Contoh Soal Deret Aritmatika Beserta Jawabannya: Pahami Pola dan Rumusnya

Deret aritmatika, dengan pola penjumlahan yang konsisten, seringkali muncul dalam berbagai bidang, mulai dari matematika hingga ilmu ekonomi. Untuk memahami konsep ini, mari kita telusuri contoh soal deret aritmatika beserta jawabannya. Melalui contoh-contoh yang beragam, Anda akan memahami bagaimana menghitung suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari deret aritmatika.

Deret aritmatika adalah urutan bilangan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku berurutan. Selisih ini disebut beda (b). Contoh sederhana adalah 2, 5, 8, 11, 14… di mana beda (b) adalah 3. Suku pertama (a) adalah 2, dan suku ke-n (Un) dapat dihitung menggunakan rumus Un = a + (n-1)b.

Pengertian Deret Aritmatika: Contoh Soal Deret Aritmatika Beserta Jawabannya

Deret aritmatika merupakan barisan bilangan yang memiliki pola penjumlahan yang konstan. Sederhananya, setiap suku dalam deret ini didapat dengan menambahkan nilai tetap (yang disebut beda) ke suku sebelumnya.

Contoh Deret Aritmatika, Contoh soal deret aritmatika beserta jawabannya

Contoh sederhana dari deret aritmatika adalah 2, 5, 8, 11, 14, … . Pada deret ini, beda atau selisih antara setiap suku adalah 3.

Suku Pertama (a), Beda (b), dan Suku ke-n (Un)

Dalam deret aritmatika, terdapat tiga elemen penting yang perlu dipahami:

• Suku Pertama (a): Suku pertama dalam deret aritmatika, yang menjadi titik awal dari barisan. Dalam contoh sebelumnya, suku pertama (a) adalah 2.
• Beda (b): Selisih atau nilai tetap yang ditambahkan ke setiap suku sebelumnya untuk mendapatkan suku berikutnya. Dalam contoh sebelumnya, beda (b) adalah 3.
• Suku ke-n (Un): Suku ke-n dalam deret aritmatika, yang menunjukkan suku pada posisi tertentu dalam barisan. Untuk menghitung suku ke-n, kita dapat menggunakan rumus:
  

  Un = a + (n – 1)b

  di mana ‘n’ adalah nomor urut suku yang ingin dicari.

Rumus Deret Aritmatika

Rumus umum untuk mencari jumlah n suku pertama (Sn) dalam deret aritmatika adalah:

Sn = n/2 (a + Un)

atau

Sn = n/2 (2a + (n – 1)b)

Rumus ini membantu kita menghitung jumlah total dari beberapa suku pertama dalam deret aritmatika.

Rumus Deret Aritmatika

Deret aritmatika merupakan barisan bilangan yang memiliki selisih yang sama antara setiap suku yang berdekatan. Selisih ini disebut sebagai beda (b). Untuk memahami deret aritmatika, kita perlu mempelajari rumus-rumusnya.

Rumus Suku ke-n (Un)

Rumus umum untuk menentukan suku ke-n (Un) dalam deret aritmatika adalah:

Un = a + (n – 1)b

di mana:
– Un adalah suku ke-n
– a adalah suku pertama
– b adalah beda
– n adalah nomor suku

Misalnya, kita ingin mencari suku ke-5 dari deret aritmatika 2, 5, 8, 11, … . Dalam deret ini, a = 2 dan b = 3. Dengan menggunakan rumus Un, kita dapatkan:

U5 = 2 + (5 – 1)3 = 2 + 12 = 14

Jadi, suku ke-5 dari deret aritmatika tersebut adalah 14.

Rumus Jumlah n Suku Pertama (Sn)

Rumus untuk menghitung jumlah n suku pertama (Sn) dalam deret aritmatika adalah:

Sn = n/2 (2a + (n – 1)b)

atau

Sn = n/2 (a + Un)

di mana:
– Sn adalah jumlah n suku pertama
– a adalah suku pertama
– b adalah beda
– n adalah nomor suku
– Un adalah suku ke-n

Misalnya, kita ingin menghitung jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika 2, 5, 8, 11, … . Dalam deret ini, a = 2, b = 3, dan n = 10. Dengan menggunakan rumus Sn, kita dapatkan:

S10 = 10/2 (2(2) + (10 – 1)3) = 5 (4 + 27) = 155

Jadi, jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika tersebut adalah 155.

Contoh Soal Deret Aritmatika

Deret aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku yang berdekatan. Selisih yang sama ini disebut dengan beda (b). Untuk memahami lebih dalam mengenai deret aritmetika, mari kita simak contoh soal berikut.

Contoh Soal Deret Aritmetika

Berikut adalah beberapa contoh soal deret aritmetika dengan berbagai tingkat kesulitan, mulai dari mudah hingga sulit, lengkap dengan penyelesaiannya.

Penerapan Deret Aritmatika

Deret aritmatika merupakan konsep matematika yang ternyata punya peran penting dalam kehidupan sehari-hari. Dari menabung hingga menghitung jumlah kursi di auditorium, deret aritmatika membantu kita memahami pola dan menyelesaikan masalah dengan lebih mudah.

Bingung ngerjain soal deret aritmatika? Tenang, banyak contoh soal beserta jawabannya di internet! Tapi, kalau kamu lagi belajar Bahasa Indonesia kelas 8 semester 1, mungkin kamu butuh referensi soal yang lebih spesifik. Tenang, ada banyak contoh soal Bahasa Indonesia kelas 8 semester 1 yang bisa kamu temukan di situs ini.

Setelah belajar Bahasa Indonesia, kamu bisa kembali fokus ke soal deret aritmatika, pasti lebih mudah dikerjakan!

Contoh Penerapan Deret Aritmatika dalam Kehidupan Sehari-hari

Berikut beberapa contoh penerapan deret aritmatika dalam kehidupan sehari-hari:

• Menabung: Bayangkan kamu menabung dengan pola tertentu, misalnya setiap minggu kamu menabung Rp10.000 lebih banyak dari minggu sebelumnya. Ini membentuk deret aritmatika, di mana selisih antara setiap suku adalah Rp10.000. Dengan menggunakan rumus deret aritmatika, kamu bisa menghitung total tabunganmu setelah beberapa minggu.
• Menghitung Jumlah Kursi di Auditorium: Perhatikan baris kursi di auditorium. Biasanya, setiap baris memiliki jumlah kursi yang sama, dan setiap baris berikutnya memiliki jumlah kursi yang lebih banyak dengan selisih yang sama. Ini merupakan contoh deret aritmatika. Dengan mengetahui jumlah kursi di baris pertama dan selisih antar baris, kita bisa menghitung total kursi di auditorium dengan mudah.
• Harga Tiket Pertunjukan: Harga tiket pertunjukan seringkali diatur dengan pola deret aritmatika. Misalnya, tiket kelas VIP mungkin lebih mahal Rp50.000 dari kelas eksekutif, dan kelas eksekutif lebih mahal Rp50.000 dari kelas ekonomi. Dengan mengetahui harga tiket terendah dan selisih harga antar kelas, kita bisa menghitung harga tiket untuk setiap kelas.

Contoh Kasus Deret Aritmatika

Misalnya, seorang pekerja bangunan membangun tangga dengan 10 anak tangga. Tinggi anak tangga pertama adalah 20 cm, dan setiap anak tangga berikutnya lebih tinggi 5 cm dari anak tangga sebelumnya. Berapakah tinggi anak tangga terakhir?

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita bisa menggunakan rumus deret aritmatika:

Un = a + (n-1)d

Dimana:

• Un adalah suku ke-n (tinggi anak tangga terakhir)
• a adalah suku pertama (tinggi anak tangga pertama, 20 cm)
• n adalah jumlah suku (jumlah anak tangga, 10)
• d adalah selisih antar suku (selisih tinggi anak tangga, 5 cm)

Maka, tinggi anak tangga terakhir (Un) adalah:

Un = 20 + (10-1)5 = 20 + 45 = 65 cm

Jadi, tinggi anak tangga terakhir adalah 65 cm.

Ilustrasi Penerapan Deret Aritmatika

Bayangkan sebuah taman bermain dengan seluncuran yang memiliki 10 anak tangga. Tinggi anak tangga pertama adalah 1 meter, dan setiap anak tangga berikutnya lebih tinggi 0,2 meter dari anak tangga sebelumnya. Ilustrasi ini menggambarkan deret aritmatika, di mana setiap anak tangga mewakili suku dalam deret tersebut. Dengan menggunakan rumus deret aritmatika, kita bisa menghitung tinggi total seluncuran tersebut.

Soal Latihan Deret Aritmatika

Deret aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku yang berurutan. Selisih ini disebut beda (b). Untuk memahami konsep deret aritmetika lebih dalam, mari kita coba kerjakan soal latihan berikut ini.

Soal Latihan Deret Aritmetika

Berikut adalah 5 soal latihan deret aritmetika dengan berbagai tingkat kesulitan.

1. Tentukan suku ke-10 dari deret aritmetika 2, 5, 8, 11, …

Jawaban: Suku ke-10 dari deret aritmetika tersebut adalah 29. Berikut adalah langkah-langkah untuk menghitungnya:

• Beda (b) = 5 – 2 = 3
• Suku ke-10 (a₁₀) = a₁ + (n – 1) b = 2 + (10 – 1) 3 = 2 + 27 = 29

2. Tentukan jumlah 15 suku pertama dari deret aritmetika 3, 7, 11, 15, …

Jawaban: Jumlah 15 suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah 495. Berikut adalah langkah-langkah untuk menghitungnya:

• Beda (b) = 7 – 3 = 4
• Jumlah 15 suku pertama (S₁₅) = (n/2) (a₁ + a_n) = (15/2) (3 + (3 + (15 – 1) 4)) = (15/2) (3 + 59) = (15/2) (62) = 495

3. Diketahui suku ke-3 dari suatu deret aritmetika adalah 11 dan suku ke-7 adalah 23. Tentukan suku pertama (a₁) dan beda (b) dari deret tersebut.

Jawaban: Suku pertama (a₁) dari deret tersebut adalah 5 dan beda (b) adalah 3. Berikut adalah langkah-langkah untuk menghitungnya:

• a₃ = a₁ + 2b = 11
• a₇ = a₁ + 6b = 23
• Kurangi persamaan kedua dengan persamaan pertama: 4b = 12, sehingga b = 3
• Substitusikan b = 3 ke persamaan pertama: a₁ + 2(3) = 11, sehingga a₁ = 5

4. Suatu deret aritmetika memiliki suku pertama 4 dan beda 5. Jika jumlah n suku pertama deret tersebut adalah 245, tentukan nilai n.

Jawaban: Nilai n dari deret tersebut adalah 10. Berikut adalah langkah-langkah untuk menghitungnya:

• S_n = (n/2) (2a₁ + (n – 1) b) = 245
• Substitusikan a₁ = 4 dan b = 5 ke persamaan tersebut: (n/2) (2(4) + (n – 1) 5) = 245
• Sederhanakan persamaan: (n/2) (8 + 5n – 5) = 245
• Sederhanakan lagi: (n/2) (3 + 5n) = 245
• Kalikan kedua ruas dengan 2: n (3 + 5n) = 490
• Sederhanakan: 5n² + 3n – 490 = 0
• Faktorkan persamaan: (5n + 49) (n – 10) = 0
• Maka n = -49/5 atau n = 10. Karena n adalah jumlah suku, maka nilai n yang memenuhi adalah n = 10.

5. Tiga bilangan membentuk deret aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 21 dan hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 231, tentukan ketiga bilangan tersebut.

Jawaban: Ketiga bilangan tersebut adalah 3, 7, dan 11. Berikut adalah langkah-langkah untuk menghitungnya:

• Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah a – b, a, dan a + b.
• Jumlah ketiga bilangan: (a – b) + a + (a + b) = 21, sehingga 3a = 21, maka a = 7.
• Hasil kali ketiga bilangan: (a – b) (a) (a + b) = 231, sehingga (7 – b) (7) (7 + b) = 231.
• Sederhanakan persamaan: 49 – b² = 33, sehingga b² = 16, maka b = 4 atau b = -4.
• Jika b = 4, maka ketiga bilangan tersebut adalah 3, 7, dan 11.
• Jika b = -4, maka ketiga bilangan tersebut adalah 11, 7, dan 3.
• Karena deret aritmetika memiliki beda yang konstan, maka ketiga bilangan tersebut adalah 3, 7, dan 11.

Penutupan

Memahami konsep deret aritmatika membuka pintu untuk memecahkan berbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari. Dari menghitung jumlah uang yang ditabung setiap bulan hingga menganalisis pertumbuhan populasi, deret aritmatika hadir sebagai alat yang praktis. Dengan latihan yang cukup, Anda akan semakin mahir dalam menguasai rumus dan menyelesaikan soal-soal deret aritmatika dengan mudah.