Contoh Soal Kombinasi Beserta Jawabannya: Pahami Cara Menghitung Kemungkinan

Contoh soal kombinasi beserta jawabannya – Pernahkah kamu bertanya-tanya berapa banyak cara untuk memilih 3 teman dari 5 orang untuk diajak bermain? Atau mungkin kamu penasaran berapa banyak kemungkinan kombinasi angka dalam undian berhadiah? Nah, di situlah konsep kombinasi dalam matematika berperan. Kombinasi membantu kita menghitung jumlah kemungkinan susunan yang berbeda dari suatu kumpulan objek, tanpa memperhatikan urutannya. Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi dunia kombinasi dengan contoh soal yang menarik dan solusi lengkapnya, sehingga kamu dapat memahami konsep ini dengan lebih baik.

Kombinasi merupakan bagian penting dari matematika yang diaplikasikan dalam berbagai bidang seperti peluang, statistika, dan ilmu komputer. Dengan memahami konsep ini, kamu akan mampu menyelesaikan berbagai macam permasalahan yang melibatkan pemilihan atau pengelompokan objek.

Pengertian Kombinasi

Kombinasi dalam matematika adalah cara memilih sejumlah objek dari kumpulan objek yang lebih besar tanpa memperhatikan urutannya. Artinya, urutan objek yang dipilih tidak penting, yang penting adalah objek-objek yang terpilih.

Contoh Kombinasi dalam Kehidupan Sehari-hari

Bayangkan kamu ingin memilih 3 teman untuk pergi ke bioskop dari 5 temanmu. Dalam hal ini, urutan pemilihan teman tidak penting. Apakah kamu memilih teman A, lalu B, lalu C, atau memilih teman C, lalu B, lalu A, hasilnya tetap sama: kamu pergi ke bioskop dengan teman A, B, dan C.

Contoh lainnya adalah ketika kamu ingin memilih 2 kue dari 5 kue yang berbeda di toko kue. Urutan pemilihan kue tidak penting. Kamu bisa memilih kue A lalu B, atau kue B lalu A, hasilnya tetap sama: kamu mendapatkan kue A dan B.

Rumus Umum Kombinasi

Rumus umum untuk menghitung kombinasi adalah sebagai berikut:

nCr = n! / (r! * (n-r)!)

Dimana:

• n adalah jumlah total objek
• r adalah jumlah objek yang dipilih
• ! adalah faktorial, yaitu perkalian semua bilangan bulat positif dari 1 hingga n (misalnya, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120)

Perbedaan Kombinasi dan Permutasi

Dalam matematika, kombinasi dan permutasi adalah dua konsep penting yang digunakan untuk menghitung jumlah cara memilih atau mengatur objek dari suatu set. Kedua konsep ini seringkali membingungkan karena keduanya berkaitan dengan pemilihan dan pengaturan, namun keduanya memiliki perbedaan yang signifikan.

Perbedaan Kombinasi dan Permutasi

Perbedaan mendasar antara kombinasi dan permutasi terletak pada urutan pemilihan objek. Dalam kombinasi, urutan pemilihan objek tidak menjadi pertimbangan, sedangkan dalam permutasi, urutan pemilihan objek menjadi pertimbangan.

Tabel Perbandingan Kombinasi dan Permutasi

Nama	Definisi	Rumus	Contoh
Kombinasi	Cara memilih objek dari suatu set tanpa memperhatikan urutan pemilihan.	nCr = n! / (r! * (n-r)!)	Misalnya, memilih 3 bola dari 5 bola berbeda.
Permutasi	Cara mengatur objek dari suatu set dengan memperhatikan urutan pemilihan.	nPr = n! / (n-r)!	Misalnya, mengatur 3 buku berbeda di rak.

Contoh Soal yang Membedakan Kombinasi dan Permutasi

Misalnya, kita ingin membentuk tim bola basket yang terdiri dari 5 orang dari 10 pemain. Pertanyaan yang muncul adalah:

1. Berapa banyak tim yang dapat dibentuk?
2. Berapa banyak susunan tim yang berbeda yang dapat dibentuk?

Untuk menjawab pertanyaan pertama, kita menggunakan konsep kombinasi karena urutan pemilihan pemain tidak menjadi pertimbangan. Jawabannya adalah ¹⁰C₅ = 252. Artinya, ada 252 tim yang dapat dibentuk.

Untuk menjawab pertanyaan kedua, kita menggunakan konsep permutasi karena urutan pemilihan pemain menjadi pertimbangan. Jawabannya adalah ¹⁰P₅ = 30.240. Artinya, ada 30.240 susunan tim yang berbeda yang dapat dibentuk.

Contoh Soal Kombinasi

Kombinasi dalam matematika adalah cara memilih beberapa objek dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutannya. Kombinasi sangat berguna dalam berbagai bidang seperti statistika, probabilitas, dan ilmu komputer. Untuk lebih memahami konsep kombinasi, mari kita lihat beberapa contoh soal dan penyelesaiannya.

Contoh Soal Kombinasi 1

Sebuah kelas terdiri dari 10 siswa. Berapa banyak cara untuk memilih 3 siswa untuk mengikuti lomba?

Penyelesaian:

1. Identifikasi jumlah total objek: Ada 10 siswa.
2. Identifikasi jumlah objek yang dipilih: Kita ingin memilih 3 siswa.
3. Gunakan rumus kombinasi: ⁿC_r = n! / (r! * (n-r)!)
4. Substitusikan nilai n dan r: ¹⁰C₃ = 10! / (3! * (10-3)!)
5. Hitung hasilnya: ¹⁰C₃ = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 120

Jadi, ada 120 cara untuk memilih 3 siswa dari 10 siswa.

Contoh Soal Kombinasi 2

Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Berapa banyak cara untuk memilih 2 bola merah dan 1 bola biru?

Penyelesaian:

1. Hitung cara memilih 2 bola merah dari 5 bola merah: ⁵C₂ = 5! / (2! * 3!) = 10
2. Hitung cara memilih 1 bola biru dari 3 bola biru: ³C₁ = 3! / (1! * 2!) = 3
3. Kalikan kedua hasil untuk mendapatkan total cara: 10 * 3 = 30

Jadi, ada 30 cara untuk memilih 2 bola merah dan 1 bola biru.

Contoh Soal Kombinasi 3

Sebuah panitia terdiri dari 7 orang. Berapa banyak cara untuk memilih ketua, sekretaris, dan bendahara?

Penyelesaian:

1. Identifikasi jumlah total objek: Ada 7 orang.
2. Identifikasi jumlah objek yang dipilih: Kita ingin memilih 3 orang.
3. Gunakan rumus kombinasi: ⁿC_r = n! / (r! * (n-r)!)
4. Substitusikan nilai n dan r: ⁷C₃ = 7! / (3! * (7-3)!)
5. Hitung hasilnya: ⁷C₃ = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35

Jadi, ada 35 cara untuk memilih ketua, sekretaris, dan bendahara.

Contoh Soal Kombinasi 4

Sebuah toko menjual 10 jenis kue. Berapa banyak cara untuk memilih 4 jenis kue yang berbeda?

Penyelesaian:

1. Identifikasi jumlah total objek: Ada 10 jenis kue.
2. Identifikasi jumlah objek yang dipilih: Kita ingin memilih 4 jenis kue.
3. Gunakan rumus kombinasi: ⁿC_r = n! / (r! * (n-r)!)
4. Substitusikan nilai n dan r: ¹⁰C₄ = 10! / (4! * (10-4)!)
5. Hitung hasilnya: ¹⁰C₄ = 10! / (4! * 6!) = (10 * 9 * 8 * 7) / (4 * 3 * 2 * 1) = 210

Jadi, ada 210 cara untuk memilih 4 jenis kue yang berbeda.

Contoh Soal Kombinasi 5

Sebuah tim sepak bola terdiri dari 11 pemain. Berapa banyak cara untuk memilih 5 pemain untuk menjadi starter?

Penyelesaian:

1. Identifikasi jumlah total objek: Ada 11 pemain.
2. Identifikasi jumlah objek yang dipilih: Kita ingin memilih 5 pemain.
3. Gunakan rumus kombinasi: ⁿC_r = n! / (r! * (n-r)!)
4. Substitusikan nilai n dan r: ¹¹C₅ = 11! / (5! * (11-5)!)
5. Hitung hasilnya: ¹¹C₅ = 11! / (5! * 6!) = (11 * 10 * 9 * 8 * 7) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 462

Jadi, ada 462 cara untuk memilih 5 pemain untuk menjadi starter.

Penerapan Kombinasi dalam Kehidupan Nyata

Konsep kombinasi, yang mempelajari cara memilih elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutannya, ternyata memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang kehidupan. Dari olahraga hingga sains dan ekonomi, kombinasi memainkan peran penting dalam pengambilan keputusan, perencanaan, dan analisis data.

Penerapan Kombinasi dalam Olahraga

Kombinasi digunakan dalam olahraga untuk menentukan strategi dan taktik yang optimal. Berikut adalah beberapa contohnya:

• Pemilihan Pemain: Dalam olahraga tim, pelatih menggunakan kombinasi untuk memilih pemain terbaik dari kumpulan yang tersedia. Misalnya, pelatih sepak bola mungkin perlu memilih 11 pemain dari 20 pemain yang ada untuk membentuk tim inti. Kombinasi membantu pelatih dalam menentukan kombinasi pemain yang paling efektif berdasarkan posisi, kemampuan, dan strategi permainan.
• Strategi Serangan: Dalam permainan seperti basket atau sepak bola, kombinasi digunakan untuk merancang strategi serangan yang efektif. Misalnya, dalam basket, tim dapat menggunakan kombinasi berbagai gerakan dan pola untuk menciptakan peluang mencetak poin. Pelatih menggunakan kombinasi untuk merancang strategi yang sulit diprediksi oleh lawan.
• Strategi Pertahanan: Kombinasi juga digunakan dalam strategi pertahanan. Misalnya, dalam sepak bola, tim dapat menggunakan kombinasi pemain untuk menutupi berbagai posisi di lapangan, sehingga sulit bagi lawan untuk menembus pertahanan.

Manfaat penerapan kombinasi dalam olahraga adalah membantu pelatih dalam:

• Memilih pemain terbaik untuk membentuk tim yang kompetitif.
• Merancang strategi serangan dan pertahanan yang efektif.
• Meningkatkan peluang keberhasilan dalam pertandingan.

Penerapan Kombinasi dalam Sains

Dalam sains, kombinasi digunakan untuk menganalisis data dan melakukan eksperimen. Berikut adalah beberapa contohnya:

• Analisis Genetika: Kombinasi digunakan dalam genetika untuk menganalisis kemungkinan kombinasi gen yang diwariskan dari orang tua ke anak. Misalnya, dalam studi pewarisan sifat, kombinasi membantu para ilmuwan untuk memahami bagaimana gen yang berbeda dapat bergabung untuk menghasilkan fenotipe yang berbeda.
• Kimia: Kombinasi digunakan dalam kimia untuk mempelajari reaksi kimia dan menentukan kemungkinan produk yang dihasilkan. Misalnya, dalam reaksi organik, kombinasi digunakan untuk memahami bagaimana atom dan molekul dapat bergabung untuk membentuk molekul baru.
• Fisika: Kombinasi digunakan dalam fisika untuk mempelajari sistem partikel dan menentukan kemungkinan konfigurasi. Misalnya, dalam mekanika statistik, kombinasi digunakan untuk menghitung jumlah kemungkinan konfigurasi yang dapat diambil oleh sistem partikel.

Manfaat penerapan kombinasi dalam sains adalah membantu para ilmuwan dalam:

• Menganalisis data dan memahami pola yang kompleks.
• Melakukan eksperimen yang akurat dan terkontrol.
• Membuat prediksi dan mengembangkan teori baru.

Penerapan Kombinasi dalam Ekonomi

Kombinasi digunakan dalam ekonomi untuk menganalisis pilihan konsumen, memprediksi permintaan, dan mengelola sumber daya. Berikut adalah beberapa contohnya:

• Pilihan Konsumen: Kombinasi digunakan untuk menganalisis bagaimana konsumen memilih kombinasi barang dan jasa yang paling optimal untuk memenuhi kebutuhan mereka, mengingat kendala anggaran dan preferensi mereka. Misalnya, seorang konsumen mungkin harus memilih antara membeli mobil baru atau berlibur ke luar negeri, dan kombinasi membantu dalam menganalisis pilihan yang paling menguntungkan.
• Prediksi Permintaan: Kombinasi digunakan untuk memprediksi permintaan terhadap suatu produk atau jasa. Misalnya, perusahaan dapat menggunakan kombinasi data historis dan tren pasar untuk memprediksi permintaan terhadap produk baru yang akan diluncurkan.
• Manajemen Sumber Daya: Kombinasi digunakan untuk mengelola sumber daya secara efisien. Misalnya, perusahaan dapat menggunakan kombinasi berbagai sumber daya untuk memproduksi barang atau jasa dengan biaya yang paling rendah.

Manfaat penerapan kombinasi dalam ekonomi adalah membantu dalam:

• Membuat keputusan yang lebih baik tentang alokasi sumber daya.
• Memprediksi permintaan dan mengelola risiko.
• Meningkatkan efisiensi dan keuntungan.

Soal Kombinasi dengan Keterbatasan: Contoh Soal Kombinasi Beserta Jawabannya

Dalam dunia matematika, khususnya kombinatorika, konsep kombinasi membantu kita menghitung banyaknya cara memilih objek dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutannya. Namun, dalam banyak kasus, pemilihan objek mungkin memiliki batasan tertentu yang perlu dipertimbangkan. Keterbatasan ini dapat berupa syarat, kriteria, atau aturan yang membatasi pilihan kita. Artikel ini akan membahas tentang contoh soal kombinasi dengan keterbatasan, cara menyelesaikannya, dan bagaimana keterbatasan tersebut memengaruhi cara penyelesaian soal.

Contoh Soal Kombinasi dengan Keterbatasan

Misalnya, kita ingin membentuk tim bola voli dengan 6 pemain dari 10 calon pemain. Namun, terdapat keterbatasan bahwa tim harus terdiri dari 3 pemain putra dan 3 pemain putri. Bagaimana kita bisa menghitung banyaknya cara untuk membentuk tim dengan keterbatasan tersebut?

Solusi Soal Kombinasi dengan Keterbatasan

Untuk menyelesaikan soal kombinasi dengan keterbatasan, kita perlu membagi masalah menjadi beberapa bagian dan menghitung kombinasi untuk setiap bagian. Dalam kasus ini, kita perlu menghitung kombinasi untuk memilih pemain putra dan kombinasi untuk memilih pemain putri, kemudian mengalikan keduanya untuk mendapatkan total kombinasi tim.

• Memilih pemain putra: Kita perlu memilih 3 pemain putra dari 10 calon pemain putra. Jumlah cara untuk memilih 3 pemain putra dari 10 adalah ¹⁰C₃ = (10!)/(3!7!) = 120.
• Memilih pemain putri: Kita perlu memilih 3 pemain putri dari 10 calon pemain putri. Jumlah cara untuk memilih 3 pemain putri dari 10 adalah ¹⁰C₃ = (10!)/(3!7!) = 120.

Untuk mendapatkan total kombinasi tim, kita mengalikan jumlah cara memilih pemain putra dengan jumlah cara memilih pemain putri: 120 x 120 = 14.400.

Pengaruh Keterbatasan terhadap Cara Penyelesaian Soal

Keterbatasan dalam soal kombinasi memengaruhi cara penyelesaian dengan beberapa cara:

• Pemisahan masalah: Keterbatasan seringkali mengharuskan kita untuk membagi masalah menjadi beberapa bagian yang lebih kecil dan menghitung kombinasi untuk setiap bagian secara terpisah.
• Penggunaan rumus kombinasi yang dimodifikasi: Dalam beberapa kasus, kita mungkin perlu menggunakan rumus kombinasi yang dimodifikasi untuk memperhitungkan keterbatasan yang ada.
• Penghitungan kombinasi dengan keterbatasan: Keterbatasan dapat membatasi jumlah kombinasi yang mungkin, sehingga hasil akhir akan berbeda dengan hasil kombinasi tanpa keterbatasan.

Soal Kombinasi dengan Faktor Ekstra

Soal kombinasi dengan faktor ekstra merupakan variasi dari soal kombinasi dasar. Faktor ekstra ini dapat berupa batasan, kondisi khusus, atau peluang tertentu yang memengaruhi cara kita memilih elemen dalam suatu himpunan. Contohnya, dalam pemilihan hadiah, kita mungkin memiliki batasan jumlah hadiah yang bisa dipilih, atau peluang tertentu untuk mendapatkan hadiah tertentu.

Contoh Soal Kombinasi dengan Faktor Ekstra, Contoh soal kombinasi beserta jawabannya

Misalkan ada 10 orang yang mengikuti undian berhadiah. Hadiahnya adalah 3 buah smartphone, 2 buah tablet, dan 5 buah power bank. Setiap orang berhak mendapatkan satu hadiah. Berapakah banyaknya cara untuk menentukan pemenang hadiah?

Solusi

Dalam soal ini, faktor ekstra yang memengaruhi cara penyelesaian adalah jenis hadiah yang berbeda. Kita perlu mempertimbangkan kombinasi untuk setiap jenis hadiah.

• Untuk smartphone, kita perlu memilih 3 orang dari 10 orang. Kombinasinya adalah ¹⁰C₃ = 120.
• Untuk tablet, kita perlu memilih 2 orang dari 7 orang yang tersisa (karena 3 orang sudah terpilih untuk smartphone). Kombinasinya adalah ⁷C₂ = 21.
• Untuk power bank, kita perlu memilih 5 orang dari 5 orang yang tersisa. Kombinasinya adalah ⁵C₅ = 1.

Untuk menentukan banyaknya cara untuk menentukan pemenang hadiah, kita kalikan semua kombinasi tersebut:

120 x 21 x 1 = 2520

Jadi, ada 2520 cara untuk menentukan pemenang hadiah.

Bagaimana Faktor Ekstra Memengaruhi Cara Penyelesaian Soal

Faktor ekstra dalam soal kombinasi memengaruhi cara penyelesaian dengan beberapa cara:

• Membuat pembatasan dalam pemilihan elemen. Contohnya, dalam soal di atas, batasannya adalah jumlah hadiah yang tersedia untuk setiap jenis hadiah. Ini membuat kita perlu menghitung kombinasi untuk setiap jenis hadiah secara terpisah.
• Menambahkan kondisi khusus. Kondisi khusus ini dapat berupa batasan jumlah elemen yang bisa dipilih, atau persyaratan tertentu yang harus dipenuhi. Contohnya, jika dalam soal di atas, terdapat batasan bahwa setiap orang hanya boleh mendapatkan satu hadiah, maka kita perlu mempertimbangkan kondisi ini dalam menghitung kombinasi.
• Menentukan peluang tertentu. Peluang tertentu ini dapat berupa probabilitas mendapatkan hadiah tertentu. Contohnya, jika dalam soal di atas, peluang mendapatkan smartphone lebih tinggi daripada tablet, maka kita perlu mempertimbangkan peluang ini dalam menghitung kombinasi.

Dengan memahami faktor ekstra dalam soal kombinasi, kita dapat menyelesaikan soal dengan lebih tepat dan akurat.

Soal Kombinasi dengan Variasi

Kombinasi merupakan cara pemilihan elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutannya. Namun, dalam beberapa kasus, kita perlu mempertimbangkan urutan elemen tersebut. Dalam situasi ini, kita perlu menggunakan kombinasi dengan variasi, yang melibatkan kombinasi dan permutasi.

Contoh Soal Kombinasi dengan Variasi

Misalnya, sebuah tim sepak bola terdiri dari 11 pemain. Kita ingin memilih 3 pemain untuk menjadi kapten, wakil kapten, dan pemain terbaik. Dalam kasus ini, kita perlu mempertimbangkan urutan pemilihan pemain karena posisi kapten, wakil kapten, dan pemain terbaik berbeda.

Solusi Soal

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan kombinasi dan permutasi. Pertama, kita memilih 3 pemain dari 11 pemain untuk menjadi kapten, wakil kapten, dan pemain terbaik. Ini adalah kombinasi karena urutan pemilihan tidak penting.

Jumlah cara memilih 3 pemain dari 11 pemain = ¹¹C₃ = (11!)/(3!8!) = 165

Setelah memilih 3 pemain, kita perlu menentukan urutan mereka sebagai kapten, wakil kapten, dan pemain terbaik. Ini adalah permutasi karena urutan pemilihan penting.

Jumlah cara mengatur 3 pemain = 3! = 6

Oleh karena itu, jumlah total cara memilih 3 pemain dan menentukan urutan mereka sebagai kapten, wakil kapten, dan pemain terbaik adalah:

165 x 6 = 990

Variasi dalam Soal Kombinasi

Variasi dalam soal kombinasi dapat muncul dalam berbagai bentuk, seperti:

• Pemilihan anggota tim dengan kombinasi dan permutasi
• Pemilihan komite dengan batasan tertentu
• Penataan objek dengan batasan tertentu

Variasi ini memengaruhi cara penyelesaian soal dengan menambahkan langkah-langkah permutasi untuk mempertimbangkan urutan elemen. Tanpa variasi, kita hanya perlu menggunakan kombinasi untuk menentukan jumlah cara memilih elemen.

Aplikasi Kombinasi dalam Pemrograman

Konsep kombinasi dalam matematika memiliki penerapan yang luas dalam berbagai bidang, termasuk pemrograman. Kombinasi, yang melibatkan pemilihan elemen dari himpunan tanpa memperhatikan urutan, menjadi dasar untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam pengembangan perangkat lunak.

Penerapan Kombinasi dalam Pemrograman

Konsep kombinasi dapat diterapkan dalam berbagai skenario pemrograman, seperti:

• Pembuatan Kata Sandi: Kombinasi digunakan untuk menghitung jumlah kemungkinan kata sandi yang dapat dibuat dengan karakter tertentu. Misalnya, jika kita memiliki 10 karakter dan ingin membuat kata sandi 4 karakter, maka jumlah kemungkinan kata sandi adalah 10C4 (10 kombinasi 4), yaitu 210.
• Pemilihan Data: Kombinasi dapat membantu dalam memilih subset data yang memenuhi kriteria tertentu. Misalnya, dalam program yang mengelola daftar kontak, kita dapat menggunakan kombinasi untuk memilih 5 kontak acak dari daftar 100 kontak.
• Algoritma Pencarian: Kombinasi dapat digunakan dalam algoritma pencarian untuk menemukan solusi yang optimal dari sejumlah kemungkinan. Misalnya, dalam permainan catur, kombinasi dapat digunakan untuk menghitung semua kemungkinan gerakan yang dapat dilakukan oleh pemain.
• Pembuatan Grafik: Kombinasi dapat digunakan untuk menghasilkan berbagai pola dan bentuk dalam grafik. Misalnya, kita dapat menggunakan kombinasi untuk menentukan jumlah cara untuk menghubungkan titik-titik dalam grafik.

Contoh Kode Program Sederhana

Berikut contoh kode program sederhana yang menggunakan konsep kombinasi dalam bahasa Python:


def kombinasi(n, k):
"""Fungsi untuk menghitung kombinasi nCk."""
return math.factorial(n) // (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))

# Contoh penggunaan:
n = 5
k = 2
hasil = kombinasi(n, k)
print(f"Kombinasi nCk adalah hasil")


Kode ini mendefinisikan fungsi kombinasi() yang menghitung kombinasi nCk menggunakan rumus faktorial. Fungsi ini kemudian digunakan untuk menghitung kombinasi 5C2, yang hasilnya adalah 10.

Manfaat Penerapan Kombinasi dalam Pemrograman

Penerapan konsep kombinasi dalam pemrograman memiliki beberapa manfaat, seperti:

• Efisiensi: Kombinasi memungkinkan program untuk memproses data secara efisien dengan memilih subset data yang relevan.
• Fleksibilitas: Kombinasi memberikan fleksibilitas dalam mengelola dan memanipulasi data, memungkinkan program untuk menangani berbagai skenario.
• Akurasi: Kombinasi memastikan akurasi dalam pemilihan data dan penghitungan kemungkinan.

Soal Kombinasi untuk Latihan

Kombinasi adalah cara untuk memilih beberapa objek dari sekumpulan objek tanpa memperhatikan urutannya. Rumus dasar kombinasi adalah:

nCr = n! / (r! * (n-r)!)

Dimana:

• n adalah jumlah total objek
• r adalah jumlah objek yang dipilih
• ! adalah faktorial (misalnya, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Untuk memahami konsep kombinasi lebih dalam, mari kita latihan dengan beberapa soal berikut:

Contoh Soal Kombinasi

Berikut adalah 10 soal kombinasi dengan tingkat kesulitan yang bervariasi, beserta kunci jawabannya:

1. Dari 5 buah apel, berapa banyak cara untuk memilih 3 buah apel?

   Jawaban:

   n = 5, r = 3

   5C3 = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)) = 10

   Jadi, ada 10 cara untuk memilih 3 buah apel dari 5 buah apel.

2. Sebuah kelas terdiri dari 10 siswa. Berapa banyak cara untuk memilih 4 siswa untuk menjadi ketua, sekretaris, bendahara, dan anggota?

   Jawaban:

   n = 10, r = 4

   10C4 = 10! / (4! * (10-4)!) = 10! / (4! * 6!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((4 * 3 * 2 * 1) * (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)) = 210

   Jadi, ada 210 cara untuk memilih 4 siswa untuk menjadi ketua, sekretaris, bendahara, dan anggota.

3. Sebuah kotak berisi 7 bola merah dan 5 bola biru. Berapa banyak cara untuk memilih 3 bola merah dan 2 bola biru?

   Jawaban:

   Cara memilih 3 bola merah dari 7 bola merah: 7C3 = 7! / (3! * (7-3)!) = 35

   Cara memilih 2 bola biru dari 5 bola biru: 5C2 = 5! / (2! * (5-2)!) = 10

   Jadi, total cara untuk memilih 3 bola merah dan 2 bola biru adalah 35 * 10 = 350 cara.

4. Sebuah tim sepak bola terdiri dari 11 pemain. Berapa banyak cara untuk memilih 5 pemain untuk menjadi starter?

   Jawaban:

   n = 11, r = 5

   11C5 = 11! / (5! * (11-5)!) = 11! / (5! * 6!) = (11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((5 * 4 * 3 * 2 * 1) * (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)) = 462

   Jadi, ada 462 cara untuk memilih 5 pemain untuk menjadi starter.

5. Sebuah toko memiliki 8 jenis kue. Berapa banyak cara untuk memilih 3 jenis kue yang berbeda?

   Jawaban:

   n = 8, r = 3

   8C3 = 8! / (3! * (8-3)!) = 8! / (3! * 5!) = (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (5 * 4 * 3 * 2 * 1)) = 56

   Jadi, ada 56 cara untuk memilih 3 jenis kue yang berbeda.

6. Sebuah kelas terdiri dari 15 siswa. Berapa banyak cara untuk memilih 3 siswa untuk menjadi perwakilan kelas?

   Jawaban:

   n = 15, r = 3

   15C3 = 15! / (3! * (15-3)!) = 15! / (3! * 12!) = (15 * 14 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)) = 455

   Jadi, ada 455 cara untuk memilih 3 siswa untuk menjadi perwakilan kelas.

7. Sebuah kotak berisi 6 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola hijau. Berapa banyak cara untuk memilih 2 bola merah, 1 bola biru, dan 1 bola hijau?

   Jawaban:

   Cara memilih 2 bola merah dari 6 bola merah: 6C2 = 6! / (2! * (6-2)!) = 15

   Cara memilih 1 bola biru dari 4 bola biru: 4C1 = 4! / (1! * (4-1)!) = 4

   Cara memilih 1 bola hijau dari 3 bola hijau: 3C1 = 3! / (1! * (3-1)!) = 3

   Jadi, total cara untuk memilih 2 bola merah, 1 bola biru, dan 1 bola hijau adalah 15 * 4 * 3 = 180 cara.

8. Sebuah tim basket terdiri dari 12 pemain. Berapa banyak cara untuk memilih 6 pemain untuk menjadi starter?

   Jawaban:

   n = 12, r = 6

   Contoh soal kombinasi beserta jawabannya memang menarik untuk dipelajari, terutama saat kita ingin memahami konsep peluang dan cara menghitung kemungkinan. Nah, kalau kamu tertarik untuk mempelajari contoh soal lain yang berkaitan dengan momentum dan energi, kamu bisa coba lihat contoh soal inelastis sempurna.

   Di sana, kamu akan menemukan soal-soal yang membahas tentang tumbukan inelastis sempurna, di mana energi kinetik tidak kekal. Setelah memahami konsep inelastis sempurna, kamu bisa kembali ke contoh soal kombinasi dan mencoba menghubungkan keduanya. Dengan begitu, pemahamanmu tentang konsep fisika akan semakin luas dan mendalam.

   12C6 = 12! / (6! * (12-6)!) = 12! / (6! * 6!) = (12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) * (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)) = 924

   Jadi, ada 924 cara untuk memilih 6 pemain untuk menjadi starter.

9. Sebuah restoran memiliki 10 jenis makanan. Berapa banyak cara untuk memilih 4 jenis makanan yang berbeda?

   Jawaban:

   n = 10, r = 4

   10C4 = 10! / (4! * (10-4)!) = 10! / (4! * 6!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((4 * 3 * 2 * 1) * (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)) = 210

   Jadi, ada 210 cara untuk memilih 4 jenis makanan yang berbeda.

10. Sebuah kelas terdiri dari 20 siswa. Berapa banyak cara untuk memilih 5 siswa untuk mengikuti lomba?

    Jawaban:

    n = 20, r = 5

    20C5 = 20! / (5! * (20-5)!) = 20! / (5! * 15!) = (20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((5 * 4 * 3 * 2 * 1) * (15 * 14 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)) = 15,504

    Jadi, ada 15,504 cara untuk memilih 5 siswa untuk mengikuti lomba.

Tips dan Trik untuk Menyelesaikan Soal Kombinasi

Berikut adalah beberapa tips dan trik untuk menyelesaikan soal kombinasi dengan cepat dan tepat:

• Pahami konsep dasar kombinasi dan rumusnya.
• Tentukan nilai n (jumlah total objek) dan r (jumlah objek yang dipilih).
• Gunakan kalkulator atau tabel faktorial untuk menghitung faktorial.
• Jika soal melibatkan pemilihan objek dari beberapa kelompok yang berbeda, hitung kombinasi untuk setiap kelompok secara terpisah dan kalikan hasilnya.
• Latih dengan banyak soal kombinasi untuk meningkatkan pemahaman dan kecepatan.

Materi Pembelajaran Kombinasi

Kombinasi merupakan salah satu konsep penting dalam matematika yang mempelajari cara memilih sejumlah objek dari suatu kumpulan tanpa memperhatikan urutannya. Konsep ini banyak diterapkan dalam berbagai bidang, seperti statistika, probabilitas, dan ilmu komputer. Dalam materi ini, kita akan mempelajari definisi kombinasi, rumus yang digunakan, contoh soal, dan latihan soal untuk mengasah pemahaman kita tentang konsep ini.

Pengertian Kombinasi

Kombinasi adalah cara memilih sejumlah objek dari suatu kumpulan tanpa memperhatikan urutannya. Artinya, jika kita memilih objek A kemudian objek B, hal ini sama dengan memilih objek B kemudian objek A. Untuk memahami perbedaan antara kombinasi dan permutasi, perhatikan contoh berikut:

• Misalnya, kita memiliki 3 buah bola dengan warna merah, biru, dan hijau. Jika kita ingin memilih 2 bola dari ketiga bola tersebut, maka kita memiliki 3 kombinasi yang mungkin, yaitu:
• Merah dan Biru
• Merah dan Hijau
• Biru dan Hijau

Perhatikan bahwa kombinasi Merah dan Biru sama dengan kombinasi Biru dan Merah. Hal ini karena urutan pemilihan tidak dipertimbangkan dalam kombinasi.

Rumus Kombinasi

Rumus kombinasi digunakan untuk menghitung jumlah kombinasi yang mungkin dari suatu kumpulan objek. Rumus ini dilambangkan dengan simbol “C” dan didefinisikan sebagai berikut:

C(n, r) = n! / (r! * (n – r)!)

di mana:

• n adalah jumlah total objek dalam kumpulan
• r adalah jumlah objek yang dipilih
• ! adalah simbol faktorial, yang didefinisikan sebagai hasil perkalian semua bilangan bulat positif dari 1 sampai n. Misalnya, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

Contoh Soal Kombinasi

Berikut ini adalah contoh soal kombinasi beserta jawabannya:

1. Sebuah tim sepak bola terdiri dari 11 pemain. Berapa banyak cara untuk memilih 5 pemain dari 11 pemain tersebut untuk menjadi starter?

Penyelesaian:

Dalam kasus ini, kita ingin memilih 5 pemain dari 11 pemain, tanpa memperhatikan urutannya. Jadi, kita menggunakan rumus kombinasi:

C(11, 5) = 11! / (5! * (11 – 5)!) = 11! / (5! * 6!) = 462

Jadi, ada 462 cara untuk memilih 5 pemain dari 11 pemain untuk menjadi starter.

Latihan Soal Kombinasi

Berikut adalah beberapa latihan soal untuk menguji pemahaman Anda tentang kombinasi:

1. Dari 7 buah buku, berapa banyak cara untuk memilih 3 buku?
2. Sebuah kelas terdiri dari 20 siswa. Berapa banyak cara untuk memilih 3 siswa untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara?
3. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Berapa banyak cara untuk memilih 2 bola dari kotak tersebut?

Diagram Alur Pembelajaran Kombinasi

Berikut adalah diagram alur pembelajaran kombinasi yang menunjukkan urutan materi:

Diagram alur pembelajaran kombinasi:

• Pengertian Kombinasi
• Rumus Kombinasi
• Contoh Soal Kombinasi
• Latihan Soal Kombinasi

Sumber Belajar Tambahan

Berikut adalah beberapa sumber belajar tambahan yang dapat Anda gunakan untuk mempelajari kombinasi secara lebih mendalam:

• Buku teks matematika tingkat SMA atau perguruan tinggi
• Website edukasi online seperti Khan Academy, Coursera, dan edX
• Video tutorial di YouTube

Penutupan Akhir

Dengan memahami konsep kombinasi, kamu akan mampu menyelesaikan berbagai permasalahan yang melibatkan pemilihan atau pengelompokan objek. Mulai dari memilih tim olahraga hingga menghitung peluang memenangkan undian, kombinasi memberikan kita alat yang powerful untuk memahami dan menghitung kemungkinan yang ada di sekitar kita.