Contoh Soal Melengkapkan Kuadrat Sempurna: Solusi Cerdas untuk Persamaan Kuadrat

Contoh soal melengkapkan kuadrat sempurna – Pernahkah kamu menemukan persamaan kuadrat yang sulit difaktorkan? Tenang, ada cara jitu untuk menyelesaikannya, yaitu dengan metode melengkapkan kuadrat sempurna. Metode ini memungkinkan kita mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna, sehingga memudahkan kita dalam mencari akar-akarnya.

Melengkapkan kuadrat sempurna merupakan teknik yang ampuh dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Dengan memahami langkah-langkahnya, kamu akan mampu menyelesaikan berbagai jenis persamaan kuadrat, bahkan yang tampak rumit sekalipun.

Pengertian Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Melengkapkan kuadrat sempurna merupakan teknik aljabar yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Teknik ini mengubah bentuk persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna, sehingga akar-akar persamaan dapat ditemukan dengan mudah. Teknik ini sangat berguna untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak dapat difaktorkan secara langsung.

Konsep Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Konsep utama dalam melengkapkan kuadrat sempurna adalah mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk (x + a)² atau (x – a)², di mana a adalah konstanta. Bentuk ini disebut kuadrat sempurna karena merupakan hasil kuadrat dari suatu binomial.

Contoh Persamaan Kuadrat

Misalkan kita memiliki persamaan kuadrat x² + 6x + 5 = 0. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan metode melengkapkan kuadrat sempurna.

Langkah-langkah Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Berikut langkah-langkah umum dalam metode melengkapkan kuadrat sempurna:

1. Pindahkan konstanta ke ruas kanan persamaan.
2. Bagi koefisien suku x dengan 2, lalu kuadratkan hasilnya.
3. Tambahkan hasil kuadrat pada kedua ruas persamaan.
4. Faktorkan ruas kiri persamaan menjadi kuadrat sempurna.
5. Akar kuadratkan kedua ruas persamaan.
6. Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai x.

Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Melengkapkan kuadrat sempurna adalah teknik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Teknik ini mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna, sehingga kita dapat dengan mudah mencari akar-akarnya.

Langkah-langkah Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Berikut langkah-langkah yang perlu dilakukan untuk melengkapkan kuadrat sempurna pada persamaan kuadrat:

• Pastikan koefisien dari suku kuadrat adalah 1. Jika tidak, bagi kedua sisi persamaan dengan koefisien tersebut.
• Pindahkan konstanta ke sisi kanan persamaan.
• Ambil setengah dari koefisien suku x, kuadratkan, dan tambahkan ke kedua sisi persamaan. Nilai yang ditambahkan ini adalah konstanta yang diperlukan untuk melengkapi kuadrat sempurna.
• Sederhanakan persamaan dengan menggabungkan konstanta di sisi kanan.
• Faktorkan sisi kiri persamaan sebagai kuadrat sempurna.
• Akar kuadratkan kedua sisi persamaan.
• Selesaikan persamaan untuk mencari nilai x.

Contoh Soal

Misalkan kita memiliki persamaan kuadrat berikut:

x² + 6x – 7 = 0

Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan tersebut dengan metode melengkapkan kuadrat sempurna adalah sebagai berikut:

1. Koefisien dari suku kuadrat sudah 1, jadi langkah ini tidak perlu dilakukan.
2. Pindahkan konstanta ke sisi kanan persamaan:
   

   x² + 6x = 7

3. Ambil setengah dari koefisien suku x (6/2 = 3), kuadratkan (3² = 9), dan tambahkan ke kedua sisi persamaan:
   

   x² + 6x + 9 = 7 + 9

4. Sederhanakan persamaan:
   

   x² + 6x + 9 = 16

5. Faktorkan sisi kiri persamaan sebagai kuadrat sempurna:
   

   (x + 3)² = 16

6. Akar kuadratkan kedua sisi persamaan:
   

   x + 3 = ±4

7. Selesaikan persamaan untuk mencari nilai x:
   

   x = -3 ± 4

8. Jadi, solusi dari persamaan kuadrat tersebut adalah x = 1 atau x = -7.

Menentukan Konstanta untuk Melengkapi Kuadrat Sempurna

Konstanta yang perlu ditambahkan untuk melengkapi kuadrat sempurna dapat ditentukan dengan mengambil setengah dari koefisien suku x, kemudian mengkuadratkannya. Rumusnya adalah:

(koefisien x / 2)²

Misalnya, untuk persamaan kuadrat x² + 8x + … , konstanta yang perlu ditambahkan adalah (8/2)² = 16.

Contoh soal melengkapkan kuadrat sempurna biasanya muncul dalam materi aljabar, membantu kita memahami bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat. Untuk memahami konsep ini, kita perlu memahami bagaimana bentuk kuadrat sempurna itu sendiri. Nah, kalau kamu ingin mempelajari lebih lanjut tentang urutan angka, kamu bisa cek contoh soal deret angka beserta jawabannya di link ini.

Setelah memahami pola dan aturan deret angka, kamu bisa kembali fokus ke contoh soal melengkapkan kuadrat sempurna dan latihan untuk menguasai konsep ini.

Penerapan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode melengkapkan kuadrat sempurna adalah teknik aljabar yang bermanfaat dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Teknik ini memungkinkan kita untuk mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna, yang kemudian dapat diselesaikan dengan mudah. Melengkapkan kuadrat sempurna tidak hanya berguna dalam matematika, tetapi juga memiliki aplikasi praktis dalam berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, dan teknik.

Memperoleh Solusi Persamaan Kuadrat yang Tidak Dapat Difaktorkan

Ketika persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna dapat menjadi alat yang berharga untuk memperoleh solusi. Metode ini melibatkan manipulasi persamaan sehingga sisi kirinya menjadi kuadrat sempurna. Untuk melakukan ini, kita perlu menemukan konstanta yang perlu ditambahkan ke kedua sisi persamaan untuk menciptakan kuadrat sempurna. Konstanta ini dapat dihitung dengan membagi koefisien suku x dengan 2 dan kemudian mengkuadratkan hasilnya.

Sebagai contoh, perhatikan persamaan kuadrat berikut:

x² + 6x – 7 = 0

Persamaan ini tidak dapat difaktorkan. Untuk menyelesaikannya dengan melengkapkan kuadrat sempurna, kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Pindahkan konstanta ke sisi kanan persamaan:

x² + 6x = 7

2. Bagilah koefisien suku x dengan 2 dan kuadratkan hasilnya:

(6/2)² = 9

3. Tambahkan hasil ini ke kedua sisi persamaan:

x² + 6x + 9 = 7 + 9

4. Sisi kiri persamaan sekarang merupakan kuadrat sempurna:

(x + 3)² = 16

5. Akar kuadrat kedua sisi persamaan:

x + 3 = ±4

6. Selesaikan untuk x:

x = -3 ± 4

Oleh karena itu, solusi persamaan kuadrat adalah x = 1 dan x = -7.

Contoh Soal Cerita

Sebuah taman berbentuk persegi panjang memiliki luas 120 meter persegi. Panjangnya 2 meter lebih panjang dari lebarnya. Tentukan panjang dan lebar taman tersebut.

Misalkan lebar taman adalah x meter. Maka, panjangnya adalah x + 2 meter. Luas taman dapat dihitung dengan mengalikan panjang dan lebar:

x(x + 2) = 120

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan melengkapkan kuadrat sempurna:

1. Kembangkan persamaan:

x² + 2x = 120

2. Bagilah koefisien suku x dengan 2 dan kuadratkan hasilnya:

(2/2)² = 1

3. Tambahkan hasil ini ke kedua sisi persamaan:

x² + 2x + 1 = 120 + 1

4. Sisi kiri persamaan sekarang merupakan kuadrat sempurna:

(x + 1)² = 121

5. Akar kuadrat kedua sisi persamaan:

x + 1 = ±11

6. Selesaikan untuk x:

x = -1 ± 11

Oleh karena itu, lebar taman adalah x = 10 meter atau x = -12 meter. Karena lebar tidak mungkin negatif, maka lebar taman adalah 10 meter. Panjangnya adalah x + 2 = 12 meter.

Penerapan dalam Geometri, Contoh soal melengkapkan kuadrat sempurna

Melengkapkan kuadrat sempurna juga dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah geometri, seperti menemukan persamaan lingkaran. Persamaan lingkaran dengan pusat (h, k) dan jari-jari r adalah:

(x – h)² + (y – k)² = r²

Untuk menemukan persamaan lingkaran, kita perlu melengkapkan kuadrat sempurna untuk kedua variabel x dan y.

Sebagai contoh, perhatikan persamaan berikut:

x² + y² + 4x – 6y – 3 = 0

Untuk menemukan persamaan lingkaran, kita perlu melengkapkan kuadrat sempurna untuk kedua variabel x dan y:

1. Kelompokkan suku-suku x dan y bersama-sama:

(x² + 4x) + (y² – 6y) = 3

2. Lengkapkan kuadrat sempurna untuk suku x:

(x² + 4x + 4) + (y² – 6y) = 3 + 4

3. Lengkapkan kuadrat sempurna untuk suku y:

(x² + 4x + 4) + (y² – 6y + 9) = 3 + 4 + 9

4. Tulis ulang persamaan dalam bentuk kuadrat sempurna:

(x + 2)² + (y – 3)² = 16

Persamaan ini menunjukkan bahwa lingkaran memiliki pusat (-2, 3) dan jari-jari 4.

Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna



Melengkapkan kuadrat sempurna adalah teknik aljabar yang berguna untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Teknik ini melibatkan manipulasi aljabar untuk mengubah ekspresi kuadrat menjadi bentuk (x + a)² atau (x – a)², di mana a adalah konstanta. Teknik ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak dapat difaktorkan dengan mudah.

Berikut adalah contoh soal latihan untuk melatih kemampuan dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

Soal Latihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Berikut adalah lima soal latihan melengkapkan kuadrat sempurna dengan tingkat kesulitan yang bervariasi, lengkap dengan kunci jawaban dan langkah penyelesaiannya.

1. Soal 1: Selesaikan persamaan kuadrat x² + 6x – 7 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

   Kunci Jawaban: x = 1 atau x = -7

   Langkah Penyelesaian:

   1. Pindahkan konstanta ke sisi kanan persamaan: x² + 6x = 7
   2. Bagi koefisien x (yaitu 6) dengan 2 dan kuadratkan hasilnya: (6/2)² = 9
   3. Tambahkan 9 ke kedua sisi persamaan: x² + 6x + 9 = 7 + 9
   4. Faktorkan sisi kiri persamaan menjadi bentuk (x + a)²: (x + 3)² = 16
   5. Akar kuadratkan kedua sisi persamaan: x + 3 = ±4
   6. Selesaikan untuk x: x = 1 atau x = -7

2. Soal 2: Selesaikan persamaan kuadrat 2x² – 8x + 5 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

   Kunci Jawaban: x = 2 ± √3/2

   Langkah Penyelesaian:

   1. Bagi kedua sisi persamaan dengan 2: x² – 4x + 5/2 = 0
   2. Pindahkan konstanta ke sisi kanan persamaan: x² – 4x = -5/2
   3. Bagi koefisien x (yaitu -4) dengan 2 dan kuadratkan hasilnya: (-4/2)² = 4
   4. Tambahkan 4 ke kedua sisi persamaan: x² – 4x + 4 = -5/2 + 4
   5. Faktorkan sisi kiri persamaan menjadi bentuk (x + a)²: (x – 2)² = 3/2
   6. Akar kuadratkan kedua sisi persamaan: x – 2 = ±√3/√2
   7. Selesaikan untuk x: x = 2 ± √3/2

3. Soal 3: Selesaikan persamaan kuadrat x² + 5x + 2 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

   Kunci Jawaban: x = (-5 ± √17)/2

   Langkah Penyelesaian:

   1. Pindahkan konstanta ke sisi kanan persamaan: x² + 5x = -2
   2. Bagi koefisien x (yaitu 5) dengan 2 dan kuadratkan hasilnya: (5/2)² = 25/4
   3. Tambahkan 25/4 ke kedua sisi persamaan: x² + 5x + 25/4 = -2 + 25/4
   4. Faktorkan sisi kiri persamaan menjadi bentuk (x + a)²: (x + 5/2)² = 17/4
   5. Akar kuadratkan kedua sisi persamaan: x + 5/2 = ±√17/2
   6. Selesaikan untuk x: x = (-5 ± √17)/2

4. Soal 4: Selesaikan persamaan kuadrat 3x² + 12x – 1 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

   Kunci Jawaban: x = (-2 ± √13)/3

   Langkah Penyelesaian:

   1. Bagi kedua sisi persamaan dengan 3: x² + 4x – 1/3 = 0
   2. Pindahkan konstanta ke sisi kanan persamaan: x² + 4x = 1/3
   3. Bagi koefisien x (yaitu 4) dengan 2 dan kuadratkan hasilnya: (4/2)² = 4
   4. Tambahkan 4 ke kedua sisi persamaan: x² + 4x + 4 = 1/3 + 4
   5. Faktorkan sisi kiri persamaan menjadi bentuk (x + a)²: (x + 2)² = 13/3
   6. Akar kuadratkan kedua sisi persamaan: x + 2 = ±√13/√3
   7. Selesaikan untuk x: x = (-2 ± √13)/3

5. Soal 5: Selesaikan persamaan kuadrat x² – 10x + 21 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

   Kunci Jawaban: x = 3 atau x = 7

   Langkah Penyelesaian:

   1. Pindahkan konstanta ke sisi kanan persamaan: x² – 10x = -21
   2. Bagi koefisien x (yaitu -10) dengan 2 dan kuadratkan hasilnya: (-10/2)² = 25
   3. Tambahkan 25 ke kedua sisi persamaan: x² – 10x + 25 = -21 + 25
   4. Faktorkan sisi kiri persamaan menjadi bentuk (x + a)²: (x – 5)² = 4
   5. Akar kuadratkan kedua sisi persamaan: x – 5 = ±2
   6. Selesaikan untuk x: x = 3 atau x = 7

Kesimpulan: Contoh Soal Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Dengan memahami konsep melengkapkan kuadrat sempurna, kamu tidak hanya dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dengan mudah, tetapi juga memperoleh pemahaman yang lebih dalam tentang aljabar dan geometri. Metode ini juga dapat diterapkan dalam berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, dan teknik.

Sebarkan ini:

Posting terkait:

• Contoh Soal Aljabar Boolean: Memahami Logika di Balik Komputer

• Memahami Peluang Komplemen Suatu Kejadian: Contoh Soal dan Penerapannya

• 20 Contoh Soal Vektor Matematika dan Pembahasannya: Kuasai Konsep Vektor dengan Latihan