Contoh soal fungsi linear dan grafiknya – Fungsi linear, dengan garis lurusnya yang khas, merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika yang memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari. Mempelajari fungsi linear berarti memahami bagaimana hubungan antara dua variabel dapat digambarkan secara visual dan bagaimana hubungan ini dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah praktis.
Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi dunia fungsi linear dengan menyelami pengertiannya, bentuk umum, cara menentukan persamaannya, menggambar grafiknya, dan mengidentifikasi sifat-sifatnya. Selain itu, kita akan melihat bagaimana fungsi linear diterapkan dalam berbagai bidang seperti ekonomi, fisika, dan ilmu komputer. Siap untuk memahami fungsi linear dengan lebih dalam? Mari kita mulai!
Pengertian Fungsi Linear
Fungsi linear adalah jenis fungsi matematika yang menggambarkan hubungan linier antara dua variabel. Dalam fungsi linear, perubahan nilai variabel yang satu akan selalu menghasilkan perubahan nilai variabel yang lain secara proporsional. Hubungan ini dapat digambarkan sebagai garis lurus pada grafik.
Contoh Fungsi Linear
Contoh fungsi linear adalah y = 2x + 1. Dalam fungsi ini, variabel y bergantung pada variabel x. Setiap kali nilai x bertambah 1, nilai y akan bertambah 2. Hubungan ini menghasilkan garis lurus pada grafik.
Ilustrasi Fungsi Linear dalam Kehidupan Sehari-hari, Contoh soal fungsi linear dan grafiknya
Bayangkan Anda bekerja sebagai tukang ojek online. Anda mendapatkan bayaran Rp. 5.000 untuk setiap perjalanan, ditambah biaya dasar Rp. 10.000. Total pendapatan Anda dapat dinyatakan sebagai fungsi linear:
Total Pendapatan = (Tarif per Perjalanan * Jumlah Perjalanan) + Biaya Dasar
Total Pendapatan = (Rp. 5.000 * Jumlah Perjalanan) + Rp. 10.000
Perbedaan Fungsi Linear dan Fungsi Non-linear
Fungsi linear dan fungsi non-linear memiliki perbedaan utama dalam bentuk persamaannya dan bagaimana grafiknya terlihat.
| Fitur | Fungsi Linear | Fungsi Non-linear |
|---|---|---|
| Persamaan | y = mx + c (m dan c adalah konstanta) | Tidak dalam bentuk y = mx + c |
| Grafik | Garis lurus | Bukan garis lurus (misalnya, parabola, hiperbola, dll.) |
| Perubahan Nilai | Perubahan nilai y sebanding dengan perubahan nilai x | Perubahan nilai y tidak selalu sebanding dengan perubahan nilai x |
Bentuk Umum Fungsi Linear
Fungsi linear merupakan salah satu jenis fungsi yang sering dijumpai dalam matematika. Fungsi linear memiliki bentuk khusus yang mudah dikenali dan dipahami. Bentuk umum fungsi linear dapat membantu kita dalam memahami sifat dan karakteristik fungsi linear, serta memudahkan kita dalam menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan fungsi linear.
Bentuk Umum Fungsi Linear
Bentuk umum fungsi linear adalah:
y = ax + b
dengan:
- y adalah variabel terikat, yang nilainya bergantung pada nilai x.
- x adalah variabel bebas, yang nilainya dapat dipilih secara bebas.
- a adalah koefisien kemiringan atau gradien, yang menentukan seberapa curam garis lurus yang mewakili fungsi linear. Jika a positif, garis miring ke atas. Jika a negatif, garis miring ke bawah. Semakin besar nilai mutlak a, semakin curam garisnya.
- b adalah konstanta, yang merupakan titik potong garis dengan sumbu y. Nilai b menentukan di mana garis memotong sumbu y. Jika b positif, garis memotong sumbu y di atas titik (0,0). Jika b negatif, garis memotong sumbu y di bawah titik (0,0).
Contoh Fungsi Linear
Berikut adalah tiga contoh fungsi linear yang berbeda, beserta nilai a dan b-nya:
- y = 2x + 1: a = 2, b = 1
- y = -3x + 4: a = -3, b = 4
- y = x – 2: a = 1, b = -2
Tabel Fungsi Linear dan Grafiknya
Tabel berikut menunjukkan beberapa contoh fungsi linear dan grafiknya dengan berbagai nilai a dan b:
| Fungsi Linear | a | b | Grafik |
|---|---|---|---|
| y = 2x + 1 | 2 | 1 | Garis miring ke atas, memotong sumbu y di titik (0,1) |
| y = -3x + 4 | -3 | 4 | Garis miring ke bawah, memotong sumbu y di titik (0,4) |
| y = x – 2 | 1 | -2 | Garis miring ke atas, memotong sumbu y di titik (0,-2) |
| y = -x | -1 | 0 | Garis miring ke bawah, memotong sumbu y di titik (0,0) |
Menentukan Persamaan Fungsi Linear
Fungsi linear merupakan fungsi yang memiliki grafik berupa garis lurus. Persamaan fungsi linear dapat ditentukan dengan beberapa cara, salah satunya dengan menggunakan dua titik yang dilalui garis tersebut. Dalam menentukan persamaan fungsi linear, kita perlu memahami konsep gradien dan titik potong sumbu y. Gradien merupakan kemiringan garis, sedangkan titik potong sumbu y merupakan titik di mana garis tersebut memotong sumbu y.
Menentukan Persamaan Fungsi Linear dengan Dua Titik yang Diketahui
Untuk menentukan persamaan fungsi linear dengan dua titik yang diketahui, kita dapat menggunakan rumus berikut:
y – y1 = m(x – x1)
di mana:
- m adalah gradien garis
- (x1, y1) adalah salah satu titik yang dilalui garis
- (x, y) adalah titik sembarang pada garis
Langkah-langkah menentukan persamaan fungsi linear dengan dua titik yang diketahui adalah:
- Hitung gradien (m) garis menggunakan rumus:
- Pilih salah satu titik yang dilalui garis sebagai (x1, y1).
- Substitusikan nilai m dan (x1, y1) ke dalam rumus y – y1 = m(x – x1).
- Sederhanakan persamaan hingga diperoleh persamaan fungsi linear dalam bentuk y = mx + c.
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
Berikut contoh soal dan penyelesaiannya:
Tentukan persamaan fungsi linear yang melalui titik A(2, 3) dan B(5, 9).
Penyelesaian:
- Hitung gradien garis:
- Pilih titik A(2, 3) sebagai (x1, y1).
- Substitusikan nilai m dan (x1, y1) ke dalam rumus y – y1 = m(x – x1):
- Sederhanakan persamaan:
- m adalah gradien garis
- (x1, y1) adalah titik yang dilalui garis
- (x, y) adalah titik sembarang pada garis
- Substitusikan nilai m dan (x1, y1) ke dalam rumus y – y1 = m(x – x1).
- Sederhanakan persamaan hingga diperoleh persamaan fungsi linear dalam bentuk y = mx + c.
- Substitusikan nilai m = 3 dan (x1, y1) = (1, 4) ke dalam rumus y – y1 = m(x – x1):
- Sederhanakan persamaan:
- Menggunakan persamaan fungsi linear
- Menggunakan dua titik yang diketahui pada garis
- Metode titik potong sumbu:
- Tentukan titik potong sumbu x dengan mensubstitusikan y = 0 ke dalam persamaan fungsi linear dan menyelesaikan untuk x.
- Tentukan titik potong sumbu y dengan mensubstitusikan x = 0 ke dalam persamaan fungsi linear dan menyelesaikan untuk y.
- Plot kedua titik potong sumbu tersebut pada bidang kartesius.
- Hubungkan kedua titik tersebut dengan garis lurus.
- Metode gradien dan titik:
- Tentukan gradien (m) dan titik potong sumbu y (c) dari persamaan fungsi linear.
- Plot titik potong sumbu y (c) pada bidang kartesius.
- Gunakan gradien (m) untuk menentukan titik lain pada garis. Gradien menunjukkan kemiringan garis, yaitu berapa banyak satuan garis naik atau turun untuk setiap satu satuan pergeseran ke kanan.
- Hubungkan kedua titik tersebut dengan garis lurus.
- Metode titik potong sumbu:
- Titik potong sumbu x: y = 0, maka 0 = 2x + 1, sehingga x = -1/2. Titik potong sumbu x adalah (-1/2, 0).
- Titik potong sumbu y: x = 0, maka y = 2(0) + 1, sehingga y = 1. Titik potong sumbu y adalah (0, 1).
- Plot titik (-1/2, 0) dan (0, 1) pada bidang kartesius.
- Hubungkan kedua titik tersebut dengan garis lurus.
- Metode gradien dan titik:
- Gradien (m) = 2 dan titik potong sumbu y (c) = 1.
- Plot titik (0, 1) pada bidang kartesius.
- Dari titik (0, 1), bergerak 2 satuan ke atas (karena gradien positif) dan 1 satuan ke kanan. Ini akan membawa kita ke titik (1, 3).
- Hubungkan titik (0, 1) dan (1, 3) dengan garis lurus.
- Plot kedua titik yang diketahui pada bidang kartesius.
- Hubungkan kedua titik tersebut dengan garis lurus.
- Plot titik (1, 2) dan (3, 4) pada bidang kartesius.
- Hubungkan kedua titik tersebut dengan garis lurus.
- Untuk mencari titik potong sumbu x, kita bisa mensubstitusikan y = 0 ke dalam persamaan fungsi linear dan menyelesaikan persamaan untuk x.
- Untuk mencari titik potong sumbu y, kita bisa mensubstitusikan x = 0 ke dalam persamaan fungsi linear dan menyelesaikan persamaan untuk y.
- Gradien garis
- Titik potong sumbu x dan sumbu y
- Arah garis
- Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2, 3) dan (4, 5).
- Tentukan gradien dan titik potong sumbu y dari persamaan garis y = 2x – 4.
- Gambarlah grafik fungsi y = -x + 2.
- Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis y = 3x + 1 dan melalui titik (1, 2).
- Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis y = -2x + 3 dan melalui titik (0, 1).
- Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan sejajar dengan garis 2x + 3y = 6.
- Diketahui fungsi linear f(x) = 2x – 1. Tentukan titik potong grafik fungsi f(x) dengan sumbu x dan sumbu y.
- Sebuah perusahaan taksi menetapkan tarif awal Rp5.000 dan tarif per kilometer Rp3.000. Tentukan persamaan fungsi linear yang menyatakan biaya taksi sebagai fungsi dari jarak tempuh.
m = (9 – 3) / (5 – 2) = 6 / 3 = 2
y – 3 = 2(x – 2)
y – 3 = 2x – 4
y = 2x – 1
Jadi, persamaan fungsi linear yang melalui titik A(2, 3) dan B(5, 9) adalah y = 2x – 1.
Menentukan Persamaan Fungsi Linear dengan Satu Titik dan Gradien yang Diketahui
Untuk menentukan persamaan fungsi linear dengan satu titik dan gradien yang diketahui, kita dapat menggunakan rumus yang sama seperti sebelumnya, yaitu:
y – y1 = m(x – x1)
di mana:
Langkah-langkah menentukan persamaan fungsi linear dengan satu titik dan gradien yang diketahui adalah:
Berikut contoh soal dan penyelesaiannya:
Tentukan persamaan fungsi linear yang melalui titik C(1, 4) dan memiliki gradien 3.
Penyelesaian:
y – 4 = 3(x – 1)
y – 4 = 3x – 3
y = 3x + 1
Jadi, persamaan fungsi linear yang melalui titik C(1, 4) dan memiliki gradien 3 adalah y = 3x + 1.
Grafik Fungsi Linear
Grafik fungsi linear adalah representasi visual dari persamaan fungsi linear. Grafik ini berupa garis lurus yang menunjukkan hubungan antara nilai input (x) dan nilai output (y) dari fungsi tersebut. Grafik fungsi linear dapat digunakan untuk menganalisis dan memprediksi perilaku fungsi linear, seperti menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y, serta kemiringan garis.
Cara Menggambar Grafik Fungsi Linear
Ada beberapa cara untuk menggambar grafik fungsi linear, antara lain:
Menggambar Grafik Fungsi Linear dengan Persamaan
Untuk menggambar grafik fungsi linear dengan persamaan, kita dapat menggunakan dua metode:
Contoh soal: Gambar grafik fungsi linear dengan persamaan y = 2x + 1.
Menggambar Grafik Fungsi Linear dengan Dua Titik yang Diketahui
Untuk menggambar grafik fungsi linear dengan dua titik yang diketahui, kita dapat menggunakan metode berikut:
Contoh soal: Gambar grafik fungsi linear yang melalui titik (1, 2) dan (3, 4).
Contoh Persamaan Fungsi Linear dan Grafiknya
| Persamaan Fungsi Linear | Grafik |
|---|---|
| y = x + 2 | [Gambar grafik y = x + 2] |
| y = -2x + 1 | [Gambar grafik y = -2x + 1] |
| y = 3x | [Gambar grafik y = 3x] |
| y = -x – 1 | [Gambar grafik y = -x – 1] |
Sifat-Sifat Grafik Fungsi Linear
Fungsi linear merupakan fungsi yang memiliki bentuk umum y = mx + c, di mana m adalah gradien dan c adalah konstanta. Grafik fungsi linear selalu berupa garis lurus. Sifat-sifat grafik fungsi linear ini akan membantu kita dalam memahami dan menganalisis hubungan antara variabel x dan y pada fungsi tersebut.
Kemiringan Garis (Gradien)
Gradien (m) pada fungsi linear menunjukkan kemiringan atau kecondongan garis. Gradien positif berarti garis naik dari kiri ke kanan, sedangkan gradien negatif berarti garis turun dari kiri ke kanan. Jika gradiennya nol, maka garisnya horizontal, dan jika gradiennya tidak terdefinisi, maka garisnya vertikal.
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
Rumus di atas digunakan untuk menghitung gradien dari dua titik yang terletak pada garis tersebut.
Titik Potong Sumbu x dan Sumbu y
Titik potong sumbu x adalah titik di mana garis memotong sumbu x, sedangkan titik potong sumbu y adalah titik di mana garis memotong sumbu y.
Contoh soal fungsi linear dan grafiknya bisa berupa soal yang meminta kamu untuk menentukan persamaan garis lurus dari dua titik yang diketahui, atau menentukan titik potong garis dengan sumbu x dan y. Nah, kalau kamu mau latihan soal tentang menggambarkan suatu objek secara detail, bisa banget cek contoh soal descriptive text yang banyak tersedia di internet.
Setelah itu, kamu bisa coba aplikasikan pengetahuan tentang fungsi linear dan grafiknya untuk menggambarkan data dalam bentuk grafik, misalnya hubungan antara waktu dan jarak tempuh.
Arah Garis (Naik atau Turun)
Arah garis ditentukan oleh tanda gradien. Jika gradien positif, garis naik dari kiri ke kanan. Jika gradien negatif, garis turun dari kiri ke kanan.
Contoh Soal
Diketahui fungsi linear y = 2x – 3. Tentukan:
Tabel Sifat-Sifat Grafik Fungsi Linear
| Sifat | Keterangan | Contoh |
|---|---|---|
| Gradien (m) | Menunjukkan kemiringan garis. | y = 2x – 3, gradien = 2 |
| Titik Potong Sumbu x | Titik di mana garis memotong sumbu x. | y = 2x – 3, titik potong sumbu x = (3/2, 0) |
| Titik Potong Sumbu y | Titik di mana garis memotong sumbu y. | y = 2x – 3, titik potong sumbu y = (0, -3) |
| Arah Garis | Menunjukkan apakah garis naik atau turun. | y = 2x – 3, arah garis = naik karena gradien positif. |
Soal Latihan Fungsi Linear dan Grafiknya
Fungsi linear merupakan fungsi yang memiliki bentuk umum y = mx + c, dengan m sebagai gradien dan c sebagai konstanta. Grafik fungsi linear selalu berupa garis lurus. Untuk lebih memahami fungsi linear dan grafiknya, mari kita latihan dengan beberapa soal berikut.
Soal Latihan
Berikut adalah 5 soal latihan fungsi linear dan grafiknya yang dapat kamu coba selesaikan:
Kunci Jawaban
| No. | Soal | Kunci Jawaban | Pembahasan Singkat |
|---|---|---|---|
| 1 | Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2, 3) dan (4, 5). | y = x + 1 | Gradien garis dapat dicari dengan rumus (y2 – y1) / (x2 – x1) = (5 – 3) / (4 – 2) = 1. Kemudian, substitusikan salah satu titik dan gradien ke dalam persamaan y = mx + c untuk mencari nilai c. Didapat c = 1. Sehingga persamaan garis lurusnya adalah y = x + 1. |
| 2 | Tentukan gradien dan titik potong sumbu y dari persamaan garis y = 2x – 4. | Gradien = 2, Titik Potong Sumbu y = -4 | Persamaan garis y = mx + c, dengan m sebagai gradien dan c sebagai titik potong sumbu y. Jadi, gradien garis y = 2x – 4 adalah 2 dan titik potong sumbu y adalah -4. |
| 3 | Gambarlah grafik fungsi y = -x + 2. | [Gambar grafik y = -x + 2] | Untuk menggambar grafik fungsi y = -x + 2, dapat dilakukan dengan menentukan dua titik yang dilalui oleh garis tersebut. Misalnya, ketika x = 0, maka y = 2. Ketika x = 1, maka y = 1. Hubungkan kedua titik tersebut dengan garis lurus, maka didapatlah grafik fungsi y = -x + 2. |
| 4 | Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis y = 3x + 1 dan melalui titik (1, 2). | y = 3x – 1 | Garis sejajar memiliki gradien yang sama. Jadi, gradien garis yang dicari adalah 3. Kemudian, substitusikan titik (1, 2) dan gradien 3 ke dalam persamaan y = mx + c untuk mencari nilai c. Didapat c = -1. Sehingga persamaan garis lurusnya adalah y = 3x – 1. |
| 5 | Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis y = -2x + 3 dan melalui titik (0, 1). | y = 1/2x + 1 | Garis tegak lurus memiliki gradien yang merupakan negatif kebalikan dari gradien garis yang lain. Jadi, gradien garis yang dicari adalah 1/2. Kemudian, substitusikan titik (0, 1) dan gradien 1/2 ke dalam persamaan y = mx + c untuk mencari nilai c. Didapat c = 1. Sehingga persamaan garis lurusnya adalah y = 1/2x + 1. |
Contoh Soal Ujian Fungsi Linear dan Grafiknya
Fungsi linear merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika yang sering muncul dalam ujian. Penguasaan fungsi linear dan grafiknya menjadi penting karena aplikasi luasnya dalam berbagai bidang, seperti ekonomi, fisika, dan teknik. Soal ujian fungsi linear biasanya menguji pemahaman tentang persamaan garis, titik potong, gradien, dan penerapannya dalam berbagai konteks.
Berikut ini adalah contoh soal ujian fungsi linear dan grafiknya yang menantang. Soal-soal ini dirancang untuk menguji kemampuan siswa dalam memahami konsep fungsi linear dan penerapannya dalam menyelesaikan masalah.
Contoh Soal Ujian Fungsi Linear dan Grafiknya
Berikut ini adalah contoh soal ujian fungsi linear dan grafiknya yang menantang. Soal-soal ini dirancang untuk menguji kemampuan siswa dalam memahami konsep fungsi linear dan penerapannya dalam menyelesaikan masalah.
Kunci Jawaban dan Pembahasan
| Soal | Kunci Jawaban | Pembahasan |
|---|---|---|
| Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan sejajar dengan garis 2x + 3y = 6. | y = -2/3x + 13/3 | Dua garis sejajar memiliki gradien yang sama. Gradien garis 2x + 3y = 6 adalah -2/3. Karena garis yang dicari sejajar, maka gradiennya juga -2/3. Persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dengan gradien -2/3 adalah y – 3 = -2/3(x – 2), yang dapat disederhanakan menjadi y = -2/3x + 13/3. |
| Diketahui fungsi linear f(x) = 2x – 1. Tentukan titik potong grafik fungsi f(x) dengan sumbu x dan sumbu y. | Titik potong sumbu x: (1/2, 0), Titik potong sumbu y: (0, -1) | Titik potong sumbu x adalah titik di mana y = 0. Substitusikan y = 0 ke dalam persamaan f(x) = 2x – 1, maka 0 = 2x – 1. Selesaikan persamaan ini untuk mendapatkan x = 1/2. Jadi, titik potong sumbu x adalah (1/2, 0). Titik potong sumbu y adalah titik di mana x = 0. Substitusikan x = 0 ke dalam persamaan f(x) = 2x – 1, maka f(0) = -1. Jadi, titik potong sumbu y adalah (0, -1). |
| Sebuah perusahaan taksi menetapkan tarif awal Rp5.000 dan tarif per kilometer Rp3.000. Tentukan persamaan fungsi linear yang menyatakan biaya taksi sebagai fungsi dari jarak tempuh. | y = 3000x + 5000 | Misalkan x adalah jarak tempuh (dalam kilometer) dan y adalah biaya taksi (dalam rupiah). Tarif awal Rp5.000 merupakan konstanta dalam persamaan. Tarif per kilometer Rp3.000 dikalikan dengan jarak tempuh x untuk mendapatkan biaya tambahan. Jadi, persamaan fungsi linear yang menyatakan biaya taksi adalah y = 3000x + 5000. |
Penutupan Akhir: Contoh Soal Fungsi Linear Dan Grafiknya
Memahami fungsi linear merupakan langkah penting dalam mempelajari matematika dan membuka pintu untuk memahami konsep-konsep matematika yang lebih kompleks. Dengan memahami fungsi linear, Anda dapat menyingkap hubungan antara variabel, memecahkan masalah praktis, dan bahkan meramalkan tren di masa depan. Semoga artikel ini telah memberikan Anda pemahaman yang lebih baik tentang fungsi linear dan memotivasi Anda untuk terus menjelajahi dunia matematika yang menarik!
