Contoh soal deret aritmatika dan jawabannya – Deret aritmatika, mungkin terdengar asing bagi sebagian orang, namun sebenarnya konsep ini sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari. Bayangkan saat Anda menabung dengan jumlah yang sama setiap bulannya, atau ketika Anda melihat tangga yang memiliki jarak yang sama antara anak tangga. Itulah contoh sederhana dari deret aritmatika, yaitu barisan bilangan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku berurutan.
Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi dunia deret aritmatika lebih dalam, mulai dari pengertian, rumus, hingga contoh soal dan aplikasi dalam kehidupan nyata. Siapkan diri Anda untuk memahami konsep deret aritmatika dan menguasai cara menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengannya.
Pengertian Deret Aritmatika
Deret aritmatika merupakan salah satu jenis deret yang sering dipelajari dalam matematika. Deret ini terbentuk dari penjumlahan suku-suku yang memiliki pola tertentu, yaitu selisih antara dua suku berurutan selalu sama. Selisih ini disebut sebagai beda (b).
Contoh Deret Aritmatika
Untuk lebih memahami deret aritmatika, perhatikan contoh berikut:
- Deret: 2, 5, 8, 11, 14, …
Pada deret ini, suku pertama (a) adalah 2, beda (b) adalah 3 (5 – 2 = 3, 8 – 5 = 3, dan seterusnya), dan jumlah suku (n) dapat berupa bilangan bulat positif.
Perbedaan Deret Aritmatika dan Barisan Aritmatika
Seringkali, deret aritmatika dan barisan aritmatika disamakan. Padahal, keduanya memiliki perbedaan yang cukup mendasar. Barisan aritmatika merupakan urutan bilangan yang memiliki pola selisih yang sama, sedangkan deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari barisan aritmatika tersebut.
Sebagai contoh, barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, 14, … memiliki pola selisih 3. Sementara itu, deret aritmatika yang bersesuaian adalah 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + …, yaitu penjumlahan dari suku-suku barisan aritmatika tersebut.
Rumus Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih tetap antara dua suku berurutan. Selisih tetap ini disebut beda (b). Rumus deret aritmatika membantu kita untuk mencari suku-suku tertentu dalam barisan dan menghitung jumlah suku-suku tersebut.
Rumus Suku ke-n (Un)
Rumus suku ke-n (Un) dalam deret aritmatika digunakan untuk menentukan nilai suku tertentu dalam barisan. Rumus ini menyatakan bahwa nilai suku ke-n (Un) sama dengan nilai suku pertama (a) ditambah dengan (n-1) kali beda (b).
Un = a + (n-1)b
Dimana:
- Un adalah suku ke-n
- a adalah suku pertama
- n adalah nomor urut suku
- b adalah beda
Rumus Jumlah n Suku Pertama (Sn)
Rumus jumlah n suku pertama (Sn) dalam deret aritmatika digunakan untuk menghitung jumlah nilai dari n suku pertama dalam barisan. Rumus ini menyatakan bahwa jumlah n suku pertama (Sn) sama dengan setengah dari jumlah n suku pertama dan suku terakhir (a + Un) dikalikan dengan jumlah suku (n).
Sn = n/2 * (a + Un)
Atau
Sn = n/2 * (2a + (n-1)b)
Dimana:
- Sn adalah jumlah n suku pertama
- a adalah suku pertama
- n adalah jumlah suku
- Un adalah suku ke-n
- b adalah beda
Contoh Penggunaan Rumus Un dan Sn
Misalkan kita memiliki deret aritmatika 2, 5, 8, 11, …
Untuk menghitung suku ke-5 (U5) dan jumlah 10 suku pertama (S10) dari deret ini, kita dapat menggunakan rumus Un dan Sn.
Contoh soal deret aritmatika dan jawabannya memang menarik, apalagi kalau kamu suka ngitung-ngitung. Nah, kalau kamu lagi belajar soal panjang, kamu bisa coba cari contoh soal cerita satuan panjang dan jawabannya yang ada di internet. Soalnya, mempelajari soal panjang juga penting, lho! Nggak kalah seru dengan deret aritmatika, kamu bisa belajar ngitung jarak, keliling, dan luas berbagai bentuk.
Jadi, semangat belajar ya!
- Menghitung suku ke-5 (U5):
- a = 2 (suku pertama)
- n = 5 (nomor urut suku)
- b = 3 (beda)
- Menghitung jumlah 10 suku pertama (S10):
- a = 2 (suku pertama)
- n = 10 (jumlah suku)
- b = 3 (beda)
Maka, U5 = 2 + (5-1)3 = 2 + 12 = 14
Maka, S10 = 10/2 * (2*2 + (10-1)3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155
Contoh Soal Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah suatu deret bilangan yang memiliki selisih tetap antara dua suku yang berdekatan. Selisih tetap ini disebut beda. Untuk memahami konsep deret aritmatika, mari kita pelajari beberapa contoh soal berikut.
Contoh Soal Deret Aritmatika Mudah
Berikut ini adalah contoh soal deret aritmatika yang mudah:
- Tentukan suku ke-5 dari deret aritmatika 2, 5, 8, 11, …!
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menentukan beda (b) dari deret tersebut. Beda dapat dihitung dengan mengurangkan suku kedua dengan suku pertama, atau suku ketiga dengan suku kedua, dan seterusnya. Dalam deret ini, beda (b) adalah 5 – 2 = 3.
Rumus umum untuk mencari suku ke-n (Un) dari deret aritmatika adalah:
Un = a + (n – 1)b
Dimana:
- a adalah suku pertama
- b adalah beda
- n adalah nomor suku yang ingin dicari
Untuk mencari suku ke-5 (U5), kita substitusikan nilai a = 2, b = 3, dan n = 5 ke dalam rumus:
U5 = 2 + (5 – 1)3 = 2 + 12 = 14
Jadi, suku ke-5 dari deret aritmatika 2, 5, 8, 11, … adalah 14.
Contoh Soal Deret Aritmatika Sedang, Contoh soal deret aritmatika dan jawabannya
Berikut ini adalah contoh soal deret aritmatika yang sedang:
- Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika 3, 7, 11, 15, …!
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menentukan beda (b) dan suku pertama (a) dari deret tersebut. Beda (b) adalah 7 – 3 = 4. Suku pertama (a) adalah 3.
Rumus umum untuk mencari jumlah n suku pertama (Sn) dari deret aritmatika adalah:
Sn = (n/2) * (2a + (n – 1)b)
Untuk mencari jumlah 10 suku pertama (S10), kita substitusikan nilai a = 3, b = 4, dan n = 10 ke dalam rumus:
S10 = (10/2) * (2(3) + (10 – 1)4) = 5 * (6 + 36) = 5 * 42 = 210
Jadi, jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika 3, 7, 11, 15, … adalah 210.
Contoh Soal Deret Aritmatika Sulit
Berikut ini adalah contoh soal deret aritmatika yang sulit:
- Tentukan suku ke-15 dari deret aritmatika yang memiliki suku ke-3 = 10 dan suku ke-8 = 25!
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menentukan beda (b) dan suku pertama (a) dari deret tersebut. Kita tahu bahwa U3 = 10 dan U8 = 25. Dengan menggunakan rumus Un = a + (n – 1)b, kita dapat membentuk dua persamaan:
U3 = a + (3 – 1)b = 10
U8 = a + (8 – 1)b = 25
Dari persamaan pertama, kita dapatkan a + 2b = 10. Dari persamaan kedua, kita dapatkan a + 7b = 25.
Sekarang kita punya dua persamaan dengan dua variabel. Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini dengan metode eliminasi atau substitusi. Dalam hal ini, kita akan menggunakan metode eliminasi.
Dengan mengurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua, kita dapatkan:
(a + 7b) – (a + 2b) = 25 – 10
5b = 15
b = 3
Setelah mendapatkan nilai b, kita dapat mensubstitusikannya ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai a. Kita akan mensubstitusikannya ke persamaan pertama:
a + 2(3) = 10
a + 6 = 10
a = 4
Sekarang kita telah mengetahui nilai a dan b. Untuk mencari suku ke-15 (U15), kita substitusikan nilai a = 4, b = 3, dan n = 15 ke dalam rumus Un = a + (n – 1)b:
U15 = 4 + (15 – 1)3 = 4 + 42 = 46
Jadi, suku ke-15 dari deret aritmatika yang memiliki suku ke-3 = 10 dan suku ke-8 = 25 adalah 46.
Aplikasi Deret Aritmatika dalam Kehidupan Sehari-hari
Deret aritmatika merupakan konsep matematika yang sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Konsep ini membantu kita dalam menyelesaikan berbagai masalah, mulai dari menghitung jumlah uang tabungan hingga menghitung jumlah kursi di suatu gedung.
Contoh Penerapan Deret Aritmatika dalam Kehidupan Sehari-hari
Berikut adalah beberapa contoh penerapan deret aritmatika dalam kehidupan sehari-hari:
| Contoh Penerapan | Rumus yang Digunakan | Penjelasan |
|---|---|---|
| Menghitung jumlah uang tabungan | Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d) | Misalnya, Anda menabung Rp10.000 setiap minggu. Jika Anda menabung selama 10 minggu, maka total tabungan Anda adalah Sn = (10/2) * (2*10.000 + (10-1)10.000) = Rp145.000. |
| Menghitung jumlah kursi di suatu gedung | Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d) | Misalnya, sebuah gedung bioskop memiliki 20 baris kursi. Baris pertama memiliki 10 kursi, dan setiap baris berikutnya memiliki 2 kursi lebih banyak dari baris sebelumnya. Total kursi di gedung bioskop adalah Sn = (20/2) * (2*10 + (20-1)2) = 380 kursi. |
| Menghitung jumlah tangga di suatu bangunan | Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d) | Misalnya, sebuah bangunan memiliki 15 tingkat. Setiap tingkat memiliki 10 anak tangga. Total anak tangga di bangunan tersebut adalah Sn = (15/2) * (2*10 + (15-1)10) = 1.050 anak tangga. |
Simpulan Akhir: Contoh Soal Deret Aritmatika Dan Jawabannya
Memahami konsep deret aritmatika bukan hanya tentang menghafal rumus, tetapi juga tentang memahami bagaimana konsep ini bekerja dalam berbagai situasi. Dengan pemahaman yang kuat, Anda akan mampu menyelesaikan berbagai masalah yang berkaitan dengan deret aritmatika, baik dalam konteks matematika maupun kehidupan sehari-hari.
