Contoh Soal Persamaan Diferensial Orde 1 dan Penyelesaiannya: Memahami dan Menerapkan Konsep

Contoh soal persamaan diferensial orde 1 dan penyelesaiannya – Persamaan diferensial orde 1 merupakan konsep matematika yang penting dalam berbagai bidang, mulai dari fisika dan kimia hingga ekonomi dan biologi. Dalam dunia nyata, persamaan diferensial orde 1 dapat digunakan untuk memodelkan berbagai fenomena, seperti pertumbuhan populasi, aliran fluida, dan pergerakan benda. Namun, memahami konsep dan metode penyelesaian persamaan diferensial orde 1 bisa jadi menantang.

Artikel ini akan membahas berbagai contoh soal persamaan diferensial orde 1 dan penyelesaiannya, menjelaskan metode-metode umum yang digunakan, dan mengilustrasikan bagaimana konsep ini dapat diterapkan dalam berbagai situasi. Dengan contoh-contoh yang diberikan, Anda akan mendapatkan pemahaman yang lebih baik tentang persamaan diferensial orde 1 dan bagaimana menyelesaikannya.

Pengertian Persamaan Diferensial Orde 1: Contoh Soal Persamaan Diferensial Orde 1 Dan Penyelesaiannya

Persamaan diferensial adalah persamaan matematika yang melibatkan fungsi dan turunannya. Persamaan diferensial orde 1 merupakan persamaan diferensial yang melibatkan turunan pertama fungsi tersebut. Persamaan ini banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu, seperti fisika, kimia, biologi, dan ekonomi, untuk memodelkan berbagai fenomena dan proses yang terjadi di dunia nyata.

Definisi Persamaan Diferensial Orde 1

Persamaan diferensial orde 1 adalah persamaan yang melibatkan turunan pertama dari fungsi yang tidak diketahui terhadap satu variabel independen. Bentuk umum dari persamaan diferensial orde 1 adalah:

dy/dx = f(x, y)

di mana:

• y adalah fungsi yang tidak diketahui yang merupakan fungsi dari variabel independen x
• dy/dx adalah turunan pertama y terhadap x
• f(x, y) adalah fungsi yang melibatkan x dan y.

Contoh Persamaan Diferensial Orde 1

Berikut adalah contoh persamaan diferensial orde 1:

dy/dx = 2x + y

Persamaan ini memiliki orde 1 karena hanya melibatkan turunan pertama dari y. Variabel yang terlibat adalah x dan y. Fungsi f(x, y) dalam persamaan ini adalah 2x + y.

Perbedaan Persamaan Diferensial Orde 1 Homogen dan Non-Homogen

Persamaan diferensial orde 1 dapat diklasifikasikan menjadi dua jenis, yaitu homogen dan non-homogen. Perbedaan utama antara keduanya terletak pada bentuk fungsi f(x, y) yang terlibat.

• Persamaan Diferensial Orde 1 Homogen: Fungsi f(x, y) dalam persamaan diferensial homogen dapat ditulis dalam bentuk f(x, y) = g(y/x), di mana g adalah fungsi tunggal dari rasio y/x. Contohnya, persamaan dy/dx = (y/x) + 1 adalah persamaan diferensial orde 1 homogen karena f(x, y) = (y/x) + 1 dapat ditulis sebagai g(y/x) dengan g(u) = u + 1.
• Persamaan Diferensial Orde 1 Non-Homogen: Fungsi f(x, y) dalam persamaan diferensial non-homogen tidak dapat ditulis dalam bentuk g(y/x). Contohnya, persamaan dy/dx = 2x + y adalah persamaan diferensial orde 1 non-homogen karena f(x, y) = 2x + y tidak dapat ditulis dalam bentuk g(y/x).

Metode Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde 1

Persamaan diferensial orde 1 adalah persamaan yang melibatkan turunan pertama dari fungsi tak diketahui terhadap satu variabel bebas. Persamaan diferensial orde 1 memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang seperti fisika, kimia, biologi, dan ekonomi. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde 1, terdapat beberapa metode umum yang dapat digunakan, tergantung pada bentuk persamaan yang diberikan.

Metode Umum Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde 1

Metode umum yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde 1 meliputi:

• Metode Pemisahan Variabel: Metode ini digunakan ketika persamaan diferensial dapat ditulis dalam bentuk di mana variabel bebas dan variabel terikat dapat dipisahkan pada sisi yang berbeda dari persamaan.
• Metode Faktor Integrasi: Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear orde 1 yang tidak dapat dipisahkan secara langsung.
• Metode Substitusi: Metode ini digunakan untuk mengubah persamaan diferensial menjadi bentuk yang lebih sederhana yang dapat diselesaikan dengan metode lain.
• Metode Seri Taylor: Metode ini digunakan untuk mencari solusi aproksimasi dari persamaan diferensial dalam bentuk deret Taylor.
• Metode Numerik: Metode ini digunakan untuk mencari solusi aproksimasi dari persamaan diferensial dengan menggunakan metode numerik seperti metode Euler atau metode Runge-Kutta.

Metode Pemisahan Variabel

Metode pemisahan variabel adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde 1 yang dapat ditulis dalam bentuk:

dy/dx = f(x)g(y)

di mana f(x) adalah fungsi dari x saja dan g(y) adalah fungsi dari y saja.

Langkah-langkah dalam metode pemisahan variabel adalah sebagai berikut:

1. Pisahkan variabel x dan y pada sisi yang berbeda dari persamaan.
2. Integrasikan kedua sisi persamaan terhadap variabel yang sesuai.
3. Selesaikan persamaan integral untuk mendapatkan solusi umum dari persamaan diferensial.
4. Jika kondisi awal diberikan, gunakan kondisi awal untuk menentukan nilai konstanta integrasi dan mendapatkan solusi khusus dari persamaan diferensial.

Contoh Soal

Sebagai contoh, perhatikan persamaan diferensial orde 1 berikut:

dy/dx = xy

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pemisahan variabel.

1. Pisahkan variabel x dan y pada sisi yang berbeda dari persamaan:
   

   dy/y = xdx

2. Integrasikan kedua sisi persamaan:
   

   ∫dy/y = ∫xdx

   ln|y| = x^2/2 + C

3. Selesaikan persamaan integral untuk mendapatkan solusi umum:
   

   y = Ce^(x^2/2)

Persamaan ini merupakan solusi umum dari persamaan diferensial orde 1 yang diberikan.

Contoh Soal Persamaan Diferensial Orde 1

Persamaan diferensial orde 1 adalah persamaan yang melibatkan turunan pertama dari fungsi tak diketahui. Persamaan ini sering muncul dalam berbagai bidang seperti fisika, kimia, biologi, dan ekonomi. Dalam mempelajari persamaan diferensial orde 1, kita akan mempelajari berbagai metode penyelesaian untuk menentukan solusi umum dan solusi khusus dari persamaan tersebut.

Untuk lebih memahami berbagai metode penyelesaian dan penerapannya, berikut adalah contoh soal persamaan diferensial orde 1 dengan berbagai bentuk persamaan dan metode penyelesaiannya.

Contoh Soal Persamaan Diferensial Orde 1

Berikut adalah tabel berisi 5 contoh soal persamaan diferensial orde 1 dengan berbagai bentuk persamaan, metode penyelesaian yang paling tepat, dan alasannya.

No.	Persamaan Diferensial	Bentuk Persamaan	Metode Penyelesaian	Alasan
1	dy/dx + 2y = x	Linear	Faktor Integrasi	Persamaan ini berbentuk linear, yaitu persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk dy/dx + p(x)y = q(x). Metode faktor integrasi adalah metode yang paling tepat untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear.
2	dy/dx = y^2 + 1	Non-linear	Variabel Terpisah	Persamaan ini berbentuk non-linear karena mengandung suku y^2. Metode variabel terpisah adalah metode yang paling tepat untuk menyelesaikan persamaan diferensial non-linear yang dapat dipisahkan menjadi bentuk dy/f(y) = dx/g(x).
3	dy/dx = (x^2 + y^2) / (xy)	Homogen	Substitusi Homogen	Persamaan ini berbentuk homogen karena fungsi kanan dapat ditulis dalam bentuk f(x/y) atau f(y/x). Metode substitusi homogen adalah metode yang paling tepat untuk menyelesaikan persamaan diferensial homogen.
4	dy/dx + 2xy = x^2	Linear Non-homogen	Faktor Integrasi	Persamaan ini berbentuk linear non-homogen, yaitu persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk dy/dx + p(x)y = q(x) dengan q(x) ≠ 0. Metode faktor integrasi adalah metode yang paling tepat untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear non-homogen.
5	dy/dx = y^2 – x^2	Non-linear, Non-homogen	Persamaan Bernoulli	Persamaan ini berbentuk non-linear dan non-homogen. Metode persamaan Bernoulli adalah metode yang paling tepat untuk menyelesaikan persamaan diferensial non-linear yang dapat ditulis dalam bentuk dy/dx + p(x)y = q(x)y^n, dengan n ≠ 0 dan n ≠ 1.

Penyelesaian Contoh Soal

Berikut adalah penyelesaian untuk setiap contoh soal di atas:

1. Contoh Soal 1: Persamaan Diferensial Linear

   Persamaan diferensial: dy/dx + 2y = x

   Metode Penyelesaian: Faktor Integrasi

   Langkah-langkah:

   1. Tentukan faktor integrasi, yaitu e^(∫p(x)dx) = e^(∫2dx) = e^(2x)
   2. Kalikan kedua ruas persamaan dengan faktor integrasi:

      e^(2x)dy/dx + 2e^(2x)y = xe^(2x)

   3. Sisi kiri persamaan dapat ditulis sebagai turunan dari produk:

      d/dx (e^(2x)y) = xe^(2x)

   4. Integralkan kedua ruas terhadap x:

      e^(2x)y = ∫xe^(2x)dx

   5. Hitung integral di ruas kanan menggunakan integrasi parsial:

      e^(2x)y = (1/2)xe^(2x) – (1/4)e^(2x) + C

   6. Selesaikan untuk y:

      y = (1/2)x – (1/4) + Ce^(-2x)

      Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial dy/dx + 2y = x adalah y = (1/2)x – (1/4) + Ce^(-2x)

2. Contoh Soal 2: Persamaan Diferensial Non-linear

   Persamaan diferensial: dy/dx = y^2 + 1

   Metode Penyelesaian: Variabel Terpisah

   Langkah-langkah:

   1. Pisahkan variabel y dan x:

      dy / (y^2 + 1) = dx

   2. Integralkan kedua ruas:

      ∫dy / (y^2 + 1) = ∫dx

   3. Hitung integral di ruas kiri:

      arctan(y) = x + C

   4. Selesaikan untuk y:

      y = tan(x + C)

      Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial dy/dx = y^2 + 1 adalah y = tan(x + C)

3. Contoh Soal 3: Persamaan Diferensial Homogen

   Persamaan diferensial: dy/dx = (x^2 + y^2) / (xy)

   Contoh soal persamaan diferensial orde 1 dan penyelesaiannya seringkali melibatkan penentuan titik kritis, yang mirip dengan konsep nilai stasioner pada fungsi. Nah, untuk memahami nilai stasioner, kamu bisa cek contoh soal nilai stasioner ini. Setelah memahami nilai stasioner, kamu bisa menerapkannya dalam menyelesaikan contoh soal persamaan diferensial orde 1, karena titik kritis pada persamaan diferensial merupakan titik stasioner dari solusi umumnya.

   Metode Penyelesaian: Substitusi Homogen

   Langkah-langkah:

   1. Substitusi y = vx, sehingga dy/dx = v + x dv/dx
   2. Substitusikan y = vx dan dy/dx ke dalam persamaan diferensial:

      v + x dv/dx = (x^2 + (vx)^2) / (x(vx))

   3. Sederhanakan persamaan:

      v + x dv/dx = (1 + v^2) / v

   4. Pisahkan variabel v dan x:

      (v / (1 + v^2)) dv = dx / x

   5. Integralkan kedua ruas:

      ∫(v / (1 + v^2)) dv = ∫dx / x

   6. Hitung integral di kedua ruas:

      (1/2)ln(1 + v^2) = ln(x) + C

   7. Selesaikan untuk v:

      v^2 = 2ln(x) + 2C – 1

   8. Substitusikan kembali v = y/x:

      (y/x)^2 = 2ln(x) + 2C – 1

   9. Selesaikan untuk y:

      y = ±x√(2ln(x) + 2C – 1)

      Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial dy/dx = (x^2 + y^2) / (xy) adalah y = ±x√(2ln(x) + 2C – 1)

4. Contoh Soal 4: Persamaan Diferensial Linear Non-homogen

   Persamaan diferensial: dy/dx + 2xy = x^2

   Metode Penyelesaian: Faktor Integrasi

   Langkah-langkah:

   1. Tentukan faktor integrasi, yaitu e^(∫p(x)dx) = e^(∫2xdx) = e^(x^2)
   2. Kalikan kedua ruas persamaan dengan faktor integrasi:

      e^(x^2)dy/dx + 2xe^(x^2)y = x^2e^(x^2)

   3. Sisi kiri persamaan dapat ditulis sebagai turunan dari produk:

      d/dx (e^(x^2)y) = x^2e^(x^2)

   4. Integralkan kedua ruas terhadap x:

      e^(x^2)y = ∫x^2e^(x^2)dx

   5. Hitung integral di ruas kanan menggunakan integrasi parsial:

      e^(x^2)y = (1/2)xe^(x^2) – (1/4)e^(x^2) + C

   6. Selesaikan untuk y:

      y = (1/2)x – (1/4) + Ce^(-x^2)

      Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial dy/dx + 2xy = x^2 adalah y = (1/2)x – (1/4) + Ce^(-x^2)

5. Contoh Soal 5: Persamaan Diferensial Non-linear, Non-homogen

   Persamaan diferensial: dy/dx = y^2 – x^2

   Metode Penyelesaian: Persamaan Bernoulli

   Langkah-langkah:

   1. Tulis persamaan dalam bentuk standar persamaan Bernoulli:

      dy/dx – y^2 = -x^2

   2. Substitusi z = y^(1-n) = y^(-1), sehingga dz/dx = -(1/y^2)dy/dx
   3. Substitusikan z dan dz/dx ke dalam persamaan:

      -y^2 dz/dx – y^2 = -x^2

   4. Sederhanakan persamaan:

      dz/dx + z = x^2

   5. Tentukan faktor integrasi, yaitu e^(∫p(x)dx) = e^(∫1dx) = e^x
   6. Kalikan kedua ruas persamaan dengan faktor integrasi:

      e^x dz/dx + e^x z = x^2e^x

   7. Sisi kiri persamaan dapat ditulis sebagai turunan dari produk:

      d/dx (e^x z) = x^2e^x

   8. Integralkan kedua ruas terhadap x:

      e^x z = ∫x^2e^x dx

   9. Hitung integral di ruas kanan menggunakan integrasi parsial:

      e^x z = x^2e^x – 2xe^x + 2e^x + C

   10. Selesaikan untuk z:

       z = x^2 – 2x + 2 + Ce^(-x)

   11. Substitusikan kembali z = y^(-1):

       y^(-1) = x^2 – 2x + 2 + Ce^(-x)

   12. Selesaikan untuk y:

       y = 1 / (x^2 – 2x + 2 + Ce^(-x))

       Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial dy/dx = y^2 – x^2 adalah y = 1 / (x^2 – 2x + 2 + Ce^(-x))

Persamaan Diferensial Orde 1 Non-Linear

Setelah mempelajari persamaan diferensial orde 1 linear, kita akan beralih ke persamaan diferensial orde 1 non-linear. Persamaan diferensial orde 1 non-linear memiliki karakteristik unik yang membedakannya dari persamaan linear dan menghadirkan tantangan tersendiri dalam proses penyelesaiannya.

Ciri-ciri Persamaan Diferensial Orde 1 Non-Linear

Persamaan diferensial orde 1 non-linear dicirikan oleh keterlibatan fungsi non-linear dari variabel dependen, turunan pertamanya, atau keduanya. Secara umum, persamaan ini tidak dapat dipisahkan atau diubah menjadi bentuk linear.

Berikut adalah beberapa ciri-ciri utama yang membedakan persamaan diferensial orde 1 non-linear:

• Terdapat fungsi non-linear yang melibatkan variabel dependen (y) dan turunan pertamanya (dy/dx).
• Tidak dapat dipisahkan atau diubah menjadi bentuk linear melalui manipulasi aljabar sederhana.
• Metode penyelesaian yang digunakan untuk persamaan linear tidak selalu berlaku.

Contoh Persamaan Diferensial Orde 1 Non-Linear

Berikut contoh persamaan diferensial orde 1 non-linear:

dy/dx = y^2 + x

Persamaan ini merupakan persamaan non-linear karena variabel dependen (y) dipangkatkan dua. Persamaan ini tidak dapat dipisahkan menjadi bentuk linear.

Kesulitan dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Orde 1 Non-Linear

Persamaan diferensial orde 1 non-linear umumnya lebih sulit diselesaikan dibandingkan dengan persamaan linear. Beberapa kesulitan yang dihadapi meliputi:

• Tidak adanya metode umum yang berlaku untuk semua jenis persamaan non-linear.
• Solusi analitik seringkali tidak tersedia, dan pendekatan numerik diperlukan.
• Metode penyelesaian yang tersedia mungkin rumit dan memerlukan keterampilan matematika tingkat lanjut.

Metode Alternatif untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Orde 1 Non-Linear

Meskipun tidak ada metode universal, beberapa metode alternatif dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde 1 non-linear. Metode-metode ini umumnya bergantung pada jenis non-linearitas yang ada dalam persamaan.

• Metode Integrasi Numerik: Metode ini menggunakan pendekatan numerik untuk menghitung solusi persamaan diferensial. Beberapa metode integrasi numerik yang umum digunakan meliputi metode Euler, metode Runge-Kutta, dan metode Adams-Bashforth.
• Metode Transformasi: Dalam beberapa kasus, persamaan non-linear dapat diubah menjadi persamaan linear melalui transformasi variabel. Misalnya, dengan menggunakan substitusi y = u(x)v(x), persamaan non-linear dapat diubah menjadi persamaan linear yang lebih mudah diselesaikan.
• Metode Seri: Metode ini menggunakan deret tak hingga untuk mencari solusi persamaan diferensial. Metode ini efektif untuk persamaan non-linear yang memiliki solusi analitik yang kompleks.
• Metode Grafik: Metode ini melibatkan pembuatan grafik solusi persamaan diferensial untuk mendapatkan pemahaman kualitatif tentang perilaku solusi. Metode ini berguna untuk memvisualisasikan solusi dan menganalisis perilaku sistem.

Persamaan Diferensial Orde 1 Bernoulli

Persamaan diferensial orde 1 Bernoulli adalah jenis persamaan diferensial yang dapat direduksi menjadi persamaan linear dengan substitusi yang tepat. Persamaan ini memiliki bentuk khusus yang melibatkan variabel dependen dan turunan pertamanya, serta pangkat dari variabel dependen.

Ciri-ciri Persamaan Diferensial Orde 1 Bernoulli, Contoh soal persamaan diferensial orde 1 dan penyelesaiannya

Persamaan diferensial orde 1 Bernoulli memiliki ciri-ciri berikut:

• Persamaan tersebut melibatkan turunan pertama variabel dependen, yaitu y’.
• Persamaan tersebut melibatkan variabel dependen, y, dan pangkatnya, y^n, dengan n ≠ 0 dan n ≠ 1.
• Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk:
  

  y’ + p(x)y = q(x)y^n

  di mana p(x) dan q(x) adalah fungsi kontinu dari x.

Contoh Persamaan Diferensial Orde 1 Bernoulli

Sebagai contoh, persamaan diferensial:

y’ + 2xy = xy^2

adalah persamaan diferensial orde 1 Bernoulli dengan n = 2.

Metode Substitusi untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Orde 1 Bernoulli

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde 1 Bernoulli, kita dapat menggunakan metode substitusi berikut:

1. Bagi kedua ruas persamaan dengan y^n. Kita dapatkan:
   

   y’y^-n + p(x)y^(1-n) = q(x)

2. Substitusikan u = y^(1-n). Turunan u terhadap x adalah:
   

   u’ = (1-n)y^(-n)y’

3. Gunakan substitusi u dan u’ untuk mengubah persamaan diferensial Bernoulli menjadi persamaan linear. Kita dapatkan:
   

   u’ + (1-n)p(x)u = (1-n)q(x)

4. Selesaikan persamaan linear menggunakan faktor integrasi. Faktor integrasi untuk persamaan ini adalah:
   

   e^∫(1-n)p(x)dx

5. Kalikan kedua ruas persamaan linear dengan faktor integrasi. Kita dapatkan:
   

   e^∫(1-n)p(x)dx u’ + (1-n)p(x)e^∫(1-n)p(x)dx u = (1-n)q(x)e^∫(1-n)p(x)dx

6. Selesaikan persamaan linear menggunakan integrasi. Kita dapatkan:
   

   ue^∫(1-n)p(x)dx = ∫(1-n)q(x)e^∫(1-n)p(x)dx dx + C

   di mana C adalah konstanta integrasi.

7. Ganti u dengan y^(1-n) untuk mendapatkan solusi umum persamaan diferensial Bernoulli. Kita dapatkan:
   

   y^(1-n)e^∫(1-n)p(x)dx = ∫(1-n)q(x)e^∫(1-n)p(x)dx dx + C

Contoh Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde 1 Bernoulli

Mari kita selesaikan persamaan diferensial Bernoulli yang telah kita contohkan sebelumnya:

y’ + 2xy = xy^2

dengan menggunakan metode substitusi.

1. Bagi kedua ruas persamaan dengan y^2:
   

   y’y^-2 + 2xy^-1 = x

2. Substitusikan u = y^-1. Turunan u terhadap x adalah:
   

   u’ = -y^-2y’

3. Gunakan substitusi u dan u’ untuk mengubah persamaan diferensial Bernoulli menjadi persamaan linear:
   

   -u’ + 2xu = x

4. Kalikan kedua ruas persamaan dengan -1:
   

   u’ – 2xu = -x

5. Faktor integrasi untuk persamaan ini adalah:
   

   e^∫-2x dx = e^(-x^2)

6. Kalikan kedua ruas persamaan linear dengan faktor integrasi:
   

   e^(-x^2)u’ – 2xe^(-x^2)u = -xe^(-x^2)

7. Selesaikan persamaan linear menggunakan integrasi:
   

   ue^(-x^2) = ∫-xe^(-x^2) dx + C

8. Hitung integral di ruas kanan:
   

   ue^(-x^2) = (1/2)e^(-x^2) + C

9. Kalikan kedua ruas persamaan dengan e^(x^2):
   

   u = (1/2) + Ce^(x^2)

10. Ganti u dengan y^-1:
    

    y^-1 = (1/2) + Ce^(x^2)

11. Ambil kebalikan dari kedua ruas persamaan:
    

    y = 2/(1 + 2Ce^(x^2))

Ini adalah solusi umum untuk persamaan diferensial orde 1 Bernoulli yang telah kita contohkan.

Persamaan Diferensial Orde 1 Homogen

Persamaan diferensial orde 1 homogen merupakan jenis khusus persamaan diferensial yang dapat diselesaikan dengan metode substitusi. Persamaan ini memiliki bentuk yang unik, yaitu jika semua suku dalam persamaan dapat difaktorkan dengan pangkat yang sama dari variabel bebas dan variabel terikat.

Ciri-Ciri Persamaan Diferensial Orde 1 Homogen

Persamaan diferensial orde 1 homogen memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

• Persamaan dapat ditulis dalam bentuk dy/dx = f(x, y) di mana f(x, y) adalah fungsi homogen.
• Fungsi f(x, y) homogen derajat k jika f(tx, ty) = t^kf(x, y) untuk setiap nilai t ≠ 0.
• Contohnya, fungsi f(x, y) = x² + y² adalah homogen derajat 2 karena f(tx, ty) = (tx)² + (ty)² = t²(x² + y²) = t²f(x, y).

Persamaan Diferensial Orde 1 Non-Homogen

Persamaan diferensial orde 1 non-homogen merupakan jenis persamaan diferensial yang memiliki suku konstan atau fungsi dari variabel bebas di ruas kanan persamaan. Jenis persamaan ini berbeda dengan persamaan diferensial orde 1 homogen yang hanya memiliki suku-suku yang melibatkan turunan dan variabel tak bebas.

Ciri-ciri Persamaan Diferensial Orde 1 Non-Homogen

Persamaan diferensial orde 1 non-homogen memiliki ciri-ciri khusus yang membedakannya dari persamaan diferensial orde 1 homogen. Ciri-ciri tersebut antara lain:

• Memiliki suku konstan atau fungsi dari variabel bebas di ruas kanan persamaan.
• Memiliki turunan pertama dari variabel tak bebas.
• Bentuk umumnya adalah
  dy/dx + p(x)y = q(x)
  , dengan p(x) dan q(x) adalah fungsi dari x.

Contoh Persamaan Diferensial Orde 1 Non-Homogen dan Penyelesaiannya dengan Metode Variasi Parameter

Sebagai contoh, perhatikan persamaan diferensial orde 1 non-homogen berikut:

dy/dx + 2y = e^-x

Persamaan ini memenuhi ciri-ciri persamaan diferensial orde 1 non-homogen karena memiliki suku konstan (e^-x) di ruas kanan persamaan dan turunan pertama dari variabel tak bebas (y).

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini, kita dapat menggunakan metode variasi parameter. Langkah-langkah dalam metode variasi parameter untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde 1 non-homogen adalah sebagai berikut:

Langkah-langkah Metode Variasi Parameter

1. Menentukan solusi umum persamaan homogen. Persamaan homogen dari persamaan diferensial di atas adalah dy/dx + 2y = 0. Solusi umum persamaan homogen ini adalah y_h = Ce^-2x, dengan C adalah konstanta.
2. Menentukan solusi khusus persamaan non-homogen. Untuk menentukan solusi khusus persamaan non-homogen, kita perlu mencari fungsi u(x) yang memenuhi persamaan y_p = u(x)y_h. Dengan kata lain, kita perlu mengganti y dalam persamaan non-homogen dengan y_p = u(x)y_h dan mencari nilai u(x) yang memenuhi persamaan tersebut.
3. Mencari nilai u(x). Dengan mengganti y dalam persamaan non-homogen dengan y_p = u(x)y_h, kita memperoleh:
   

   u'(x)y_h + u(x)y’_h + 2u(x)y_h = e^-x

   Karena y_h = Ce^-2x, maka y’_h = -2Ce^-2x. Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan di atas, kita memperoleh:

   u'(x)Ce^-2x – 2u(x)Ce^-2x + 2u(x)Ce^-2x = e^-x

   Sederhanakan persamaan tersebut, sehingga diperoleh:

   u'(x)Ce^-2x = e^-x

   Dengan mengintegrasikan kedua ruas persamaan tersebut terhadap x, kita memperoleh:

   u(x) = -1/2e^x + C₁

   Dengan demikian, solusi khusus persamaan non-homogen adalah:

   y_p = u(x)y_h = (-1/2e^x + C₁)Ce^-2x = -1/2Ce^-x + C₁Ce^-2x

4. Menentukan solusi umum persamaan non-homogen. Solusi umum persamaan non-homogen adalah penjumlahan dari solusi umum persamaan homogen dan solusi khusus persamaan non-homogen. Dengan demikian, solusi umum persamaan non-homogen adalah:

   y = y_h + y_p = Ce^-2x – 1/2Ce^-x + C₁Ce^-2x = (C + C₁)e^-2x – 1/2Ce^-x

Dengan demikian, solusi umum persamaan diferensial orde 1 non-homogen dy/dx + 2y = e^-x adalah y = (C + C₁)e^-2x – 1/2Ce^-x, dengan C dan C₁ adalah konstanta.

Pemungkas

Setelah mempelajari contoh soal persamaan diferensial orde 1 dan penyelesaiannya, Anda dapat melihat bagaimana konsep ini dapat diterapkan dalam berbagai bidang. Persamaan diferensial orde 1 merupakan alat yang ampuh untuk memodelkan dan menganalisis berbagai fenomena di dunia nyata. Mempelajari dan memahami konsep ini dapat membantu Anda untuk memahami dunia di sekitar Anda dengan lebih baik.