Contoh soal barisan aritmatika kelas 10 – Pernahkah kamu melihat deretan angka yang memiliki pola tertentu? Misalnya, deretan 2, 5, 8, 11, … Deretan angka ini memiliki selisih yang sama antara setiap angka, yaitu 3. Nah, deretan angka seperti ini disebut barisan aritmatika. Dalam pelajaran matematika kelas 10, kamu akan mempelajari konsep barisan aritmatika dan cara menghitung suku-suku dalam barisan tersebut.
Barisan aritmatika adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari. Mempelajari barisan aritmatika akan membantumu memahami pola dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pola tertentu, seperti menghitung jumlah uang tabungan yang kamu kumpulkan setiap bulan, menghitung jumlah kursi di sebuah auditorium, atau menghitung jarak yang ditempuh oleh sebuah mobil yang bergerak dengan kecepatan konstan.
Pengertian Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah salah satu jenis barisan bilangan yang memiliki pola penjumlahan yang konsisten. Dalam barisan aritmatika, setiap suku diperoleh dengan menambahkan suatu nilai tetap, yang disebut beda, ke suku sebelumnya. Sederhananya, barisan aritmatika adalah barisan yang selisih antara dua suku yang berdekatan selalu sama.
Contoh Barisan Aritmatika, Contoh soal barisan aritmatika kelas 10
Perhatikan barisan bilangan berikut:
- 2, 5, 8, 11, 14, …
Barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmatika karena selisih antara dua suku yang berdekatan selalu sama, yaitu 3. Kita dapat melihat pola ini:
- 5 – 2 = 3
- 8 – 5 = 3
- 11 – 8 = 3
- 14 – 11 = 3
Jadi, setiap suku pada barisan ini diperoleh dengan menambahkan 3 ke suku sebelumnya.
Hubungan Suku Pertama, Beda, dan Suku ke-n
Dalam barisan aritmatika, terdapat hubungan erat antara suku pertama (a), beda (b), dan suku ke-n (Un). Hubungan ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
| Suku ke-n (Un) | Rumus |
|---|---|
| Suku pertama (a) | a |
| Suku kedua (U2) | a + b |
| Suku ketiga (U3) | a + 2b |
| Suku keempat (U4) | a + 3b |
| … | … |
| Suku ke-n (Un) | a + (n – 1)b |
Rumus ini menunjukkan bahwa suku ke-n dalam barisan aritmatika dapat dihitung dengan menambahkan (n – 1) kali beda (b) ke suku pertama (a).
Rumus Umum Barisan Aritmatika
Pada materi sebelumnya, kita telah mempelajari tentang pengertian barisan aritmatika dan ciri-cirinya. Nah, untuk memudahkan kita dalam menghitung suku-suku selanjutnya dalam barisan aritmatika, kita perlu memahami rumus umumnya.
Rumus Umum Barisan Aritmatika
Rumus umum barisan aritmatika digunakan untuk mencari suku ke-n (Un) dari barisan tersebut. Rumusnya adalah:
Un = a + (n – 1)b
Di mana:
- Un adalah suku ke-n dari barisan aritmatika.
- a adalah suku pertama dari barisan aritmatika.
- b adalah beda dari barisan aritmatika.
- n adalah urutan suku yang ingin dicari.
Contoh Soal
Misalkan kita ingin mencari suku ke-10 dari barisan aritmatika dengan a = 2 dan b = 3. Dengan menggunakan rumus umum, kita dapat menghitungnya sebagai berikut:
- Un = a + (n – 1)b
- U10 = 2 + (10 – 1)3
- U10 = 2 + 27
- U10 = 29
Jadi, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah 29.
Mencari Suku Tertentu: Contoh Soal Barisan Aritmatika Kelas 10
Dalam barisan aritmetika, kita bisa menemukan suku ke-n dengan menggunakan rumus yang sederhana. Rumus ini memungkinkan kita untuk mengetahui nilai suku tertentu tanpa harus menghitung satu per satu dari suku pertama.
Rumus Umum
Rumus umum untuk mencari suku ke-n (Un) dalam barisan aritmetika adalah:
Un = a + (n – 1)b
Keterangan:
- Un adalah suku ke-n
- a adalah suku pertama
- b adalah beda
- n adalah nomor urut suku
Contoh Soal 1
Contoh soal mencari suku ke-5 dari barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, …
Diketahui:
- a = 2 (suku pertama)
- b = 3 (beda)
- n = 5 (nomor urut suku)
Maka, suku ke-5 (U5) adalah:
U5 = 2 + (5 – 1)3 = 2 + 12 = 14
Jadi, suku ke-5 dari barisan aritmetika tersebut adalah 14.
Contoh Soal 2
Contoh soal mencari suku ke-n dari barisan aritmetika dengan rumus Un = 3n – 1.
Diketahui:
- Rumus Un = 3n – 1
Untuk mencari suku ke-n, kita hanya perlu mengganti nilai n dengan nomor urut suku yang ingin kita cari.
Contoh:
- Suku ke-3 (U3) = 3(3) – 1 = 9 – 1 = 8
- Suku ke-7 (U7) = 3(7) – 1 = 21 – 1 = 20
Mencari Beda Barisan
Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku yang berdekatan. Selisih ini disebut sebagai beda (b) dari barisan aritmatika. Untuk menentukan beda dari barisan aritmatika, kita perlu mengetahui suku pertama (a) dan suku ke-n (Un) dari barisan tersebut.
Mencari Beda dari Barisan Aritmatika
Untuk mencari beda dari barisan aritmatika, kita dapat menggunakan rumus berikut:
b = (Un – a) / (n – 1)
Dimana:
– b adalah beda dari barisan aritmatika
– Un adalah suku ke-n dari barisan aritmatika
– a adalah suku pertama dari barisan aritmatika
– n adalah banyaknya suku dalam barisan aritmatika
Contoh Soal
Misalnya, kita memiliki barisan aritmatika dengan suku pertama 3 dan suku ke-5 adalah 15. Kita ingin mencari beda dari barisan ini.
Dengan menggunakan rumus di atas, kita dapat menghitung beda dari barisan ini sebagai berikut:
b = (Un – a) / (n – 1)
b = (15 – 3) / (5 – 1)
b = 12 / 4
b = 3
Jadi, beda dari barisan aritmatika ini adalah 3.
Mencari Beda Jika Diketahui Dua Suku Berdekatan
Jika kita hanya mengetahui dua suku yang berdekatan dalam barisan aritmatika, kita dapat langsung menghitung beda dari barisan tersebut dengan mengurangi suku yang lebih besar dengan suku yang lebih kecil.
Misalnya, jika kita mengetahui bahwa suku kedua dari barisan aritmatika adalah 7 dan suku ketiga adalah 10, maka beda dari barisan ini adalah:
b = 10 – 7 = 3
Jadi, beda dari barisan aritmatika ini adalah 3.
Mencari Suku Pertama
Dalam barisan aritmetika, suku pertama (a) adalah angka awal yang menjadi dasar pembentukan barisan tersebut. Untuk mencari suku pertama, kita perlu mengetahui beda (b) dan suku ke-n (Un) dari barisan tersebut. Suku pertama merupakan titik awal dalam barisan aritmetika, dan menentukan nilai setiap suku berikutnya dengan penambahan beda secara berulang.
Mencari Suku Pertama dengan Diketahui Beda dan Suku ke-n
Untuk mencari suku pertama dari barisan aritmetika, kita dapat menggunakan rumus umum barisan aritmetika:
Un = a + (n – 1)b
Dimana:
- Un adalah suku ke-n
- a adalah suku pertama
- b adalah beda
- n adalah nomor suku
Dengan rumus ini, kita dapat mencari suku pertama (a) dengan mengisolasi variabel a:
a = Un – (n – 1)b
Contoh Soal
Misalnya, kita ingin mencari suku pertama dari barisan aritmetika dengan beda 4 dan suku ke-7 adalah 23. Dengan menggunakan rumus yang telah kita bahas, kita dapat menghitung suku pertama:
a = Un – (n – 1)b
a = 23 – (7 – 1)4
a = 23 – 24
a = -1
Jadi, suku pertama dari barisan aritmetika ini adalah -1.
Cara Mencari Suku Pertama
Berikut adalah langkah-langkah untuk mencari suku pertama dari barisan aritmetika jika diketahui suku ke-n dan beda:
- Tentukan nilai Un (suku ke-n) dan b (beda) dari barisan aritmetika.
- Tentukan nilai n (nomor suku) yang diketahui.
- Substitusikan nilai Un, b, dan n ke dalam rumus a = Un – (n – 1)b.
- Hitung nilai a (suku pertama) dengan melakukan operasi matematika yang diperlukan.
Rumus Jumlah n Suku Pertama
Setelah mempelajari cara mencari suku ke-n dari barisan aritmatika, kita akan mempelajari bagaimana menghitung jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika. Rumus ini sangat berguna untuk menghitung total nilai dari sejumlah suku pertama dalam barisan tersebut.
Rumus Jumlah n Suku Pertama
Rumus untuk mencari jumlah n suku pertama (Sn) dari barisan aritmetika adalah:
Sn = (n/2) * (2a + (n-1)b)
Dimana:
- Sn adalah jumlah n suku pertama
- a adalah suku pertama
- b adalah beda
- n adalah banyaknya suku
Contoh Soal
Misalkan kita ingin mencari jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmetika dengan a = 2 dan b = 3. Kita dapat menggunakan rumus Sn untuk menyelesaikannya.
Langkah pertama adalah mengidentifikasi nilai-nilai yang diketahui:
- a = 2
- b = 3
- n = 10
Selanjutnya, kita substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus Sn:
Sn = (10/2) * (2(2) + (10-1)3)
Kemudian, kita selesaikan persamaan tersebut:
Sn = 5 * (4 + 27)
Sn = 5 * 31
Sn = 155
Jadi, jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmetika dengan a = 2 dan b = 3 adalah 155.
Contoh soal barisan aritmatika kelas 10 bisa membantu kamu memahami konsep dan rumus barisan aritmatika. Soal-soal ini biasanya melibatkan penentuan suku ke-n, jumlah n suku pertama, atau bahkan mencari beda dari barisan. Nah, selain latihan soal matematika, kamu juga bisa melatih kemampuan berbahasa Inggris dengan contoh soal tentang “asking and giving opinion” seperti yang ada di situs ini.
Dengan latihan soal yang beragam, kamu bisa meningkatkan kemampuan di berbagai bidang, termasuk matematika dan bahasa Inggris.
Mencari Jumlah Suku Tertentu
Setelah mempelajari cara mencari suku ke-n dari barisan aritmatika, sekarang kita akan membahas bagaimana mencari jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika. Mencari jumlah suku-suku tertentu dalam barisan aritmatika sangat berguna dalam berbagai aplikasi, seperti menghitung total pendapatan dalam jangka waktu tertentu atau menghitung total jarak yang ditempuh dalam suatu perjalanan.
Rumus Jumlah Suku Pertama Barisan Aritmatika
Rumus untuk mencari jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika adalah:
Sn = (n/2) * (a + Un)
di mana:
- Sn adalah jumlah n suku pertama
- n adalah banyaknya suku
- a adalah suku pertama
- Un adalah suku ke-n
Rumus ini didasarkan pada fakta bahwa jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika sama dengan setengah dari jumlah suku pertama dan suku terakhir, dikalikan dengan banyaknya suku.
Contoh Soal 1
Carilah jumlah 5 suku pertama dari barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, …
Diketahui:
- a = 2 (suku pertama)
- b = 3 (beda)
- n = 5 (banyaknya suku)
Pertama, kita cari suku ke-5 (Un) menggunakan rumus Un = a + (n-1)b:
Un = 2 + (5-1)3 = 2 + 12 = 14
Kemudian, kita masukkan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus Sn:
Sn = (5/2) * (2 + 14) = (5/2) * 16 = 40
Jadi, jumlah 5 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut adalah 40.
Contoh Soal 2
Carilah jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika dengan rumus Un = 3n – 1.
Diketahui:
- Un = 3n – 1
Untuk mencari jumlah n suku pertama, kita perlu mengetahui suku pertama (a). Kita dapat memperoleh suku pertama dengan mensubstitusikan n = 1 ke dalam rumus Un:
a = U1 = 3(1) – 1 = 2
Kemudian, kita masukkan nilai a dan Un ke dalam rumus Sn:
Sn = (n/2) * (2 + 3n – 1)
Sn = (n/2) * (3n + 1)
Jadi, jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika dengan rumus Un = 3n – 1 adalah (n/2) * (3n + 1).
Penerapan Barisan Aritmatika dalam Kehidupan Sehari-hari
Barisan aritmatika, dengan pola penjumlahan yang konsisten, ternyata memiliki peran penting dalam kehidupan sehari-hari. Kita sering menemukan pola ini dalam berbagai situasi, mulai dari tangga hingga tabungan kita. Mari kita bahas bagaimana konsep ini membantu kita dalam memahami dan menyelesaikan masalah-masalah yang terkait dengan pola tertentu.
Contoh Penerapan Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika hadir dalam berbagai aspek kehidupan kita. Berikut beberapa contohnya:
- Tangga: Setiap anak tangga memiliki ketinggian yang sama, membentuk barisan aritmatika. Jika tinggi anak tangga pertama adalah 20 cm dan setiap anak tangga berikutnya lebih tinggi 15 cm, maka tinggi anak tangga kedua adalah 35 cm, ketiga 50 cm, dan seterusnya. Ini adalah contoh sederhana barisan aritmatika yang kita temui setiap hari.
- Deretan Kursi: Bayangkan sebuah ruang tunggu dengan deretan kursi yang disusun secara beraturan. Jika jarak antar kursi adalah 50 cm dan kursi pertama berada 1 meter dari dinding, maka posisi kursi kedua akan berada 1,5 meter, kursi ketiga 2 meter, dan seterusnya. Ini adalah contoh barisan aritmatika yang menggambarkan posisi setiap kursi dalam ruang tunggu.
- Tabungan: Jika seseorang menabung dengan jumlah yang sama setiap bulannya, maka total tabungannya akan membentuk barisan aritmatika. Misalnya, jika seseorang menabung Rp100.000 setiap bulan, maka total tabungannya setelah 1 bulan adalah Rp100.000, setelah 2 bulan Rp200.000, setelah 3 bulan Rp300.000, dan seterusnya. Ini adalah contoh barisan aritmatika yang menunjukkan pertumbuhan tabungan secara linear.
Manfaat Penerapan Barisan Aritmatika
Memahami konsep barisan aritmatika dapat membantu kita dalam berbagai hal, seperti:
- Memprediksi Pola: Dengan mengetahui selisih umum dan suku pertama, kita dapat memprediksi suku-suku berikutnya dalam barisan aritmatika. Ini membantu kita untuk memahami pola dan tren yang terjadi dalam berbagai situasi.
- Menghitung Jumlah Suku: Rumus jumlah suku pada barisan aritmatika memungkinkan kita untuk menghitung total nilai dari beberapa suku pertama dalam barisan tersebut. Ini bermanfaat dalam menghitung total tabungan, total jarak yang ditempuh, atau total biaya yang dikeluarkan.
- Memecahkan Masalah Pola: Barisan aritmatika dapat membantu kita dalam memecahkan masalah-masalah yang terkait dengan pola tertentu, seperti menghitung jumlah total buah pada pohon yang tumbuh dengan jumlah buah yang sama setiap tahunnya.
Ilustrasi Penerapan Barisan Aritmatika
Bayangkan sebuah taman dengan deretan pohon yang ditanam dengan jarak yang sama. Pohon pertama ditanam 5 meter dari gerbang taman, dan setiap pohon berikutnya ditanam 3 meter dari pohon sebelumnya. Jika ada 10 pohon dalam deretan tersebut, maka posisi pohon ke-10 dapat dihitung dengan menggunakan konsep barisan aritmatika.
Posisi pohon ke-10 adalah 5 + (10 – 1) x 3 = 32 meter dari gerbang taman.
Dengan demikian, kita dapat mengetahui posisi setiap pohon dalam deretan tersebut dengan mudah menggunakan rumus barisan aritmatika.
Soal Latihan Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika merupakan barisan bilangan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku yang berurutan. Untuk memahami konsep ini lebih lanjut, mari kita latihan dengan beberapa soal yang akan membantu kamu menguasai materi barisan aritmatika.
Soal Latihan Barisan Aritmatika
Berikut ini adalah 5 soal latihan barisan aritmatika dengan tingkat kesulitan yang bervariasi:
| Soal | Kunci Jawaban | Tingkat Kesulitan |
|---|---|---|
| Tentukan suku ke-10 dari barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, …! | 29 | Mudah |
| Tentukan jumlah 15 suku pertama dari barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, …! | 480 | Sedang |
| Suatu barisan aritmatika memiliki suku pertama 4 dan beda 3. Tentukan suku ke-20 dari barisan tersebut! | 61 | Sedang |
| Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika 2, 6, 10, 14, …! | 210 | Sedang |
| Suatu barisan aritmatika memiliki suku ke-3 = 11 dan suku ke-7 = 23. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan tersebut! | Suku pertama = 5, Beda = 3 | Sulit |
Penutup
Dengan memahami konsep barisan aritmatika, kamu akan mampu menyelesaikan berbagai macam soal dan masalah yang berkaitan dengan pola tertentu. Ingatlah rumus-rumus yang telah dipelajari dan berlatihlah dengan mengerjakan soal-soal latihan. Selamat belajar!
