topik penting dalam matematika yang melibatkan konsep nilai mutlak dan pertidaksamaan. Untuk memahami topik ini dengan lebih baik, mari kita bahas beberapa contoh soal dan pembahasannya.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak Sederhana

Pertidaksamaan nilai mutlak sederhana melibatkan satu variabel dan operasi dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian.

• Contoh 1:
  Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 2| < 5.
• Pembahasan:
  Pertidaksamaan |x – 2| < 5 menyatakan bahwa jarak antara x dan 2 kurang dari 5. Kita dapat menyelesaikannya dengan menggunakan definisi nilai mutlak:

  |x – 2| < 5 sama dengan -5 < x – 2 < 5

  Kemudian, kita selesaikan pertidaksamaan untuk x:

  -5 < x – 2 < 5
  -3 < x < 7

  Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 2| < 5 adalah -3 < x < 7.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Koefisien

Pertidaksamaan nilai mutlak dengan koefisien melibatkan koefisien di depan variabel dalam nilai mutlak.

• Contoh 2:
  Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan |2x + 1| ≥ 3.
• Pembahasan:
  Pertidaksamaan |2x + 1| ≥ 3 menyatakan bahwa jarak antara 2x + 1 dan 0 lebih besar dari atau sama dengan 3. Kita dapat menyelesaikannya dengan menggunakan definisi nilai mutlak:

  |2x + 1| ≥ 3 sama dengan 2x + 1 ≤ -3 atau 2x + 1 ≥ 3

  Kemudian, kita selesaikan pertidaksamaan untuk x:

  2x + 1 ≤ -3 atau 2x + 1 ≥ 3
  2x ≤ -4 atau 2x ≥ 2
  x ≤ -2 atau x ≥ 1

  Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan |2x + 1| ≥ 3 adalah x ≤ -2 atau x ≥ 1.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Dua Variabel

Pertidaksamaan nilai mutlak dengan dua variabel melibatkan dua variabel dalam nilai mutlak.

• Contoh 3:
  Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan |x – y| ≤ 2.
• Pembahasan:
  Pertidaksamaan |x – y| ≤ 2 menyatakan bahwa jarak antara x dan y kurang dari atau sama dengan 2. Kita dapat menyelesaikannya dengan menggunakan definisi nilai mutlak:

  |x – y| ≤ 2 sama dengan -2 ≤ x – y ≤ 2

  Kemudian, kita selesaikan pertidaksamaan untuk y:

  -2 ≤ x – y ≤ 2
  -x – 2 ≤ -y ≤ -x + 2
  x + 2 ≥ y ≥ x – 2

  Jadi, daerah penyelesaian dari pertidaksamaan |x – y| ≤ 2 adalah daerah di antara garis y = x + 2 dan y = x – 2.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Fungsi

Pertidaksamaan nilai mutlak dengan fungsi melibatkan fungsi dalam nilai mutlak.

• Contoh 4:
  Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan |f(x)| < 1, dengan f(x) = x² – 4x + 3.
• Pembahasan:
  Pertidaksamaan |f(x)| < 1 menyatakan bahwa jarak antara f(x) dan 0 kurang dari 1. Kita dapat menyelesaikannya dengan menggunakan definisi nilai mutlak:

  |f(x)| < 1 sama dengan -1 < f(x) < 1

  Kemudian, kita selesaikan pertidaksamaan untuk x:

  -1 < x² – 4x + 3 < 1
  0 < x² – 4x + 4 < 2
  0 < (x – 2)² < 2

  Selanjutnya, kita cari akar dari persamaan (x – 2)² = 2:

  (x – 2)² = 2
  x – 2 = √2 atau x – 2 = -√2
  x = 2 + √2 atau x = 2 – √2

  Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan |f(x)| < 1 adalah 2 – √2 < x < 2 + √2.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Bentuk Pecahan

Pertidaksamaan nilai mutlak dengan bentuk pecahan melibatkan nilai mutlak yang berada di dalam pecahan.

• Contoh 5:
  Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan |(x – 1)/(x + 2)| > 1.
• Pembahasan:
  Pertidaksamaan |(x – 1)/(x + 2)| > 1 menyatakan bahwa jarak antara (x – 1)/(x + 2) dan 0 lebih besar dari 1. Kita dapat menyelesaikannya dengan menggunakan definisi nilai mutlak:

  |(x – 1)/(x + 2)| > 1 sama dengan (x – 1)/(x + 2) 1

  Kemudian, kita selesaikan pertidaksamaan untuk x:

  (x – 1)/(x + 2) 1
  x – 1 x + 2
  2x 2 (tidak memenuhi)
  x < -1/2

  Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan |(x – 1)/(x + 2)| > 1 adalah x < -1/2.

Aplikasi Pertidaksamaan Nilai Mutlak dalam Kehidupan Sehari-hari

Pertidaksamaan nilai mutlak memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang kehidupan, mulai dari fisika dan ekonomi hingga teknik. Dalam kehidupan sehari-hari, pertidaksamaan nilai mutlak dapat membantu kita memahami dan menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan batasan, toleransi, dan ketidakpastian.

Pertidaksamaan nilai mutlak dapat membantu kita dalam memahami dan menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan batasan, toleransi, dan ketidakpastian. Berikut adalah beberapa contoh aplikasi pertidaksamaan nilai mutlak dalam kehidupan sehari-hari:

Fisika

Pertidaksamaan nilai mutlak digunakan dalam fisika untuk menentukan batasan toleransi pada pengukuran. Misalnya, dalam eksperimen fisika, kita mungkin ingin menentukan batas toleransi untuk nilai suatu besaran fisika, seperti kecepatan atau suhu. Pertidaksamaan nilai mutlak dapat membantu kita menentukan rentang nilai yang masih dianggap valid berdasarkan batas toleransi yang telah ditentukan.

Ekonomi

Dalam ekonomi, pertidaksamaan nilai mutlak dapat digunakan untuk menganalisis risiko dan ketidakpastian. Misalnya, investor mungkin ingin menentukan batas toleransi untuk risiko investasi mereka. Pertidaksamaan nilai mutlak dapat membantu mereka menentukan rentang nilai yang masih dianggap aman berdasarkan batas toleransi yang telah ditentukan.

Teknik

Pertidaksamaan nilai mutlak digunakan dalam teknik untuk menentukan batasan toleransi pada desain dan manufaktur. Misalnya, dalam desain mesin, kita mungkin ingin menentukan batas toleransi untuk ukuran komponen mesin. Pertidaksamaan nilai mutlak dapat membantu kita menentukan rentang nilai yang masih dianggap valid berdasarkan batas toleransi yang telah ditentukan.

Soal Latihan: Contoh Soal Dan Pembahasan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Setelah mempelajari materi tentang pertidaksamaan nilai mutlak, sekarang saatnya untuk menguji pemahaman Anda dengan mengerjakan beberapa soal latihan. Soal-soal ini dirancang dengan tingkat kesulitan yang bervariasi, mulai dari yang mudah hingga yang lebih menantang. Dengan mengerjakan soal-soal ini, Anda dapat mengasah kemampuan dalam menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dan memahami konsep-konsep yang telah dipelajari.

Soal Latihan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Berikut ini adalah 5 soal latihan pertidaksamaan nilai mutlak yang dapat Anda kerjakan untuk menguji pemahaman Anda:

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 2| < 5.
2. Selesaikan pertidaksamaan |2x + 1| ≥ 3.
3. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 3| + |x + 1| < 6.
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x² – 4| ≤ 5.
5. Selesaikan pertidaksamaan |x – 1| / |x + 2| > 1.

Kunci Jawaban

Berikut ini adalah kunci jawaban untuk soal-soal latihan di atas:

1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 2| < 5 adalah -3 < x < 7.
2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |2x + 1| ≥ 3 adalah x ≤ -2 atau x ≥ 1.
3. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 3| + |x + 1| < 6 adalah -2 < x < 2.
4. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x² – 4| ≤ 5 adalah -3 ≤ x ≤ 3.
5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 1| / |x + 2| > 1 adalah x < -3 atau -2 < x < 1.

Kesalahan Umum dalam Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan salah satu topik dalam matematika yang seringkali menimbulkan kesulitan bagi siswa. Kesalahan umum dalam menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dapat terjadi karena kurangnya pemahaman tentang konsep nilai mutlak, sifat-sifat pertidaksamaan, dan cara manipulasi aljabar yang tepat. Artikel ini akan membahas beberapa kesalahan umum yang sering terjadi dalam menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dan memberikan contoh soal untuk mengilustrasikan kesalahan tersebut.

Menghilangkan Nilai Mutlak Tanpa Memperhatikan Tanda

Salah satu kesalahan umum yang sering terjadi adalah menghilangkan nilai mutlak tanpa memperhatikan tanda dari ekspresi di dalam nilai mutlak. Perlu diingat bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu positif atau nol.

Sebagai contoh, perhatikan pertidaksamaan berikut:

|x – 2| < 3

Kesalahan yang sering terjadi adalah langsung menghilangkan tanda mutlak dan menuliskan pertidaksamaan menjadi:

x – 2 < 3

Hal ini salah karena kita tidak mempertimbangkan kemungkinan bahwa x – 2 bisa bernilai negatif.

Cara yang benar untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini adalah dengan membagi pertidaksamaan menjadi dua kasus, yaitu:
* Kasus 1: x – 2 ≥ 0
* Dalam kasus ini, |x – 2| = x – 2. Pertidaksamaan menjadi:

x – 2 < 3

* Selesaikan pertidaksamaan ini, kita dapatkan x < 5.
* Kasus 2: x – 2 < 0
* Dalam kasus ini, |x – 2| = -(x – 2). Pertidaksamaan menjadi:

-(x – 2) < 3

* Selesaikan pertidaksamaan ini, kita dapatkan x > -1.

Jadi, solusi dari pertidaksamaan |x – 2| < 3 adalah -1 < x < 5.

Mengabaikan Solusi Negatif

Kesalahan lain yang sering terjadi adalah mengabaikan solusi negatif dari pertidaksamaan nilai mutlak. Hal ini terjadi ketika kita hanya mempertimbangkan solusi positif dari nilai mutlak tanpa memperhatikan solusi negatifnya.

Sebagai contoh, perhatikan pertidaksamaan berikut:

|x| > 2

Kesalahan yang sering terjadi adalah langsung menuliskan solusi sebagai x > 2. Padahal, kita juga perlu mempertimbangkan solusi negatif, yaitu x < -2.

Cara yang benar untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini adalah dengan membagi pertidaksamaan menjadi dua kasus, yaitu:
* Kasus 1: x ≥ 0
* Dalam kasus ini, |x| = x. Pertidaksamaan menjadi:

x > 2

* Kasus 2: x < 0
* Dalam kasus ini, |x| = -x. Pertidaksamaan menjadi:

-x > 2

* Selesaikan pertidaksamaan ini, kita dapatkan x 2 adalah x 2.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Kuadrat

Kesalahan umum lainnya adalah menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan mengkuadratkan kedua ruas. Hal ini tidak selalu benar karena mengkuadratkan kedua ruas dapat menghasilkan solusi tambahan yang tidak memenuhi pertidaksamaan awal.

Sebagai contoh, perhatikan pertidaksamaan berikut:

|x – 1| < 2

Kesalahan yang sering terjadi adalah mengkuadratkan kedua ruas dan menuliskan pertidaksamaan menjadi:

(x – 1)² < 4

Selesaikan pertidaksamaan ini, kita dapatkan -1 < x < 3. Namun, solusi ini tidak benar karena kita tidak mempertimbangkan kemungkinan bahwa x – 1 bisa bernilai negatif.

Cara yang benar untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini adalah dengan membagi pertidaksamaan menjadi dua kasus, yaitu:
* Kasus 1: x – 1 ≥ 0
* Dalam kasus ini, |x – 1| = x – 1. Pertidaksamaan menjadi:

x – 1 < 2

* Selesaikan pertidaksamaan ini, kita dapatkan x < 3.
* Kasus 2: x – 1 < 0
* Dalam kasus ini, |x – 1| = -(x – 1). Pertidaksamaan menjadi:

-(x – 1) < 2

* Selesaikan pertidaksamaan ini, kita dapatkan x > -1.

Jadi, solusi dari pertidaksamaan |x – 1| < 2 adalah -1 < x < 3.

Menghilangkan Tanda Mutlak dengan Operasi Aritmatika

Kesalahan umum lainnya adalah menghilangkan tanda mutlak dengan operasi aritmatika seperti penjumlahan atau pengurangan. Hal ini tidak selalu benar karena tanda mutlak tidak dapat dihilangkan begitu saja dengan operasi aritmatika.

Sebagai contoh, perhatikan pertidaksamaan berikut:

|x + 2| > 3

Kesalahan yang sering terjadi adalah langsung menambahkan -2 ke kedua ruas dan menuliskan pertidaksamaan menjadi:

|x| > 1

Hal ini salah karena kita tidak mempertimbangkan kemungkinan bahwa x + 2 bisa bernilai negatif.

Cara yang benar untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini adalah dengan membagi pertidaksamaan menjadi dua kasus, yaitu:
* Kasus 1: x + 2 ≥ 0
* Dalam kasus ini, |x + 2| = x + 2. Pertidaksamaan menjadi:

x + 2 > 3

* Selesaikan pertidaksamaan ini, kita dapatkan x > 1.
* Kasus 2: x + 2 < 0
* Dalam kasus ini, |x + 2| = -(x + 2). Pertidaksamaan menjadi:

-(x + 2) > 3

* Selesaikan pertidaksamaan ini, kita dapatkan x 3 adalah x 1.

Tidak Memeriksa Solusi

Terakhir, kesalahan umum yang sering terjadi adalah tidak memeriksa solusi yang diperoleh. Setelah menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak, penting untuk memeriksa apakah solusi yang diperoleh benar-benar memenuhi pertidaksamaan awal.

Sebagai contoh, perhatikan pertidaksamaan berikut:

|x – 3| ≤ 1

Selesaikan pertidaksamaan ini, kita dapatkan 2 ≤ x ≤ 4. Namun, kita perlu memeriksa apakah solusi ini benar-benar memenuhi pertidaksamaan awal.

* Untuk x = 2, |x – 3| = 1, sehingga x = 2 memenuhi pertidaksamaan.
* Untuk x = 4, |x – 3| = 1, sehingga x = 4 memenuhi pertidaksamaan.
* Untuk 2 < x < 4, |x – 3| < 1, sehingga semua nilai x dalam rentang ini memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, solusi dari pertidaksamaan |x – 3| ≤ 1 adalah 2 ≤ x ≤ 4.

Tips dan Trik Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan salah satu materi yang cukup menantang dalam matematika. Namun, dengan memahami konsep dasar dan menguasai beberapa tips dan trik, menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak bisa menjadi lebih mudah dan menyenangkan. Artikel ini akan membahas beberapa tips dan trik yang bermanfaat untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan lebih mudah dan cepat, disertai dengan contoh soal yang relevan.

Memahami Konsep Dasar Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan. Dengan kata lain, nilai mutlak selalu bernilai positif atau nol. Secara matematis, nilai mutlak dari x dapat ditulis sebagai |x|.

• Jika x ≥ 0, maka |x| = x.
• Jika x < 0, maka |x| = -x.

Menerapkan Sifat Nilai Mutlak

Ada beberapa sifat nilai mutlak yang dapat membantu kita dalam menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak. Sifat-sifat tersebut antara lain:

• |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0.
• |x| > 0 jika dan hanya jika x ≠ 0.
• |x| = |y| jika dan hanya jika x = y atau x = -y.
• |x + y| ≤ |x| + |y| (Ketidaksamaan Segitiga).

Memecahkan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak, kita perlu memperhatikan tanda pertidaksamaan dan nilai mutlak yang terlibat. Berikut beberapa langkah umum yang dapat diterapkan:

1. Tentukan kasus-kasus yang mungkin: Perhatikan tanda pertidaksamaan dan nilai mutlak yang terlibat. Misalnya, jika pertidaksamaan adalah |x| > a, maka kita perlu mempertimbangkan dua kasus: x > a atau x < -a.
2. Selesaikan pertidaksamaan untuk setiap kasus: Selesaikan pertidaksamaan untuk setiap kasus yang telah ditentukan.
3. Gabungkan solusi dari setiap kasus: Gabungkan solusi dari setiap kasus untuk mendapatkan solusi lengkap pertidaksamaan.

Contoh Soal dan Pembahasan, Contoh soal dan pembahasan pertidaksamaan nilai mutlak

Berikut contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak dan pembahasannya untuk memperjelas pemahaman:

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |2x – 1| < 3.

Pembahasan:

1. Tentukan kasus-kasus yang mungkin: Karena |2x – 1| < 3, kita perlu mempertimbangkan dua kasus: 2x – 1 -3.
2. Selesaikan pertidaksamaan untuk setiap kasus:
   • Kasus 1: 2x – 1 2x x < 2.
   • Kasus 2: 2x – 1 > -3 => 2x > -2 => x > -1.
3. Gabungkan solusi dari setiap kasus: Solusi lengkap dari pertidaksamaan adalah -1 < x < 2.

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |2x – 1| < 3 adalah x | -1 < x < 2.

Contoh 2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x + 2| ≥ 4.