Contoh Soal Distribusi Peluang Kontinu: Memahami Konsep dan Penerapannya

Contoh soal distribusi peluang kontinu – Bayangkan Anda sedang mengamati tinggi badan siswa di sebuah sekolah. Data tinggi badan ini dapat divisualisasikan dalam bentuk kurva yang halus, menggambarkan peluang seseorang memiliki tinggi badan tertentu. Kurva ini mewakili konsep distribusi peluang kontinu, sebuah alat penting dalam statistika yang membantu kita memahami dan memprediksi kejadian-kejadian yang terjadi secara kontinu.

Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi contoh soal distribusi peluang kontinu, mulai dari definisi dasar hingga aplikasi praktisnya dalam berbagai bidang. Dengan memahami konsep-konsep ini, Anda akan mampu menganalisis data yang bersifat kontinu, seperti tinggi badan, berat badan, suhu, dan banyak lagi.

Pengertian Distribusi Peluang Kontinu

Dalam dunia probabilitas dan statistika, distribusi peluang kontinu adalah konsep penting untuk memahami bagaimana probabilitas terdistribusi untuk variabel acak yang dapat mengambil nilai dalam rentang kontinu. Bayangkan variabel seperti tinggi badan seseorang, suhu ruangan, atau waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu tugas. Variabel-variabel ini tidak terikat pada nilai diskrit (seperti jumlah koin dalam kantong), melainkan dapat mengambil nilai apa pun dalam rentang tertentu. Distribusi peluang kontinu membantu kita menganalisis dan memprediksi kemungkinan suatu variabel acak kontinu berada dalam rentang tertentu.

Definisi dan Contoh

Distribusi peluang kontinu menggambarkan probabilitas suatu variabel acak kontinu mengambil nilai dalam rentang tertentu. Misalnya, jika kita ingin mengetahui probabilitas tinggi badan seseorang berada antara 160 cm dan 170 cm, distribusi peluang kontinu untuk tinggi badan akan membantu kita menghitungnya.

Berikut beberapa contoh sederhana:

• Tinggi badan: Tinggi badan seseorang tidak terikat pada nilai diskrit (misalnya, hanya 160 cm atau 170 cm), melainkan dapat mengambil nilai apa pun di antara kedua nilai tersebut.
• Suhu: Suhu ruangan dapat mengambil nilai apa pun di antara 20 derajat Celcius dan 25 derajat Celcius.
• Waktu: Waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan tugas dapat mengambil nilai apa pun di antara 10 menit dan 15 menit.

Contoh Variabel Acak Kontinu dan Distribusi Peluangnya

Mari kita bahas contoh variabel acak kontinu dan bagaimana distribusi peluangnya bekerja:

Misalnya, variabel acak kontinu adalah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan tugas tertentu. Asumsikan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan tugas ini mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 10 menit dan deviasi standar 2 menit. Distribusi normal ini akan menggambarkan probabilitas waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan tugas dalam rentang waktu tertentu. Misalnya, kita dapat menggunakan distribusi normal untuk menghitung probabilitas menyelesaikan tugas dalam waktu kurang dari 8 menit, antara 9 dan 11 menit, atau lebih dari 12 menit.

Contoh soal distribusi peluang kontinu biasanya melibatkan variabel acak yang dapat mengambil nilai dalam rentang tertentu, seperti tinggi badan atau berat badan. Misalnya, kita bisa menghitung probabilitas seorang siswa memiliki tinggi badan antara 160 cm dan 170 cm. Konsep ini mirip dengan pembiasan gelombang, di mana gelombang cahaya berubah arah saat melewati medium yang berbeda.

Misalnya, jika kamu ingin mempelajari lebih lanjut tentang contoh soal pembiasan gelombang, kamu bisa mengunjungi contoh soal pembiasan gelombang. Kembali ke contoh soal distribusi peluang kontinu, kita bisa menggunakan fungsi kepadatan probabilitas untuk menghitung probabilitas suatu kejadian.

Karakteristik Utama Distribusi Peluang Kontinu

Distribusi peluang kontinu memiliki karakteristik utama sebagai berikut:

• Probabilitas variabel acak mengambil nilai tertentu adalah nol. Ini berarti bahwa probabilitas variabel acak tepat sama dengan nilai tertentu (misalnya, probabilitas tinggi badan seseorang tepat 170 cm) adalah nol.
• Probabilitas variabel acak berada dalam rentang tertentu dihitung dengan mengintegrasikan fungsi kepadatan probabilitas (PDF) di atas rentang tersebut.
• Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) selalu non-negatif dan luas di bawah kurva PDF sama dengan 1.

Jenis-Jenis Distribusi Peluang Kontinu: Contoh Soal Distribusi Peluang Kontinu

Dalam dunia probabilitas dan statistika, distribusi peluang kontinu menggambarkan probabilitas suatu variabel acak kontinu mengambil nilai tertentu dalam rentang tertentu. Variabel acak kontinu dapat mengambil nilai apa pun dalam rentang tertentu, tidak seperti variabel acak diskrit yang hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu. Ada banyak jenis distribusi peluang kontinu yang digunakan dalam berbagai bidang, mulai dari keuangan hingga fisika.

Jenis-jenis distribusi peluang kontinu ini memiliki karakteristik unik dan diterapkan pada berbagai kasus. Mari kita bahas lebih detail tentang beberapa jenis distribusi peluang kontinu yang umum dipelajari.

Distribusi Peluang Kontinu Umum

Berikut adalah tabel yang merangkum beberapa jenis distribusi peluang kontinu yang umum dipelajari, bersama dengan ciri khas masing-masing:

Jenis Distribusi	Ciri Khas	Contoh Soal
Distribusi Normal	– Memiliki bentuk lonceng simetris. – Didefinisikan oleh mean (μ) dan standar deviasi (σ). – Digunakan secara luas dalam berbagai bidang, seperti statistika, keuangan, dan ilmu sosial.	Misalnya, tinggi badan siswa di suatu kelas dapat dimodelkan dengan distribusi normal.
Distribusi Eksponensial	– Digunakan untuk memodelkan waktu tunggu hingga suatu kejadian terjadi. – Memiliki ekor kanan yang panjang, menunjukkan bahwa kemungkinan menunggu lama untuk suatu kejadian relatif tinggi. – Didefinisikan oleh parameter λ (rata-rata waktu tunggu).	Misalnya, waktu tunggu hingga kerusakan mesin dapat dimodelkan dengan distribusi eksponensial.
Distribusi Uniform	– Semua nilai dalam rentang tertentu memiliki probabilitas yang sama. – Didefinisikan oleh batas bawah (a) dan batas atas (b). – Digunakan dalam kasus di mana semua nilai dalam rentang tertentu sama mungkin.	Misalnya, generator angka acak menghasilkan angka acak antara 0 dan 1 dengan distribusi uniform.
Distribusi Gamma	– Digunakan untuk memodelkan waktu tunggu hingga beberapa kejadian terjadi. – Memiliki bentuk yang fleksibel, dapat simetris atau asimetris. – Didefinisikan oleh parameter α (bentuk) dan β (skala).	Misalnya, waktu tunggu hingga k kerusakan mesin dapat dimodelkan dengan distribusi gamma.
Distribusi Beta	– Digunakan untuk memodelkan probabilitas suatu kejadian dalam rentang 0 dan 1. – Memiliki bentuk yang fleksibel, dapat simetris atau asimetris. – Didefinisikan oleh parameter α (bentuk) dan β (bentuk).	Misalnya, probabilitas keberhasilan suatu proyek dapat dimodelkan dengan distribusi beta.
Distribusi Cauchy	– Memiliki ekor yang berat, menunjukkan bahwa kemungkinan nilai yang ekstrem relatif tinggi. – Tidak memiliki mean dan varians yang terdefinisi. – Digunakan dalam fisika dan teori probabilitas.	Misalnya, distribusi Cauchy dapat digunakan untuk memodelkan posisi partikel yang bergerak secara acak.

Memilih Jenis Distribusi Peluang Kontinu yang Tepat

Memilih jenis distribusi peluang kontinu yang tepat untuk suatu kasus tergantung pada beberapa faktor, seperti:

• Sifat variabel acak yang dipelajari (misalnya, kontinu, diskrit, terbatas, atau tak terbatas)
• Data yang tersedia (misalnya, mean, standar deviasi, rentang, dll.)
• Tujuan analisis (misalnya, estimasi probabilitas, pengujian hipotesis, dll.)

Penting untuk memahami karakteristik dan penerapan masing-masing jenis distribusi peluang kontinu untuk memilih yang paling sesuai dengan kasus yang sedang dipelajari.

Fungsi Kepadatan Peluang (PDF)

Fungsi kepadatan peluang (PDF) adalah konsep penting dalam probabilitas dan statistik, khususnya dalam konteks distribusi peluang kontinu. PDF membantu kita memahami bagaimana probabilitas terdistribusi di seluruh rentang nilai variabel kontinu.

Pengertian dan Fungsi PDF

PDF, atau _Probability Density Function_, merupakan fungsi yang menggambarkan distribusi probabilitas untuk variabel kontinu. Secara sederhana, PDF menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu variabel kontinu mengambil nilai tertentu. Untuk memahami fungsi PDF, kita perlu memahami beberapa hal:

• Variabel kontinu: Variabel kontinu dapat mengambil nilai apa pun dalam rentang tertentu, seperti tinggi badan, suhu, atau waktu. Berbeda dengan variabel diskrit yang hanya dapat mengambil nilai tertentu (misalnya, jumlah koin dalam kantong).
• Probabilitas: PDF tidak langsung menunjukkan probabilitas suatu nilai tertentu. Sebaliknya, PDF menunjukkan probabilitas suatu nilai dalam rentang tertentu. Untuk menghitung probabilitas suatu nilai tertentu, kita perlu mengintegrasikan PDF di atas rentang tersebut.
• Luas di bawah kurva: Luas di bawah kurva PDF pada rentang tertentu sama dengan probabilitas variabel kontinu mengambil nilai dalam rentang tersebut. Luas total di bawah kurva PDF selalu sama dengan 1, yang menunjukkan bahwa probabilitas total dari semua kemungkinan nilai variabel kontinu sama dengan 1.

Fungsi Distribusi Kumulatif (CDF)

Fungsi distribusi kumulatif (CDF) merupakan konsep penting dalam teori probabilitas, khususnya dalam distribusi peluang kontinu. CDF memberikan gambaran tentang probabilitas suatu variabel acak kontinu untuk mengambil nilai kurang dari atau sama dengan suatu nilai tertentu.

Definisi dan Fungsi CDF

CDF, yang dinotasikan sebagai F(x), untuk suatu variabel acak kontinu X didefinisikan sebagai probabilitas variabel tersebut mengambil nilai kurang dari atau sama dengan x. Secara matematis, CDF dapat ditulis sebagai:

F(x) = P(X ≤ x)

CDF memiliki beberapa fungsi penting, yaitu:

• Menentukan Probabilitas: CDF memungkinkan kita untuk menghitung probabilitas variabel acak mengambil nilai dalam suatu interval. Misalnya, probabilitas variabel acak X berada di antara nilai a dan b dapat dihitung dengan: P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a).
• Menentukan Median: Median dari distribusi peluang kontinu adalah nilai x yang memenuhi F(x) = 0.5. Artinya, 50% dari nilai variabel acak berada di bawah median.
• Menentukan Kuartil: Kuartil pertama (Q1) adalah nilai x yang memenuhi F(x) = 0.25, kuartil ketiga (Q3) adalah nilai x yang memenuhi F(x) = 0.75. Kuartil menunjukkan pembagian data menjadi empat bagian yang sama.

Contoh Perhitungan CDF

Misalnya, kita ingin menghitung CDF untuk distribusi eksponensial dengan parameter λ. Distribusi eksponensial sering digunakan untuk memodelkan waktu tunggu suatu peristiwa. CDF untuk distribusi eksponensial adalah:

F(x) = 1 – e^(-λx) untuk x ≥ 0

Untuk menghitung probabilitas waktu tunggu kurang dari atau sama dengan 5 menit, kita dapat menggunakan CDF:

F(5) = 1 – e^(-λ * 5)

Nilai λ akan menentukan bentuk distribusi eksponensial.

Penggunaan CDF dalam Menghitung Probabilitas

CDF sangat berguna dalam menghitung probabilitas suatu kejadian pada distribusi peluang kontinu. Sebagai contoh, jika kita ingin menghitung probabilitas variabel acak X berada di antara nilai a dan b, kita dapat menggunakan CDF sebagai berikut:

P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a)

Dengan demikian, CDF merupakan alat yang ampuh dalam analisis distribusi peluang kontinu, memungkinkan kita untuk menghitung probabilitas, menentukan median, kuartil, dan berbagai karakteristik penting lainnya dari distribusi tersebut.

Nilai Harapan dan Varian

Nilai harapan dan varians merupakan konsep penting dalam teori probabilitas, khususnya dalam distribusi peluang kontinu. Nilai harapan menggambarkan nilai rata-rata yang diharapkan dari suatu variabel acak kontinu, sementara varians mengukur sebaran data atau penyimpangan dari nilai harapan. Pada dasarnya, nilai harapan dan varians membantu kita memahami karakteristik dan perilaku variabel acak kontinu.

Cara Menghitung Nilai Harapan dan Varian, Contoh soal distribusi peluang kontinu

Untuk distribusi peluang kontinu, nilai harapan dan varians dihitung menggunakan integral. Rumus yang digunakan adalah:

Nilai Harapan (E[X]) = ∫xf(x)dx

Varian (Var[X]) = ∫(x-E[X])²f(x)dx

Dimana:

• E[X] adalah nilai harapan dari variabel acak X
• Var[X] adalah varians dari variabel acak X
• f(x) adalah fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari variabel acak X
• ∫ adalah simbol integral
• x adalah nilai variabel acak

Contoh Soal

Misalkan kita memiliki variabel acak X yang mewakili waktu tunggu (dalam menit) di sebuah antrian. Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari X adalah:

f(x) = 1/10, 0 ≤ x ≤ 10
0, lainnya

Hitung nilai harapan dan varians dari waktu tunggu di antrian ini.

Untuk menghitung nilai harapan, kita gunakan rumus:

E[X] = ∫xf(x)dx = ∫₀¹⁰ x(1/10)dx = (1/20)x² |₀¹⁰ = 5

Jadi, nilai harapan dari waktu tunggu di antrian ini adalah 5 menit.

Untuk menghitung varians, kita gunakan rumus:

Var[X] = ∫(x-E[X])²f(x)dx = ∫₀¹⁰ (x-5)²(1/10)dx = (1/30)(x-5)³ |₀¹⁰ = 8.33

Jadi, varians dari waktu tunggu di antrian ini adalah 8.33 menit².

Makna Nilai Harapan dan Varian

Dalam konteks distribusi peluang kontinu, nilai harapan dan varians memiliki makna yang penting:

• Nilai Harapan: Nilai harapan mewakili nilai rata-rata yang diharapkan dari variabel acak kontinu. Dalam contoh waktu tunggu di antrian, nilai harapan 5 menit menunjukkan bahwa secara rata-rata, seseorang dapat mengharapkan untuk menunggu 5 menit di antrian tersebut.
• Varian: Varian mengukur sebaran data atau penyimpangan dari nilai harapan. Semakin besar nilai varians, semakin tersebar data. Dalam contoh waktu tunggu di antrian, varians 8.33 menit² menunjukkan bahwa waktu tunggu di antrian dapat bervariasi cukup besar di sekitar nilai harapan 5 menit. Ini berarti bahwa beberapa orang mungkin menunggu lebih lama dari 5 menit, sementara yang lain mungkin menunggu lebih singkat.

Penerapan Distribusi Peluang Kontinu

Distribusi peluang kontinu merupakan konsep fundamental dalam probabilitas dan statistika. Distribusi ini menggambarkan kemungkinan nilai variabel acak kontinu, yang dapat mengambil nilai apa pun dalam rentang tertentu. Pemahaman tentang distribusi peluang kontinu sangat penting dalam berbagai bidang seperti statistika, ilmu ekonomi, dan ilmu teknik, karena memungkinkan kita untuk menganalisis dan memprediksi peristiwa acak yang terjadi secara berkelanjutan.

Contoh Penerapan Distribusi Peluang Kontinu

Distribusi peluang kontinu memiliki berbagai aplikasi dalam kehidupan nyata. Berikut adalah beberapa contoh:

• Statistika: Distribusi normal, yang merupakan distribusi peluang kontinu yang paling umum, digunakan untuk menganalisis data yang terdistribusi secara normal, seperti tinggi badan, berat badan, atau nilai ujian. Distribusi normal juga digunakan dalam pengujian hipotesis dan interval kepercayaan.
• Ilmu Ekonomi: Distribusi eksponensial digunakan untuk memodelkan waktu tunggu antara peristiwa, seperti waktu tunggu pelanggan di antrean atau waktu kerusakan mesin. Distribusi log-normal digunakan untuk memodelkan distribusi pendapatan dan harga saham.
• Ilmu Teknik: Distribusi Weibull digunakan untuk memodelkan ketahanan material dan umur komponen. Distribusi gamma digunakan untuk memodelkan waktu tunggu antara peristiwa dalam proses Poisson.

Ilustrasi Penerapan Distribusi Peluang Kontinu

Bayangkan Anda adalah seorang manajer produksi di pabrik yang memproduksi komponen elektronik. Anda ingin memastikan bahwa komponen yang diproduksi memiliki kualitas yang konsisten. Anda mengetahui bahwa panjang komponen harus berada dalam rentang tertentu agar dapat berfungsi dengan baik. Untuk memastikan kualitas komponen, Anda dapat menggunakan distribusi normal untuk memodelkan panjang komponen. Dengan menggunakan distribusi normal, Anda dapat menghitung probabilitas bahwa komponen yang diproduksi memiliki panjang di luar rentang yang diizinkan. Jika probabilitas ini terlalu tinggi, Anda dapat mengambil tindakan untuk memperbaiki proses produksi dan meningkatkan kualitas komponen.

Manfaat Mempelajari Distribusi Peluang Kontinu

Mempelajari distribusi peluang kontinu memiliki beberapa manfaat:

• Menganalisis dan memprediksi peristiwa acak: Distribusi peluang kontinu memungkinkan kita untuk menganalisis dan memprediksi peristiwa acak yang terjadi secara berkelanjutan. Contohnya, kita dapat menggunakan distribusi normal untuk memprediksi probabilitas bahwa suhu ruangan akan berada di atas batas tertentu.
• Membuat keputusan yang lebih baik: Pemahaman tentang distribusi peluang kontinu membantu kita membuat keputusan yang lebih baik dalam berbagai konteks. Contohnya, seorang manajer keuangan dapat menggunakan distribusi log-normal untuk memprediksi nilai portofolio investasi di masa depan.
• Meningkatkan efisiensi dan efektivitas: Penerapan distribusi peluang kontinu dapat meningkatkan efisiensi dan efektivitas dalam berbagai bidang, seperti manufaktur, keuangan, dan kesehatan. Contohnya, perusahaan manufaktur dapat menggunakan distribusi Weibull untuk memprediksi umur komponen dan merencanakan jadwal pemeliharaan yang optimal.

Soal Latihan Distribusi Peluang Kontinu

Distribusi peluang kontinu merupakan konsep penting dalam statistika. Distribusi ini menggambarkan peluang suatu variabel acak kontinu mengambil nilai dalam suatu interval tertentu. Dalam soal latihan berikut, kita akan menjelajahi berbagai jenis distribusi peluang kontinu dan bagaimana mengaplikasikannya dalam situasi nyata.

Soal Latihan 1: Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial sering digunakan untuk memodelkan waktu tunggu hingga suatu kejadian terjadi. Misalnya, waktu tunggu hingga lampu merah berganti hijau, waktu tunggu hingga kerusakan mesin, atau waktu tunggu hingga panggilan telepon masuk.

• Sebuah toko menerima rata-rata 5 pelanggan per jam. Asumsikan bahwa waktu tunggu antara kedatangan pelanggan mengikuti distribusi eksponensial. Berapa peluang bahwa waktu tunggu hingga pelanggan berikutnya datang lebih dari 15 menit?

Petunjuk: Rata-rata waktu tunggu antara kedatangan pelanggan adalah 1/5 jam atau 12 menit. Gunakan rumus distribusi eksponensial untuk menghitung peluang.

Jawaban: Peluang waktu tunggu lebih dari 15 menit adalah sekitar 0.2865.

Pembahasan: Rumus distribusi eksponensial untuk peluang waktu tunggu lebih dari t adalah:

P(X > t) = e^(-λt)

di mana λ adalah rata-rata waktu tunggu. Dalam kasus ini, λ = 1/12 jam. Maka, peluang waktu tunggu lebih dari 15 menit (0.25 jam) adalah:

P(X > 0.25) = e^(-1/12 * 0.25) ≈ 0.2865

Soal Latihan 2: Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi peluang kontinu yang paling umum digunakan. Banyak variabel acak dalam kehidupan nyata, seperti tinggi badan, berat badan, dan nilai ujian, mengikuti distribusi normal.

• Tinggi badan pria dewasa di suatu negara memiliki distribusi normal dengan rata-rata 175 cm dan standar deviasi 5 cm. Berapa peluang bahwa tinggi badan pria dewasa secara acak yang dipilih dari negara tersebut berada antara 170 cm dan 180 cm?

Petunjuk: Standarisasi nilai tinggi badan menggunakan rumus z-score dan gunakan tabel distribusi normal standar untuk mencari peluang.

Jawaban: Peluang tinggi badan berada antara 170 cm dan 180 cm adalah sekitar 0.6827.

Pembahasan: Z-score untuk 170 cm adalah (170-175)/5 = -1, dan z-score untuk 180 cm adalah (180-175)/5 = 1. Dari tabel distribusi normal standar, peluang z-score berada antara -1 dan 1 adalah sekitar 0.6827.

Soal Latihan 3: Distribusi Seragam

Distribusi seragam memberikan peluang yang sama untuk semua nilai dalam suatu interval tertentu. Contohnya, jika kita menghasilkan bilangan acak antara 0 dan 1, maka setiap bilangan memiliki peluang yang sama untuk muncul.

• Sebuah mesin menghasilkan bilangan acak antara 0 dan 10. Berapa peluang bahwa bilangan acak yang dihasilkan berada antara 3 dan 7?

Petunjuk: Peluang dihitung sebagai rasio panjang interval yang diinginkan terhadap panjang total interval.

Jawaban: Peluang bilangan acak berada antara 3 dan 7 adalah 0.4.

Pembahasan: Panjang interval yang diinginkan adalah 7-3 = 4. Panjang total interval adalah 10-0 = 10. Maka, peluangnya adalah 4/10 = 0.4.

Soal Latihan 4: Distribusi Chi-Square

Distribusi chi-square digunakan dalam berbagai pengujian hipotesis, khususnya untuk menguji independensi antara variabel kategorikal dan untuk menguji kesesuaian antara distribusi frekuensi observasi dengan distribusi frekuensi yang diharapkan.

• Sebuah survei dilakukan untuk menguji preferensi terhadap dua merek minuman ringan. Dari 100 responden, 60 orang memilih merek A dan 40 orang memilih merek B. Hitung statistik chi-square untuk menguji apakah ada perbedaan signifikan dalam preferensi terhadap kedua merek.

Petunjuk: Hitung frekuensi yang diharapkan untuk setiap merek, lalu gunakan rumus chi-square untuk menghitung statistik chi-square.

Jawaban: Statistik chi-square adalah sekitar 4. Dengan derajat kebebasan 1, nilai p adalah sekitar 0.05.

Pembahasan: Frekuensi yang diharapkan untuk setiap merek adalah 50. Statistik chi-square dihitung sebagai:

χ^2 = Σ[(O-E)^2/E]

di mana O adalah frekuensi observasi dan E adalah frekuensi yang diharapkan. Dalam kasus ini, statistik chi-square adalah:

χ^2 = [(60-50)^2/50] + [(40-50)^2/50] = 4

Dengan derajat kebebasan 1, nilai p adalah sekitar 0.05. Ini menunjukkan bahwa ada bukti signifikan bahwa preferensi terhadap kedua merek berbeda.

Soal Latihan 5: Distribusi t

Distribusi t digunakan dalam pengujian hipotesis dan interval kepercayaan ketika standar deviasi populasi tidak diketahui. Distribusi t mirip dengan distribusi normal, tetapi memiliki ekor yang lebih tebal, yang mencerminkan ketidakpastian yang lebih besar ketika standar deviasi populasi tidak diketahui.

• Sebuah sampel acak dari 10 siswa diambil untuk mengukur nilai ujian mereka. Rata-rata sampel adalah 75 dan standar deviasi sampel adalah 5. Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata nilai ujian populasi.

Petunjuk: Gunakan rumus interval kepercayaan untuk rata-rata populasi, dengan menggunakan statistik t yang sesuai dengan derajat kebebasan sampel.

Jawaban: Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata nilai ujian populasi adalah sekitar (71.8, 78.2).

Pembahasan: Rumus interval kepercayaan untuk rata-rata populasi adalah:

CI = x̄ ± tα/2 * s/√n

di mana x̄ adalah rata-rata sampel, s adalah standar deviasi sampel, n adalah ukuran sampel, dan tα/2 adalah statistik t yang sesuai dengan derajat kebebasan sampel dan tingkat kepercayaan. Dalam kasus ini, derajat kebebasan adalah 9, dan statistik tα/2 untuk tingkat kepercayaan 95% adalah sekitar 2.262. Maka, interval kepercayaan adalah:

CI = 75 ± 2.262 * 5/√10 ≈ (71.8, 78.2)

Simpulan Akhir

Mempelajari distribusi peluang kontinu membuka pintu untuk memahami dan memprediksi berbagai fenomena dunia nyata. Dari mengukur peluang suatu produk gagal hingga memprediksi fluktuasi harga saham, distribusi peluang kontinu memberikan kerangka kerja yang kuat untuk analisis data dan pengambilan keputusan.