Rotasi, salah satu transformasi geometri yang menarik, merupakan proses memutar suatu titik atau bangun geometri terhadap titik tetap yang disebut pusat rotasi. Bayangkan seperti jarum jam yang berputar, setiap titik pada jarum mengalami rotasi terhadap titik pusatnya. Dalam matematika, rotasi dipelajari dengan lebih mendalam, melibatkan perhitungan sudut rotasi dan koordinat titik yang dirotasi. Nah, contoh soal rotasi matematika kelas 11 ini akan membantu kamu menguji pemahaman tentang konsep rotasi dan penerapannya dalam berbagai situasi.
Materi ini akan membahas berbagai aspek rotasi, mulai dari definisi, unsur-unsur rotasi, rumus rotasi, penerapannya pada bangun datar dan ruang, hingga contoh soal yang menarik untuk menguji pemahamanmu. Siap untuk menjelajahi dunia rotasi dan mengasah kemampuanmu dalam menyelesaikan soal-soal yang menantang?
Pengertian Rotasi
Rotasi merupakan salah satu transformasi geometri yang mengubah posisi suatu objek dengan memutarnya terhadap titik tetap yang disebut pusat rotasi. Bayangkan sebuah roda yang berputar pada porosnya. Gerakan roda tersebut merupakan contoh rotasi, dengan poros sebagai pusat rotasi.
Contoh Rotasi dalam Kehidupan Sehari-hari
Rotasi banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, seperti:
- Gerakan jarum jam pada arloji.
- Gerakan kincir angin yang berputar.
- Gerakan bumi yang berputar pada porosnya, menghasilkan siang dan malam.
- Gerakan roda Ferris yang berputar.
- Gerakan pintu yang berputar pada engselnya.
Perbandingan Rotasi dengan Transformasi Geometri Lainnya
Rotasi berbeda dengan transformasi geometri lainnya seperti translasi dan refleksi. Berikut adalah tabel perbandingan ketiga transformasi tersebut:
| Transformasi | Pengertian | Contoh |
|---|---|---|
| Rotasi | Memutar objek terhadap titik tetap (pusat rotasi). | Gerakan jarum jam pada arloji. |
| Translasi | Memindahkan objek tanpa mengubah bentuk atau ukurannya. | Geser kursi ke depan. |
| Refleksi | Mencerminkan objek terhadap garis lurus (sumbu refleksi). | Bayangan di cermin. |
Unsur-Unsur Rotasi
Rotasi dalam matematika adalah transformasi geometri yang memutar suatu titik atau objek di sekitar titik tetap yang disebut pusat rotasi. Untuk memahami rotasi secara lebih mendalam, kita perlu mengenal unsur-unsur yang menentukannya. Unsur-unsur tersebut menentukan hasil rotasi, yaitu posisi akhir titik atau objek setelah diputar.
Pusat Rotasi
Pusat rotasi adalah titik tetap di mana objek diputar. Bayangkan sebuah jarum jam yang berputar di sekitar titik tengahnya. Titik tengah jarum jam ini adalah pusat rotasi. Perubahan pusat rotasi akan mengubah hasil rotasi. Jika kita memutar objek dengan pusat rotasi yang berbeda, maka posisi akhir objek juga akan berbeda.
Sudut Rotasi
Sudut rotasi adalah besarnya sudut yang diputar oleh objek. Sudut rotasi diukur dalam derajat atau radian. Sudut rotasi menentukan seberapa jauh objek diputar. Jika sudut rotasi positif, maka objek diputar berlawanan arah jarum jam. Sebaliknya, jika sudut rotasi negatif, maka objek diputar searah jarum jam.
Arah Rotasi
Arah rotasi menentukan apakah objek diputar searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam. Arah rotasi umumnya dinyatakan dengan tanda positif (+) untuk berlawanan arah jarum jam dan tanda negatif (-) untuk searah jarum jam.
Pengaruh Perubahan Pusat Rotasi
Perubahan pusat rotasi akan mengubah hasil rotasi. Jika pusat rotasi diubah, maka posisi akhir objek setelah diputar juga akan berubah. Bayangkan sebuah segitiga yang diputar dengan pusat rotasi di salah satu titik sudutnya. Jika pusat rotasi diubah menjadi titik tengah sisi segitiga, maka posisi akhir segitiga setelah diputar akan berbeda.
Pengaruh Perubahan Sudut Rotasi
Perubahan sudut rotasi juga akan mengubah hasil rotasi. Jika sudut rotasi diubah, maka posisi akhir objek setelah diputar juga akan berubah. Sebagai contoh, jika sebuah persegi diputar dengan sudut rotasi 90 derajat, maka posisi akhir persegi akan berbeda jika diputar dengan sudut rotasi 180 derajat.
| Sudut Rotasi | Hasil Rotasi |
|---|---|
| 0 derajat | Tidak ada perubahan |
| 90 derajat | Berputar 1/4 putaran |
| 180 derajat | Berputar 1/2 putaran |
| 270 derajat | Berputar 3/4 putaran |
| 360 derajat | Kembali ke posisi awal |
Rumus Rotasi: Contoh Soal Rotasi Matematika Kelas 11
Rotasi adalah transformasi geometri yang memindahkan titik-titik pada bidang kartesius dengan cara memutarnya terhadap titik tetap yang disebut pusat rotasi. Rotasi dapat dilakukan dengan sudut tertentu, baik searah jarum jam maupun berlawanan arah jarum jam. Rumus rotasi digunakan untuk menentukan posisi titik setelah dirotasi.
Rumus Umum Rotasi
Rumus umum rotasi pada bidang kartesius dapat dituliskan sebagai berikut:
Misalkan titik (x, y) dirotasi dengan sudut θ terhadap titik pusat (a, b), maka bayangannya (x’, y’) dapat dihitung dengan rumus:
x’ = (x – a) cos θ – (y – b) sin θ + a
y’ = (x – a) sin θ + (y – b) cos θ + b
Rumus ini berlaku untuk rotasi dengan sudut θ positif (berlawanan arah jarum jam) dan sudut θ negatif (searah jarum jam).
Menerapkan Rumus Rotasi
Untuk menentukan bayangan titik setelah dirotasi, Anda dapat mengikuti langkah-langkah berikut:
- Tentukan titik awal (x, y) dan pusat rotasi (a, b).
- Tentukan sudut rotasi θ.
- Substitusikan nilai x, y, a, b, dan θ ke dalam rumus rotasi.
- Hitung nilai x’ dan y’ untuk mendapatkan koordinat bayangan titik.
Contoh Soal Rotasi
Misalkan titik A(2, 1) dirotasi dengan sudut 90° searah jarum jam terhadap titik pusat O(0, 0). Tentukan koordinat bayangan titik A.
Penyelesaian:
1. Titik awal (x, y) = (2, 1) dan pusat rotasi (a, b) = (0, 0).
2. Sudut rotasi θ = -90° (searah jarum jam).
3. Substitusikan nilai x, y, a, b, dan θ ke dalam rumus rotasi:
x’ = (2 – 0) cos (-90°) – (1 – 0) sin (-90°) + 0 = 1
y’ = (2 – 0) sin (-90°) + (1 – 0) cos (-90°) + 0 = -2
4. Jadi, koordinat bayangan titik A adalah A'(1, -2).
Rotasi pada Bangun Datar
Rotasi merupakan salah satu transformasi geometri yang memindahkan titik-titik suatu bangun dengan cara memutarnya terhadap titik tertentu yang disebut pusat rotasi dengan sudut tertentu.
Cara Menentukan Bayangan Bangun Datar Setelah Dirotasi
Untuk menentukan bayangan bangun datar setelah dirotasi, kita perlu memperhatikan tiga hal utama: pusat rotasi, sudut rotasi, dan arah rotasi.
- Pusat Rotasi: Titik tetap yang menjadi titik acuan untuk melakukan rotasi. Bayangkan seperti jarum jam, pusat rotasi adalah titik di mana jarum jam terpasang.
- Sudut Rotasi: Besarnya sudut putaran yang dilakukan. Sudut rotasi dapat bernilai positif (rotasi berlawanan arah jarum jam) atau negatif (rotasi searah jarum jam).
- Arah Rotasi: Arah putaran yang dilakukan, apakah berlawanan arah jarum jam (positif) atau searah jarum jam (negatif).
Untuk menentukan bayangan titik setelah dirotasi, kita dapat menggunakan rumus rotasi. Rumus rotasi akan membantu kita menghitung koordinat bayangan titik setelah dirotasi.
Hasil Rotasi Berbagai Jenis Bangun Datar
| Bangun Datar | Sudut Rotasi | Hasil Rotasi |
|---|---|---|
| Segitiga | 90° | Segitiga dengan posisi yang berbeda, dengan setiap sisi sejajar dengan sisi aslinya. |
| Persegi | 90° | Persegi dengan posisi yang berbeda, dengan setiap sisi sejajar dengan sisi aslinya. |
| Lingkaran | Sembarang | Lingkaran dengan posisi yang sama, tetapi mungkin dengan titik pusat yang berbeda. |
Perhatikan bahwa hasil rotasi bangun datar dapat berupa bangun yang sama, tetapi dengan posisi yang berbeda. Ini karena rotasi hanya mengubah posisi bangun, bukan bentuknya.
Contoh Soal Rotasi Bangun Datar, Contoh soal rotasi matematika kelas 11
Sebuah segitiga ABC dengan titik A (1, 2), B (3, 1), dan C (2, 4) dirotasi 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi (0, 0). Tentukan koordinat bayangan segitiga ABC.
Langkah-langkah menyelesaikan soal rotasi:
- Tentukan pusat rotasi. Dalam kasus ini, pusat rotasi adalah (0, 0).
- Tentukan sudut rotasi. Dalam kasus ini, sudut rotasi adalah 90° berlawanan arah jarum jam.
- Tentukan koordinat bayangan setiap titik. Untuk menentukan koordinat bayangan, kita dapat menggunakan rumus rotasi. Rumus rotasi untuk sudut 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi (0, 0) adalah:
(x’, y’) = (-y, x)
- Hitung koordinat bayangan setiap titik.
- Titik A (1, 2) dirotasi menjadi A’ (-2, 1).
- Titik B (3, 1) dirotasi menjadi B’ (-1, 3).
- Titik C (2, 4) dirotasi menjadi C’ (-4, 2).
- Gambar bayangan segitiga. Gambar segitiga ABC dan bayangannya A’B’C’ pada bidang koordinat. Hal ini akan membantu kita memahami hasil rotasi.
Jadi, bayangan segitiga ABC setelah dirotasi 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi (0, 0) adalah segitiga A’B’C’ dengan titik A’ (-2, 1), B’ (-1, 3), dan C’ (-4, 2).
Rotasi pada Ruang
Rotasi pada ruang merupakan transformasi geometri yang memutar bangun ruang terhadap suatu titik tetap (pusat rotasi) dengan sudut tertentu. Rotasi ini akan menghasilkan bayangan dari bangun ruang yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dengan bangun ruang aslinya. Dalam mempelajari rotasi pada ruang, kita perlu memahami bagaimana menentukan bayangan bangun ruang setelah dirotasi dan bagaimana mengidentifikasi perubahan posisi bangun ruang tersebut.
Menentukan Bayangan Bangun Ruang Setelah Rotasi
Untuk menentukan bayangan bangun ruang setelah dirotasi, kita perlu memahami beberapa hal:
- Titik pusat rotasi: Titik tetap yang menjadi pusat putaran bangun ruang. Bayangan dari titik pusat rotasi akan selalu sama dengan titik pusat rotasi itu sendiri.
- Sumbu rotasi: Garis lurus yang melewati titik pusat rotasi dan tegak lurus terhadap bidang putaran. Bayangan dari titik-titik yang berada pada sumbu rotasi akan tetap berada pada sumbu rotasi.
- Sudut rotasi: Besar sudut putaran bangun ruang terhadap sumbu rotasi. Sudut rotasi dapat dinyatakan dalam derajat atau radian.
Untuk menentukan bayangan bangun ruang setelah dirotasi, kita dapat menggunakan beberapa metode, seperti:
- Metode matriks: Metode ini menggunakan matriks rotasi untuk menentukan koordinat bayangan setiap titik pada bangun ruang. Matriks rotasi akan bergantung pada sumbu rotasi dan sudut rotasi.
- Metode geometri: Metode ini menggunakan konsep geometri untuk menentukan bayangan bangun ruang. Kita dapat menggambar bangun ruang aslinya dan bayangannya pada bidang datar, kemudian menentukan koordinat bayangan setiap titik dengan menggunakan aturan rotasi.
Contoh Rotasi Kubus dan Balok
Berikut adalah tabel yang menunjukkan hasil rotasi kubus dan balok dengan sudut rotasi tertentu. Dalam tabel ini, kita asumsikan bahwa titik pusat rotasi adalah titik pusat bangun ruang dan sumbu rotasi adalah salah satu sumbu koordinat.
Contoh soal rotasi matematika kelas 11 biasanya melibatkan rotasi titik atau bangun geometri. Nah, konsep rotasi ini bisa dikaitkan dengan peluang dalam kehidupan sehari-hari, lho. Misalnya, jika kamu melempar dadu, peluang mendapatkan sisi tertentu bisa dihitung dengan menggunakan konsep rotasi.
Ingat, dadu memiliki 6 sisi yang bisa diputar, dan setiap sisi memiliki peluang yang sama untuk muncul. Untuk contoh soal peluang dalam kehidupan sehari-hari lainnya, kamu bisa cek di situs ini. Nah, setelah memahami peluang, kamu bisa kembali ke contoh soal rotasi matematika kelas 11 dan mengaplikasikan konsep peluang dalam menyelesaikan soal-soal yang lebih kompleks.
| Bangun Ruang | Sudut Rotasi | Hasil Rotasi |
|---|---|---|
| Kubus | 90° terhadap sumbu x | Kubus berputar 90° searah jarum jam terhadap sumbu x. Sisi depan kubus menjadi sisi kanan, sisi kanan menjadi sisi belakang, sisi belakang menjadi sisi kiri, dan sisi kiri menjadi sisi depan. |
| Balok | 180° terhadap sumbu y | Balok berputar 180° terhadap sumbu y. Sisi depan balok menjadi sisi belakang, sisi belakang menjadi sisi depan, sisi atas menjadi sisi bawah, dan sisi bawah menjadi sisi atas. |
Contoh Soal Rotasi Bangun Ruang
Sebuah kubus dengan panjang rusuk 4 cm dirotasi 90° terhadap sumbu y. Titik A(2, 1, 3) terletak pada kubus tersebut. Tentukan koordinat titik A’ yang merupakan bayangan titik A setelah dirotasi.
Penyelesaian:
- Tentukan matriks rotasi untuk rotasi 90° terhadap sumbu y. Matriks rotasi untuk rotasi 90° terhadap sumbu y adalah:
- Tentukan koordinat titik A dalam bentuk matriks kolom:
- Kalikan matriks rotasi dengan matriks kolom koordinat titik A:
- Hasil perkalian matriks menunjukkan koordinat titik A’ adalah (3, 1, -2).
[ 0 0 1 ]
[ 0 1 0 ]
[ -1 0 0 ]
[ 2 ]
[ 1 ]
[ 3 ]
[ 0 0 1 ] [ 2 ] = [ 3 ]
[ 0 1 0 ] [ 1 ] = [ 1 ]
[ -1 0 0 ] [ 3 ] = [ -2 ]
Jadi, koordinat titik A’ yang merupakan bayangan titik A setelah dirotasi 90° terhadap sumbu y adalah (3, 1, -2).
Penerapan Rotasi dalam Kehidupan Nyata
Rotasi, sebuah konsep dasar dalam geometri, ternyata memiliki peran penting dalam berbagai aspek kehidupan kita. Gerakan berputar ini bukan hanya sebatas materi pelajaran matematika, tetapi juga menjadi fondasi dari banyak teknologi, seni, dan fenomena alam yang kita temui sehari-hari.
Contoh Penerapan Rotasi dalam Kehidupan Sehari-hari
Rotasi hadir dalam berbagai bentuk di sekitar kita. Mulai dari aktivitas sederhana seperti memutar gagang pintu hingga proses kompleks seperti perputaran bumi, rotasi memainkan peran penting dalam kehidupan manusia.
- Memutar Gagang Pintu: Gerakan memutar gagang pintu untuk membuka atau menutup merupakan contoh sederhana dari rotasi.
- Berputar di Atas Kursi Putar: Saat kita duduk di atas kursi putar dan memutarnya, kita sedang melakukan rotasi.
- Menunggangi Kincir Ria: Kincir ria yang berputar dengan cepat merupakan contoh rotasi yang lebih kompleks.
- Perputaran Bumi: Bumi berputar pada porosnya, menghasilkan siang dan malam. Perputaran ini merupakan contoh rotasi yang sangat penting bagi kehidupan di bumi.
- Gerakan Jarum Jam: Gerakan jarum jam pada jam analog merupakan contoh rotasi yang terus menerus.
Penerapan Rotasi dalam Berbagai Bidang
Penerapan rotasi tidak hanya terbatas pada contoh-contoh sederhana di atas. Rotasi juga memiliki peran penting dalam berbagai bidang, seperti teknik, seni, dan ilmu pengetahuan.
| Bidang | Contoh Penerapan Rotasi |
|---|---|
| Teknik |
|
| Seni |
|
| Ilmu Pengetahuan |
|
Contoh Soal Penerapan Rotasi dalam Kehidupan Nyata
Sebuah kincir ria memiliki diameter 10 meter dan berputar dengan kecepatan 1 putaran per 20 detik. Hitunglah kecepatan linear sebuah kursi yang terletak di ujung kincir ria.
Kecepatan linear = Kecepatan sudut x Jari-jari
Kecepatan sudut = 1 putaran / 20 detik = π radian / 10 detik
Jari-jari = Diameter / 2 = 10 meter / 2 = 5 meter
Kecepatan linear = (π radian / 10 detik) x 5 meter = π/2 meter/detik
Jadi, kecepatan linear sebuah kursi yang terletak di ujung kincir ria adalah π/2 meter/detik.
Soal Latihan Rotasi
Rotasi adalah transformasi geometri yang memutar suatu bangun geometri terhadap suatu titik tetap yang disebut pusat rotasi. Rotasi didefinisikan oleh sudut rotasi dan arah rotasi. Sudut rotasi menunjukkan besarnya putaran, sedangkan arah rotasi menunjukkan arah putaran, yaitu searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam.
Dalam mempelajari rotasi, penting untuk memahami konsep sudut rotasi, arah rotasi, dan pusat rotasi. Selain itu, kita juga perlu memahami bagaimana rotasi memengaruhi koordinat titik-titik pada bangun geometri. Untuk menguji pemahaman Anda tentang rotasi, berikut beberapa soal latihan yang dapat Anda kerjakan.
Soal Latihan Rotasi
Berikut adalah beberapa soal latihan rotasi dengan tingkat kesulitan yang berbeda. Soal latihan ini disusun dalam format pilihan ganda dan uraian.
-
Sebuah titik A(2, 3) dirotasikan 90° searah jarum jam dengan pusat rotasi O(0, 0). Koordinat bayangan titik A adalah…
- (-3, 2)
- (3, -2)
- (-2, -3)
- (2, -3)
-
Sebuah segitiga ABC dengan koordinat A(1, 2), B(3, 1), dan C(2, 4) dirotasikan 180° dengan pusat rotasi O(0, 0). Tentukan koordinat bayangan segitiga ABC!
-
Sebuah persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 3), dan D(1, 3) dirotasikan 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi O(0, 0). Tentukan koordinat bayangan persegi panjang ABCD!
-
Sebuah lingkaran dengan pusat O(2, 3) dan jari-jari 5 cm dirotasikan 90° searah jarum jam dengan pusat rotasi O(0, 0). Tentukan persamaan lingkaran setelah dirotasikan!
-
Sebuah titik P(x, y) dirotasikan 𝜃° dengan pusat rotasi O(0, 0). Tunjukkan bahwa koordinat bayangan titik P adalah (x cos 𝜃 – y sin 𝜃, x sin 𝜃 + y cos 𝜃)!
Kunci Jawaban
-
Jawaban: (b) (3, -2)
Penyelasaian:
Rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat rotasi O(0, 0) akan mengubah koordinat titik (x, y) menjadi (-y, x). Jadi, koordinat bayangan titik A(2, 3) adalah (-3, 2).
-
Jawaban: A'(-1, -2), B'(-3, -1), C'(-2, -4)
Penyelasaian:
Rotasi 180° dengan pusat rotasi O(0, 0) akan mengubah koordinat titik (x, y) menjadi (-x, -y). Jadi, koordinat bayangan segitiga ABC adalah A'(-1, -2), B'(-3, -1), dan C'(-2, -4).
-
Jawaban: A'(1, -1), B'(1, -4), C'(3, -4), D'(3, -1)
Penyelasaian:
Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi O(0, 0) akan mengubah koordinat titik (x, y) menjadi (-y, x). Jadi, koordinat bayangan persegi panjang ABCD adalah A'(1, -1), B'(1, -4), C'(3, -4), dan D'(3, -1).
-
Jawaban: (x – 2)² + (y – 3)² = 25
Penyelasaian:
Rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat rotasi O(0, 0) akan mengubah koordinat titik (x, y) menjadi (-y, x). Jadi, pusat lingkaran setelah dirotasikan adalah (3, -2). Persamaan lingkaran setelah dirotasikan adalah (x – 3)² + (y + 2)² = 25.
-
Jawaban:
Rotasi 𝜃° dengan pusat rotasi O(0, 0) akan mengubah koordinat titik (x, y) menjadi (x cos 𝜃 – y sin 𝜃, x sin 𝜃 + y cos 𝜃). Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan rumus transformasi rotasi.
Penutupan
Dengan memahami konsep rotasi dan mengasah kemampuan menyelesaikan soal-soal, kamu akan semakin mahir dalam menguasai transformasi geometri. Rotasi memiliki peran penting dalam berbagai bidang, seperti seni, arsitektur, dan ilmu pengetahuan. Melalui contoh soal yang disajikan, kamu dapat melihat bagaimana rotasi diterapkan dalam berbagai konteks kehidupan nyata.
